KPSS Üslü Sayılar Test 3 Zor
Yalnızca zor sorular. Ortak parantez, sondaki sıfır ve basamak sayısı gibi KPSS'nin ayırt edici soru tiplerine odaklanır.
- Soru sayısı
- 20
- Süre
- 35 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\( 3^{a+1} - 3^{a} = 54 \) ise \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 3^{a+1} - 3^a = 54 \)
Ne soruluyor?
\( a \) değeri.
Çözüm
- Ortak çarpan \( 3^a \)'dır: \( 3^{a+1} = 3^a \cdot 3 \)
→ Üs bir fazlaysa, terim tabanın bir katıdır. - \( 3^a \cdot 3 - 3^a = 3^a(3 - 1) \)
→ Parantezine aldık. - \( = 3^a \cdot 2 = 54 \)
→ \( 3-1 = 2 \). - \( 3^a = 27 \)
→ Her iki tarafı 2'ye böldük. - \( 27 = 3^3 \Rightarrow a = 3 \)
→ Tabanlar eşitse üsler eşittir.
Kontrol
\( 3^4 - 3^3 = 81 - 27 = 54 \) ✓
-
\( \dfrac{9^{5}}{3^{8}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 9^5 \), payda \( 3^8 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- \( 9 = 3^2 \) → \( 9^5 = (3^2)^5 \)
→ Ortak tabana geçiyoruz. - \( (3^2)^5 = 3^{2 \cdot 5} = 3^{10} \)
→ Üsler çarpılır. - \( \dfrac{3^{10}}{3^{8}} = 3^{10-8} \)
→ Üsler çıkarılır. - \( = 3^2 = 9 \)
→ \( 10-8 = 2 \).
-
\( 2^4 \cdot 3^4 \cdot 5^4 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Üsleri aynı (4), tabanları 2, 3 ve 5
Ne soruluyor?
Tek üslü ifade olarak karşılığı.
Çözüm
- Üsler aynı → bütün tabanlar çarpılır: \( (2 \cdot 3 \cdot 5)^4 \)
→ \( a^n b^n c^n = (abc)^n \) — kural ikiden fazla çarpan için de geçerli. - \( 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30 \)
→ Tabanları çarptık. - Sonuç \( 30^4 \)
→ Üs değişmedi.
Sık yapılan hata
Üsleri toplayıp \( 30^{12} \) demek hatalıdır.
-
\( \dfrac{7^{15}}{7^{12} \cdot 7} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 7^{15} \), payda \( 7^{12} \cdot 7 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Paydayı tek üsse indir: \( 7^{12} \cdot 7^1 = 7^{13} \)
→ Yalnız yazılan 7, \( 7^1 \) demektir; çarpımda üsler toplanır. - \( \dfrac{7^{15}}{7^{13}} = 7^{15-13} \)
→ Bölmede üsler çıkarılır. - \( = 7^2 = 49 \)
→ \( 15-13 = 2 \).
Sık yapılan hata
Paydadaki yalın 7'yi görmezden gelmek en sık yapılan hatadır; o da bir üslü terimdir.
-
\( 2^{11} - 2^{10} \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^{11} \) ve \( 2^{10} \) terimlerinin farkı
Ne soruluyor?
Farkın üslü karşılığı.
Çözüm
- Ortak çarpan \( 2^{10} \): \( 2^{11} = 2^{10} \cdot 2 \)
→ Küçük üslü terim her zaman ortak çarpandır. - \( 2^{10} \cdot 2 - 2^{10} = 2^{10}(2-1) \)
→ Parantezine aldık. - \( = 2^{10} \cdot 1 = 2^{10} \)
→ \( 2-1 = 1 \).
Şaşırtıcı ama doğru
Ardışık iki 2 kuvvetinin farkı, küçük olanın kendisidir. Çünkü \( 2^{11} \), \( 2^{10} \)'un tam iki katıdır.
-
\( 2^{x} \cdot 4^{3} = 2^{12} \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^x \cdot 4^3 = 2^{12} \)
Ne soruluyor?
\( x \) değeri.
Çözüm
- \( 4 = 2^2 \) → \( 4^3 = (2^2)^3 = 2^6 \)
→ Her şeyi 2 tabanına çeviriyoruz. - \( 2^x \cdot 2^6 = 2^{x+6} \)
→ Çarpımda üsler toplanır. - \( 2^{x+6} = 2^{12} \)
→ İki taraf da 2 tabanında. - \( x + 6 = 12 \Rightarrow x = 6 \)
→ Tabanlar eşitse üsler eşittir.
Kontrol
\( 2^6 \cdot 4^3 = 64 \cdot 64 = 4096 = 2^{12} \) ✓
-
\( 2^{100} \cdot 5^{98} \) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^{100} \cdot 5^{98} \) çarpımı
Ne soruluyor?
Sonucun basamak sayısı.
Çözüm
- 2 ve 5'i eşleştirip 10 yapacağız; az olan 5'tir (98 tane).
→ Her (2, 5) çifti bir 10 verir. - \( 2^{100} = 2^{98} \cdot 2^{2} \)
→ 100 tane 2'yi ayırdık. - \( 2^{98} \cdot 5^{98} = (2 \cdot 5)^{98} = 10^{98} \)
→ Eşleşen çiftler 10'un kuvvetini verdi. - Geriye \( 2^2 = 4 \) kaldı → sayı \( 4 \cdot 10^{98} \)
→ Eşleşemeyen iki 2 çarpan olarak duruyor. - \( 4 \cdot 10^{98} \) → 4 rakamı ve ardından 98 sıfır = 99 basamak.
→ Bekle: 1 rakam + 98 sıfır = 99 basamak.
Dikkat
\( 4 \cdot 10^{98} \) sayısı 4'ün yanına 98 sıfır demektir; toplam \( 1 + 98 = 99 \) basamak.
-
\( 2^5 \cdot 4^2 \) ifadesi 2'nin kaçıncı kuvvetine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^5 \) ve \( 4^2 \) çarpımı
Ne soruluyor?
Sonucun 2 tabanındaki üssü.
Çözüm
- \( 4 = 2^2 \) olduğundan \( 4^2 = (2^2)^2 \)
→ Tabanları eşitlemeden üsleri toplayamayız. - \( (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( 2^5 \cdot 2^4 = 2^{5+4} \)
→ Artık tabanlar aynı; üsler toplanır. - \( = 2^9 \)
→ \( 5+4 = 9 \).
Kontrol
\( 32 \cdot 16 = 512 \) ve \( 2^9 = 512 \) ✓
-
\( \dfrac{9^3}{3^4} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 9^3 \), payda \( 3^4 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- \( 9 = 3^2 \) → \( 9^3 = (3^2)^3 \)
→ Payı 3 tabanına çevirdik. - \( (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( \dfrac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} \)
→ Tabanlar aynı; üsler çıkarılır. - \( = 3^2 = 9 \)
→ \( 6-4 = 2 \).
Kontrol
\( 729 : 81 = 9 \) ✓
-
\( 2^{x} = 8 \) ise \( 2^{x+2} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^x = 8 \)
Ne soruluyor?
\( 2^{x+2} \) değeri.
Çözüm
- \( 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 \)
→ Üsler toplanıyorsa terimler çarpılıyordur; kuralı tersten kullandık. - \( 2^x \) yerine 8 yaz: \( 8 \cdot 2^2 \)
→ Verilen bilgiyi yerine koyduk. - \( 8 \cdot 4 = 32 \)
→ \( 2^2 = 4 \).
Alternatif
\( 2^x = 8 = 2^3 \) → \( x = 3 \) → \( 2^{3+2} = 2^5 = 32 \). İki yol da aynı sonuca çıkar; ilki \( x \)'i bulmadan bitirir.
-
\( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Taban \( \dfrac{3}{2} \), üs \( -2 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Negatif üs → kesri ters çevir, üssü pozitif yap: \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n} \)
→ \( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} = \dfrac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} \) ve bir kesre bölmek, ters çevirip çarpmaktır. - \( \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} \)
→ Kesri ters çevirdik, üs \( +2 \) oldu. - \( = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9} \)
→ Üs paya ve paydaya ayrı ayrı uygulandı.
Sık yapılan hata
Sonucu negatif yapmak yaygın hatadır; negatif üs işaret değiştirmez, ters çevirir.
-
\( \dfrac{2^4 \cdot 2^4}{2^5} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay: \( 2^4 \cdot 2^4 \) Payda: \( 2^5 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Payı sadeleştir: \( 2^4 \cdot 2^4 = 2^{4+4} = 2^8 \)
→ Tabanlar aynı; çarpmada üsler toplanır. - \( \dfrac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} \)
→ Bölmede üsler çıkarılır. - \( = 2^3 = 8 \)
→ \( 8-5 = 3 \).
Kontrol
\( \dfrac{16 \cdot 16}{32} = \dfrac{256}{32} = 8 \) ✓
-
\( 3^5 + 3^5 + 3^5 \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Birbirinin aynısı üç terim: \( 3^5 \)
Ne soruluyor?
Toplamın üslü karşılığı.
Çözüm
- Üç tane aynı terim var → \( 3 \cdot 3^5 \)
→ Toplamada üs toplanmaz; aynı terimden kaç tane olduğunu sayarız. - \( 3 \cdot 3^5 = 3^1 \cdot 3^5 \)
→ Baştaki 3'ü \( 3^1 \) olarak yazdık. - \( 3^{1+5} = 3^6 \)
→ Artık çarpım var; üsler toplanır.
Kontrol
\( 243 \cdot 3 = 729 = 3^6 \) ✓
Genel kural
\( \underbrace{a^n + a^n + \dots + a^n}_{a \text{ tane}} = a^{n+1} \)
-
\( 5^3 \cdot 2^3 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Üsleri aynı (3), tabanları 5 ve 2
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Üsler aynı → tabanlar çarpılır: \( (5 \cdot 2)^3 \)
→ \( a^n b^n = (ab)^n \) kuralı. - \( (5 \cdot 2)^3 = 10^3 \)
→ \( 5 \cdot 2 = 10 \). - \( 10^3 = 1000 \)
→ 1'in yanına 3 sıfır.
Neden bu yol kısa
Ayrı ayrı hesaplarsan \( 125 \cdot 8 \) çarpımıyla uğraşırsın; 10'un kuvvetine çevirmek işi bitiriyor.
-
\( 3 \cdot 2^{x} = 48 \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 3 \cdot 2^x = 48 \)
Ne soruluyor?
\( x \) değeri.
Çözüm
- Önce \( 2^x \)'i yalnız bırak: her iki tarafı 3'e böl.
→ Denklemi çözerken bilinmeyeni içeren terimi tek başına bırakmak gerekir. - \( 2^x = \dfrac{48}{3} = 16 \)
→ Bölme yapıldı. - \( 16 = 2^4 \)
→ Sağ tarafı da 2 tabanında yazdık. - \( 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4 \)
→ Tabanlar eşitse üsler de eşit olmak zorundadır.
Kontrol
\( 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48 \) ✓
-
\( \sqrt{2^6} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( \sqrt{2^6} \) ifadesi
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Karekök almak, \( \dfrac{1}{2} \) kuvvetini almaktır: \( \sqrt{a} = a^{1/2} \)
→ Çünkü \( a^{1/2} \cdot a^{1/2} = a^1 = a \) — karesi \( a \) olan sayı. - \( \sqrt{2^6} = (2^6)^{1/2} \)
→ Kökü üs biçiminde yazdık. - \( = 2^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 2^3 \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( 2^3 = 8 \)
→ Sonucu hesapladık.
Kontrol
\( 2^6 = 64 \) ve \( \sqrt{64} = 8 \) ✓
-
\( 2^4 \cdot 5^4 \) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^4 \cdot 5^4 \) çarpımı
Ne soruluyor?
Sonucun basamak sayısı.
Çözüm
- Üsler aynı → tabanlar çarpılır: \( (2 \cdot 5)^4 \)
→ \( a^n b^n = (ab)^n \) kuralı. - \( (2 \cdot 5)^4 = 10^4 \)
→ \( 2 \cdot 5 = 10 \). - \( 10^4 = 10000 \)
→ 1'in yanına 4 sıfır. - 10000 sayısı 5 basamaklıdır.
→ 1 rakamı + 4 sıfır = 5 rakam.
Sık yapılan hata
Üs 4 diye "4 basamaklı" demek hatalıdır. \( 10^n \) her zaman \( n+1 \) basamaklıdır.
-
\( (-1)^{100} + (-1)^{101} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- İki terim: \( (-1)^{100} \) ve \( (-1)^{101} \)
Ne soruluyor?
Toplamın değeri.
Çözüm
- \( (-1)^{\text{çift}} = 1 \)
→ Negatifler ikişer eşleşip pozitif verir; çift sayıda olduklarında hiç artan kalmaz. - 100 çift → \( (-1)^{100} = 1 \)
→ Üs çift. - 101 tek → \( (-1)^{101} = -1 \)
→ Bir negatif eşleşemeden kalır. - \( 1 + (-1) = 0 \)
→ İki sonucu topladık.
Pratik
\( (-1)^n \) yalnızca üssün tek mi çift mi olduğuna bakar; üssün büyüklüğü önemsizdir.
-
\( \dfrac{8^4}{2^8} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 8^4 \), payda \( 2^8 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- \( 8 = 2^3 \) → \( 8^4 = (2^3)^4 \)
→ Payı 2 tabanına çevirdik. - \( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( \dfrac{2^{12}}{2^8} = 2^{12-8} \)
→ Tabanlar aynı; üsler çıkarılır. - \( = 2^4 = 16 \)
→ \( 12-8 = 4 \).
-
\( 2^3 \cdot 3^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^3 \) ve \( 3^2 \) çarpımı
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Tabanlar da üsler de farklı → hiçbir kural uygulanamaz, her terim ayrı hesaplanır.
→ Üs kuralları ya taban ya üs ortakken işe yarar; burada ikisi de ortak değil. - \( 2^3 = 8 \)
→ 2 üç kez çarpıldı. - \( 3^2 = 9 \)
→ 3 iki kez çarpıldı. - \( 8 \cdot 9 = 72 \)
→ Sonuçları çarptık.
Sık yapılan hata
\( 2^3 \cdot 3^2 = 6^5 \) demek hatalıdır; ne tabanlar ne üsler aynı.