KPSS Üslü Sayılar Test 2 Orta ve Zor
Temel kuralları bildiğini varsayar. Ortak tabana indirgeme ve ortak parantez hamlelerini çalıştırır.
- Soru sayısı
- 20
- Süre
- 30 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\( 3 \cdot 2^{x} = 48 \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 3 \cdot 2^x = 48 \)
Ne soruluyor?
\( x \) değeri.
Çözüm
- Önce \( 2^x \)'i yalnız bırak: her iki tarafı 3'e böl.
→ Denklemi çözerken bilinmeyeni içeren terimi tek başına bırakmak gerekir. - \( 2^x = \dfrac{48}{3} = 16 \)
→ Bölme yapıldı. - \( 16 = 2^4 \)
→ Sağ tarafı da 2 tabanında yazdık. - \( 2^x = 2^4 \Rightarrow x = 4 \)
→ Tabanlar eşitse üsler de eşit olmak zorundadır.
Kontrol
\( 3 \cdot 2^4 = 3 \cdot 16 = 48 \) ✓
-
\( \sqrt{2^6} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( \sqrt{2^6} \) ifadesi
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Karekök almak, \( \dfrac{1}{2} \) kuvvetini almaktır: \( \sqrt{a} = a^{1/2} \)
→ Çünkü \( a^{1/2} \cdot a^{1/2} = a^1 = a \) — karesi \( a \) olan sayı. - \( \sqrt{2^6} = (2^6)^{1/2} \)
→ Kökü üs biçiminde yazdık. - \( = 2^{6 \cdot \frac{1}{2}} = 2^3 \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( 2^3 = 8 \)
→ Sonucu hesapladık.
Kontrol
\( 2^6 = 64 \) ve \( \sqrt{64} = 8 \) ✓
-
\( 2^4 \cdot 5^4 \) sayısı kaç basamaklıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^4 \cdot 5^4 \) çarpımı
Ne soruluyor?
Sonucun basamak sayısı.
Çözüm
- Üsler aynı → tabanlar çarpılır: \( (2 \cdot 5)^4 \)
→ \( a^n b^n = (ab)^n \) kuralı. - \( (2 \cdot 5)^4 = 10^4 \)
→ \( 2 \cdot 5 = 10 \). - \( 10^4 = 10000 \)
→ 1'in yanına 4 sıfır. - 10000 sayısı 5 basamaklıdır.
→ 1 rakamı + 4 sıfır = 5 rakam.
Sık yapılan hata
Üs 4 diye "4 basamaklı" demek hatalıdır. \( 10^n \) her zaman \( n+1 \) basamaklıdır.
-
\( (-1)^{100} + (-1)^{101} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- İki terim: \( (-1)^{100} \) ve \( (-1)^{101} \)
Ne soruluyor?
Toplamın değeri.
Çözüm
- \( (-1)^{\text{çift}} = 1 \)
→ Negatifler ikişer eşleşip pozitif verir; çift sayıda olduklarında hiç artan kalmaz. - 100 çift → \( (-1)^{100} = 1 \)
→ Üs çift. - 101 tek → \( (-1)^{101} = -1 \)
→ Bir negatif eşleşemeden kalır. - \( 1 + (-1) = 0 \)
→ İki sonucu topladık.
Pratik
\( (-1)^n \) yalnızca üssün tek mi çift mi olduğuna bakar; üssün büyüklüğü önemsizdir.
-
\( \dfrac{8^4}{2^8} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 8^4 \), payda \( 2^8 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- \( 8 = 2^3 \) → \( 8^4 = (2^3)^4 \)
→ Payı 2 tabanına çevirdik. - \( (2^3)^4 = 2^{3 \cdot 4} = 2^{12} \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( \dfrac{2^{12}}{2^8} = 2^{12-8} \)
→ Tabanlar aynı; üsler çıkarılır. - \( = 2^4 = 16 \)
→ \( 12-8 = 4 \).
-
\( 2^3 \cdot 3^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^3 \) ve \( 3^2 \) çarpımı
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Tabanlar da üsler de farklı → hiçbir kural uygulanamaz, her terim ayrı hesaplanır.
→ Üs kuralları ya taban ya üs ortakken işe yarar; burada ikisi de ortak değil. - \( 2^3 = 8 \)
→ 2 üç kez çarpıldı. - \( 3^2 = 9 \)
→ 3 iki kez çarpıldı. - \( 8 \cdot 9 = 72 \)
→ Sonuçları çarptık.
Sık yapılan hata
\( 2^3 \cdot 3^2 = 6^5 \) demek hatalıdır; ne tabanlar ne üsler aynı.
-
\( \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Taban \( \dfrac{1}{2} \), üs 3
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Üs paya ve paydaya ayrı uygulanır: \( \dfrac{1^3}{2^3} \)
→ \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \). - \( 1^3 = 1 \)
→ 1'in her kuvveti 1'dir. - \( 2^3 = 8 \)
→ 2 üç kez çarpıldı. - Sonuç \( \dfrac{1}{8} \)
→ Payı paydaya yazdık.
Dikkat çekici
Taban 1'den küçükken kuvvet aldıkça sayı küçülür.
-
\( 5^{2x} = 625 \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 5^{2x} = 625 \)
Ne soruluyor?
\( x \) değeri.
Çözüm
- Sağ tarafı 5 tabanında yaz: \( 625 = 5^4 \)
→ \( 5^2 = 25 \), \( 5^3 = 125 \), \( 5^4 = 625 \). - \( 5^{2x} = 5^4 \)
→ İki taraf da 5 tabanında. - \( 2x = 4 \)
→ Tabanlar eşitse üsler de eşittir. - \( x = 2 \)
→ Her iki tarafı 2'ye böldük.
Kontrol
\( 5^{2 \cdot 2} = 5^4 = 625 \) ✓
-
\( \dfrac{4^5}{2^7} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 4^5 \), payda \( 2^7 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- \( 4 = 2^2 \) → \( 4^5 = (2^2)^5 = 2^{10} \)
→ Payı 2 tabanına çevirdik. - \( \dfrac{2^{10}}{2^7} = 2^{10-7} \)
→ Tabanlar aynı; üsler çıkarılır. - \( = 2^3 = 8 \)
→ \( 10-7 = 3 \).
Kontrol
\( 4^5 = 1024 \), \( 2^7 = 128 \), \( 1024:128 = 8 \) ✓
-
\( 2^6 \cdot 3^6 \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Üsleri aynı (6), tabanları 2 ve 3
Ne soruluyor?
Tek üslü ifade olarak karşılığı.
Çözüm
- Üsler aynı → tabanlar çarpılır: \( (2 \cdot 3)^6 \)
→ \( a^n b^n = (ab)^n \). Çarpanları yeniden gruplamaktan gelir. - \( (2 \cdot 3)^6 = 6^6 \)
→ \( 2 \cdot 3 = 6 \).
Sık yapılan hata
Üsleri de toplayıp \( 6^{12} \) demek hatalıdır. Üs aynı kaldı, yalnızca tabanlar birleşti.
-
\( 3^4 \cdot 3^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 3^4 \) ve \( 3^{-2} \) çarpımı
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Tabanlar aynı → üsler toplanır: \( 3^{4 + (-2)} \)
→ Üs negatif de olsa kural değişmez; toplama işaretiyle birlikte yapılır. - \( 4 + (-2) = 2 \)
→ Negatif sayıyı eklemek, çıkarmaktır. - \( 3^2 = 9 \)
→ Sonucu hesapladık.
Kontrol
\( 81 \cdot \dfrac{1}{9} = 9 \) ✓
-
\( 2^{3^2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Parantezi olmayan \( 2^{3^2} \) ifadesi
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Üslü ifadelerde okuma yukarıdan aşağıyadır: önce \( 3^2 \).
→ \( (2^3)^2 \) olsaydı parantez yazılırdı; parantez yoksa üstteki üs önce hesaplanır. - \( 3^2 = 9 \)
→ Üstteki kuvvet alındı. - \( 2^9 = 512 \)
→ 2'nin 9. kuvveti: 512.
Karşılaştır
\( (2^3)^2 = 2^6 = 64 \) · \( 2^{3^2} = 2^9 = 512 \). Parantez her şeyi değiştirir.
-
\( \dfrac{10^6}{10^2 \cdot 10^3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 10^6 \), payda \( 10^2 \cdot 10^3 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Önce paydayı sadeleştir: \( 10^2 \cdot 10^3 = 10^{2+3} = 10^5 \)
→ Tabanlar aynı; çarpmada üsler toplanır. - \( \dfrac{10^6}{10^5} = 10^{6-5} \)
→ Bölmede üsler çıkarılır. - \( = 10^1 = 10 \)
→ \( 6-5 = 1 \).
Kontrol
\( \dfrac{1\,000\,000}{100 \cdot 1000} = \dfrac{1\,000\,000}{100\,000} = 10 \) ✓
-
\( 9 \cdot 27 = 3^{a} \) ise \( a \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 9 \cdot 27 = 3^a \)
Ne soruluyor?
\( a \) değeri.
Çözüm
- Sol tarafı 3 tabanında yaz: \( 9 = 3^2 \), \( 27 = 3^3 \)
→ Sağ taraf 3 tabanında olduğu için sol tarafı da oraya taşıyoruz. - \( 3^2 \cdot 3^3 = 3^{2+3} \)
→ Tabanlar aynı; üsler toplanır. - \( = 3^5 \)
→ \( 2+3 = 5 \). - \( 3^5 = 3^a \Rightarrow a = 5 \)
→ Tabanlar eşitse üsler eşittir.
Kontrol
\( 9 \cdot 27 = 243 \) ve \( 3^5 = 243 \) ✓
-
\( \dfrac{2^{30}}{8^{9}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 2^{30} \), payda \( 8^9 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- \( 8 = 2^3 \) → \( 8^9 = (2^3)^9 \)
→ Ortak tabana geçiyoruz. - \( (2^3)^9 = 2^{3 \cdot 9} = 2^{27} \)
→ Üsler çarpılır. - \( \dfrac{2^{30}}{2^{27}} = 2^{30-27} \)
→ Üsler çıkarılır. - \( = 2^3 = 8 \)
→ \( 30-27 = 3 \).
-
\( 4^4 + 4^4 + 4^4 + 4^4 \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Aynı terimden 4 tane: \( 4^4 \)
Ne soruluyor?
Toplamın üslü karşılığı.
Çözüm
- Dört tane aynı terim → \( 4 \cdot 4^4 \)
→ Toplamada terim sayısını sayarız. - \( 4 \cdot 4^4 = 4^1 \cdot 4^4 \)
→ Baştaki 4'ü \( 4^1 \) yazdık. - \( = 4^{1+4} = 4^5 \)
→ Çarpımda üsler toplanır.
Kalıp
Bir terimden taban kadar tane varsa, üs bir artar: \( a \) tane \( a^n \) → \( a^{n+1} \).
-
\( \left(\dfrac{2}{3}\right)^3 \cdot \left(\dfrac{3}{2}\right)^3 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Birbirinin tersi iki kesir, ikisi de 3. kuvvette
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Üsler aynı → tabanlar çarpılır: \( \left(\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2}\right)^3 \)
→ \( a^n b^n = (ab)^n \). - \( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{2} = 1 \)
→ Ters kesirlerin çarpımı 1'dir. - \( 1^3 = 1 \)
→ 1'in her kuvveti 1'dir.
Püf noktası
Ters kesirleri ayrı ayrı üslendirip çarpmak da aynı sonucu verir (\( \dfrac{8}{27} \cdot \dfrac{27}{8} = 1 \)), ama bu yol tek satırda biter.
-
\( \dfrac{6^{10}}{2^{10} \cdot 3^{9}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 6^{10} \), payda \( 2^{10} \cdot 3^9 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- \( 6 = 2 \cdot 3 \) → \( 6^{10} = (2 \cdot 3)^{10} = 2^{10} \cdot 3^{10} \)
→ Payı asal çarpanlarına ayırdık; \( (ab)^n = a^n b^n \). - \( \dfrac{2^{10} \cdot 3^{10}}{2^{10} \cdot 3^{9}} \)
→ Artık pay ve paydada aynı tabanlar var. - \( 2^{10} \) tamamen sadeleşir.
→ Pay ve paydada birebir aynı. - \( \dfrac{3^{10}}{3^9} = 3^{10-9} = 3 \)
→ Kalan kısımda üsler çıkarıldı.
-
\( 2^5 \cdot 5^7 \) sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^5 \cdot 5^7 \) çarpımı
Ne soruluyor?
Sonucun sonundaki sıfır sayısı.
Çözüm
- Sondaki her sıfır, bir 10 çarpanından gelir; \( 10 = 2 \cdot 5 \).
→ Yani kaç tane (2, 5) çifti kurabildiğimize bakacağız. - Elimizde 5 tane 2, 7 tane 5 var.
→ Üsler bunu söylüyor. - Çift sayısı, az olana göre belirlenir: 5 tane çift kurulur.
→ 2'ler bitince eşleşecek 5 kalsa da 10 üretemez. - \( 2^5 \cdot 5^7 = (2 \cdot 5)^5 \cdot 5^2 = 10^5 \cdot 25 \)
→ Ayırınca net görünüyor: \( 2\,500\,000 \) → sonunda 5 sıfır.
Sık yapılan hata
Üsleri toplayıp 12 demek ya da büyük üssü alıp 7 demek yaygın hatadır. Belirleyici olan eşleşebilen sayıdır.
-
\( \dfrac{2^{8} + 2^{8}}{2^{7}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay: \( 2^8 + 2^8 \) · Payda: \( 2^7 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Payda iki eşit terim var: \( 2 \cdot 2^8 \)
→ Aynı terimden iki tane. - \( 2 \cdot 2^8 = 2^9 \)
→ Çarpımda üsler toplanır: \( 1+8 = 9 \). - \( \dfrac{2^9}{2^7} = 2^{9-7} \)
→ Bölmede üsler çıkarılır. - \( = 2^2 = 4 \)
→ \( 9-7 = 2 \).
Kontrol
\( \dfrac{256+256}{128} = \dfrac{512}{128} = 4 \) ✓