KPSS Üslü Sayılar Test 1 Kolaydan Zora
Üslü sayıların temel kurallarını baştan sona tarayan karma test. Kolay sorularla başlar, zor sorularla biter.
- Soru sayısı
- 20
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Kolay
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\( 2^5 \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^5 \) ifadesi
Ne soruluyor?
İfadenin sayı değeri.
Çözüm
- \( 2^5 \) demek, 2'yi 5 kez kendisiyle çarpmak demektir.
→ Üs, tabanın kaç kez çarpıldığını söyler; 5 burada çarpma sayısıdır. - \( 2 \cdot 2 = 4 \)
→ İlk iki 2'yi çarptık, 3 tane 2 kaldı. - \( 4 \cdot 2 = 8 \)
→ Üçüncü 2 de çarpıldı, 2 tane kaldı. - \( 8 \cdot 2 = 16 \)
→ Dördüncü 2 çarpıldı, 1 tane kaldı. - \( 16 \cdot 2 = 32 \)
→ Beşinci ve son 2 de çarpıldı.
Kontrol
2'nin kuvvetleri sırayla 2, 4, 8, 16, 32; beşincisi 32 ✓
Sık yapılan hata
\( 2^5 \) ile \( 2 \cdot 5 = 10 \) karıştırılıyor. Üs çarpan değil, çarpma sayısıdır.
-
\( 3^2 + 4^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 3^2 \) ve \( 4^2 \) terimleri
Ne soruluyor?
Toplamın değeri.
Çözüm
- \( 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 \)
→ Üs 2 olduğu için taban iki kez çarpılır. - \( 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \)
→ Aynı kural, taban 4 için. - \( 9 + 16 = 25 \)
→ İki sonucu topladık.
Sık yapılan hata
\( 3^2 + 4^2 \) ile \( (3+4)^2 = 49 \) aynı şey değildir. Üs, toplamın üstüne dağılmaz.
-
\( 2^3 \cdot 2^4 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Tabanları aynı (\( 2 \)) iki üslü sayı: \( 2^3 \) ve \( 2^4 \)
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır: \( 2^{3+4} \)
→ \( 2^3 \) üç tane 2, \( 2^4 \) dört tane 2 demek; yan yana yazınca toplam yedi tane 2 olur. - \( 2^{3+4} = 2^7 \)
→ Üsleri topladık: \( 3+4 = 7 \). - \( 2^7 = 128 \)
→ 2'nin 7. kuvveti: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
Kullanılan kural
Aynı tabanlı üslüler çarpılırken üsler toplanır: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Bölünürken çıkarılır: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).
Sık yapılan hata
Üsleri çarpmak (\( 2^{12} \)) en sık yapılan hatadır. Üsler ancak \( (2^3)^4 \) gibi kuvvetin kuvveti alınırken çarpılır.
-
\( \dfrac{5^6}{5^4} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay: \( 5^6 \) Payda: \( 5^4 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- Tabanlar aynı olduğu için üsler çıkarılır: \( 5^{6-4} \)
→ Payda 6 tane 5, paydada 4 tane 5 var; 4 tanesi sadeleşir, geriye 2 tane 5 kalır. - \( 5^{6-4} = 5^2 \)
→ Üsleri çıkardık: \( 6-4 = 2 \). - \( 5^2 = 25 \)
→ 5'i iki kez çarptık.
Kullanılan kural
Aynı tabanlı üslüler çarpılırken üsler toplanır: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Bölünürken çıkarılır: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).
-
\( (2^3)^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^3 \) ifadesinin karesi
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır: \( 2^{3 \cdot 2} \)
→ \( (2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 \) demek; aynı tabanda üsler toplanır → \( 3+3 = 6 \), bu da \( 3 \cdot 2 \) ile aynı şey. - \( 2^{3 \cdot 2} = 2^6 \)
→ Üsleri çarptık. - \( 2^6 = 64 \)
→ 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Sık yapılan hata
\( (2^3)^2 \) ile \( 2^{3^2} = 2^9 \) farklıdır. Parantez neredeyse o önce yapılır.
-
\( 7^0 + 3^0 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 7^0 \) ve \( 3^0 \) terimleri
Ne soruluyor?
Toplamın değeri.
Çözüm
- Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
→ \( a^0 = a^{n-n} = \dfrac{a^n}{a^n} = 1 \) — bir sayının kendisine bölümü 1'dir. - \( 7^0 = 1 \) ve \( 3^0 = 1 \)
→ Kural her iki taban için de geçerli. - \( 1 + 1 = 2 \)
→ İki sonucu topladık.
Sık yapılan hata
\( 7^0 = 0 \) sanmak yaygın bir hatadır. Üs sıfır, tabanı sıfır yapmaz.
-
\( (-2)^4 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Taban \( -2 \), üs \( 4 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri ve işareti.
Çözüm
- \( (-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) \)
→ Parantez içindeki tabanın tamamı 4 kez çarpılıyor. - \( (-2)(-2) = 4 \)
→ İki negatifin çarpımı pozitiftir. - \( 4 \cdot (-2) = -8 \)
→ Pozitif × negatif = negatif. - \( -8 \cdot (-2) = 16 \)
→ Negatif × negatif = pozitif.
Kural
Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
Sık yapılan hata
\( (-2)^4 \) ile \( -2^4 \) farklıdır! İkincisinde üs yalnızca 2'ye ait olduğu için sonuç \( -16 \) olur.
-
\( 2^5 \cdot 4^2 \) ifadesi 2'nin kaçıncı kuvvetine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^5 \) ve \( 4^2 \) çarpımı
Ne soruluyor?
Sonucun 2 tabanındaki üssü.
Çözüm
- \( 4 = 2^2 \) olduğundan \( 4^2 = (2^2)^2 \)
→ Tabanları eşitlemeden üsleri toplayamayız. - \( (2^2)^2 = 2^{2 \cdot 2} = 2^4 \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( 2^5 \cdot 2^4 = 2^{5+4} \)
→ Artık tabanlar aynı; üsler toplanır. - \( = 2^9 \)
→ \( 5+4 = 9 \).
Kontrol
\( 32 \cdot 16 = 512 \) ve \( 2^9 = 512 \) ✓
-
\( \dfrac{9^3}{3^4} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 9^3 \), payda \( 3^4 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- \( 9 = 3^2 \) → \( 9^3 = (3^2)^3 \)
→ Payı 3 tabanına çevirdik. - \( (3^2)^3 = 3^{2 \cdot 3} = 3^6 \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( \dfrac{3^6}{3^4} = 3^{6-4} \)
→ Tabanlar aynı; üsler çıkarılır. - \( = 3^2 = 9 \)
→ \( 6-4 = 2 \).
Kontrol
\( 729 : 81 = 9 \) ✓
-
\( 2^{x} = 8 \) ise \( 2^{x+2} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^x = 8 \)
Ne soruluyor?
\( 2^{x+2} \) değeri.
Çözüm
- \( 2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 \)
→ Üsler toplanıyorsa terimler çarpılıyordur; kuralı tersten kullandık. - \( 2^x \) yerine 8 yaz: \( 8 \cdot 2^2 \)
→ Verilen bilgiyi yerine koyduk. - \( 8 \cdot 4 = 32 \)
→ \( 2^2 = 4 \).
Alternatif
\( 2^x = 8 = 2^3 \) → \( x = 3 \) → \( 2^{3+2} = 2^5 = 32 \). İki yol da aynı sonuca çıkar; ilki \( x \)'i bulmadan bitirir.
-
\( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Taban \( \dfrac{3}{2} \), üs \( -2 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Negatif üs → kesri ters çevir, üssü pozitif yap: \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\dfrac{b}{a}\right)^{n} \)
→ \( \left(\dfrac{3}{2}\right)^{-2} = \dfrac{1}{\left(\frac{3}{2}\right)^2} \) ve bir kesre bölmek, ters çevirip çarpmaktır. - \( \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} \)
→ Kesri ters çevirdik, üs \( +2 \) oldu. - \( = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9} \)
→ Üs paya ve paydaya ayrı ayrı uygulandı.
Sık yapılan hata
Sonucu negatif yapmak yaygın hatadır; negatif üs işaret değiştirmez, ters çevirir.
-
\( \dfrac{2^4 \cdot 2^4}{2^5} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay: \( 2^4 \cdot 2^4 \) Payda: \( 2^5 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Payı sadeleştir: \( 2^4 \cdot 2^4 = 2^{4+4} = 2^8 \)
→ Tabanlar aynı; çarpmada üsler toplanır. - \( \dfrac{2^8}{2^5} = 2^{8-5} \)
→ Bölmede üsler çıkarılır. - \( = 2^3 = 8 \)
→ \( 8-5 = 3 \).
Kontrol
\( \dfrac{16 \cdot 16}{32} = \dfrac{256}{32} = 8 \) ✓
-
\( 3^5 + 3^5 + 3^5 \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Birbirinin aynısı üç terim: \( 3^5 \)
Ne soruluyor?
Toplamın üslü karşılığı.
Çözüm
- Üç tane aynı terim var → \( 3 \cdot 3^5 \)
→ Toplamada üs toplanmaz; aynı terimden kaç tane olduğunu sayarız. - \( 3 \cdot 3^5 = 3^1 \cdot 3^5 \)
→ Baştaki 3'ü \( 3^1 \) olarak yazdık. - \( 3^{1+5} = 3^6 \)
→ Artık çarpım var; üsler toplanır.
Kontrol
\( 243 \cdot 3 = 729 = 3^6 \) ✓
Genel kural
\( \underbrace{a^n + a^n + \dots + a^n}_{a \text{ tane}} = a^{n+1} \)
-
\( 5^3 \cdot 2^3 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Üsleri aynı (3), tabanları 5 ve 2
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Üsler aynı → tabanlar çarpılır: \( (5 \cdot 2)^3 \)
→ \( a^n b^n = (ab)^n \) kuralı. - \( (5 \cdot 2)^3 = 10^3 \)
→ \( 5 \cdot 2 = 10 \). - \( 10^3 = 1000 \)
→ 1'in yanına 3 sıfır.
Neden bu yol kısa
Ayrı ayrı hesaplarsan \( 125 \cdot 8 \) çarpımıyla uğraşırsın; 10'un kuvvetine çevirmek işi bitiriyor.
-
\( \dfrac{2^{10} - 2^{9}}{2^{9}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay: \( 2^{10} - 2^9 \) · Payda: \( 2^9 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Paydaki terimlerin ortak çarpanı \( 2^9 \)'dur.
→ \( 2^{10} = 2^9 \cdot 2 \) olduğundan her iki terimde de \( 2^9 \) var. - \( 2^{10} - 2^9 = 2^9 \cdot 2 - 2^9 \cdot 1 = 2^9(2-1) \)
→ Ortak çarpanı parantezine aldık. - \( = 2^9 \cdot 1 = 2^9 \)
→ \( 2-1 = 1 \). - \( \dfrac{2^9}{2^9} = 1 \)
→ Pay ve payda aynı; sadeleşti.
Genel strateji
Üslü ifadelerde toplama/çıkarma varsa, kural uygulayamazsın; önce ortak çarpan parantezine al. Bu, üslü sorularının en çok işe yarayan tek hamlesidir.
-
\( \dfrac{3^{12} + 3^{11}}{3^{11}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay: \( 3^{12} + 3^{11} \) · Payda: \( 3^{11} \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Küçük üslü terim ortak çarpandır: \( 3^{11} \)
→ \( 3^{12} = 3^{11} \cdot 3 \). - \( 3^{12} + 3^{11} = 3^{11}(3 + 1) \)
→ Parantezine aldık. - \( = 3^{11} \cdot 4 \)
→ \( 3+1 = 4 \). - \( \dfrac{3^{11} \cdot 4}{3^{11}} = 4 \)
→ \( 3^{11} \) sadeleşti.
Kalıp
\( \dfrac{a^{n+1} + a^n}{a^n} = a + 1 \). Burada \( a = 3 \) → sonuç 4.
-
\( \dfrac{2^{20}}{4^{8}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 2^{20} \), payda \( 4^8 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- \( 4 = 2^2 \) → \( 4^8 = (2^2)^8 \)
→ Ortak tabana geçiyoruz. - \( (2^2)^8 = 2^{2 \cdot 8} = 2^{16} \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır. - \( \dfrac{2^{20}}{2^{16}} = 2^{20-16} \)
→ Bölmede üsler çıkarılır. - \( = 2^4 = 16 \)
→ \( 20-16 = 4 \).
-
\( \dfrac{5^8 \cdot 2^8}{10^6} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 5^8 \cdot 2^8 \), payda \( 10^6 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Payda üsler aynı → tabanlar çarpılır: \( (5 \cdot 2)^8 \)
→ \( a^n b^n = (ab)^n \). - \( (5 \cdot 2)^8 = 10^8 \)
→ \( 5 \cdot 2 = 10 \). - \( \dfrac{10^8}{10^6} = 10^{8-6} \)
→ Artık tabanlar aynı. - \( = 10^2 = 100 \)
→ \( 8-6 = 2 \).
Neden 5 ve 2'yi eşleştiriyoruz
\( 5 \cdot 2 = 10 \) olduğu için bu ikisi her zaman 10'un kuvvetine dönüşür; basamak ve sondaki sıfır sorularının anahtarıdır.
-
\( 2^{x} + 2^{x} = 64 \) ise \( x \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^x + 2^x = 64 \)
Ne soruluyor?
\( x \) değeri.
Çözüm
- Aynı terimden iki tane var: \( 2 \cdot 2^x \)
→ Toplamada üs toplanmaz; kaç tane olduğunu sayarız. - \( 2 \cdot 2^x = 2^1 \cdot 2^x = 2^{x+1} \)
→ Çarpımda üsler toplanır. - \( 2^{x+1} = 64 = 2^6 \)
→ Sağ tarafı 2 tabanında yazdık. - \( x + 1 = 6 \Rightarrow x = 5 \)
→ Tabanlar eşitse üsler eşittir.
Kontrol
\( 2^5 + 2^5 = 32 + 32 = 64 \) ✓
-
\( \dfrac{2^{12} - 2^{10}}{2^{10}} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay: \( 2^{12} - 2^{10} \) · Payda: \( 2^{10} \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Ortak çarpan küçük üslü olandır: \( 2^{10} \)
→ \( 2^{12} = 2^{10} \cdot 2^2 \). - \( 2^{12} - 2^{10} = 2^{10}(2^2 - 1) \)
→ Parantezine aldık. - \( = 2^{10}(4 - 1) = 2^{10} \cdot 3 \)
→ \( 2^2 = 4 \). - \( \dfrac{2^{10} \cdot 3}{2^{10}} = 3 \)
→ \( 2^{10} \) sadeleşti.