Mehmet HocaMatematik
Kümeler 19 dk okuma

Kümeler Konu Anlatımı

Küme nedir?

KPSS'de kümeler konusundan genellikle iki tür soru gelir: alt küme sayma soruları ve "Venn şeması" ile çözülen günlük hayat problemleri (iki dil bilenler, üç kursa gidenler gibi). İkisi de birkaç temel formüle ve düzenli bir şema çizme alışkanlığına dayanır.

Temel kavramlar

  • Küme: İyi tanımlanmış, birbirinden farklı nesneler topluluğudur. "Sınıftaki uzun boylu öğrenciler" küme belirtmez (uzunluk kişiye göre değişir); "sınıftaki boyu 180 cm'den uzun öğrenciler" küme belirtir.
  • Eleman: Kümeyi oluşturan nesnelerin her biridir. a, A kümesinin elemanı ise \(a \in A\), değilse \(a \notin A\) yazılır.
  • Eleman sayısı: A kümesinin eleman sayısı \(s(A)\) ile gösterilir.
  • Boş küme: Hiç elemanı olmayan kümedir; \(\emptyset\) veya \(\{\ \}\) ile gösterilir ve \(s(\emptyset) = 0\) olur.

\(\{\emptyset\}\) boş küme değildir; tek elemanlı bir kümedir (elemanı boş kümedir). Benzer şekilde \(\{0\}\) de boş küme değildir, elemanı 0 olan bir kümedir.

Kümelerin gösterimi

Bir küme üç yolla gösterilir:

  • Liste yöntemi: Elemanlar küme parantezi içinde virgülle ayrılarak yazılır: \(A = \{2, 4, 6, 8\}\). Bir eleman iki kez yazılsa da bir kez sayılır; sıranın önemi yoktur.
  • Ortak özellik yöntemi: Elemanların ortak özelliği yazılır: \(A = \{x \mid 0 \lt x \lt 10,\ x = 2k,\ k \in \mathbb{N}\}\) kümesi, 10'dan küçük pozitif çift sayıların kümesidir.
  • Venn şeması: Küme kapalı bir eğrinin içinde gösterilir; elemanlar eğrinin içine nokta ile yazılır.

Örnek: \(B = \{x \mid 3 \le x \lt 20,\ x = 3k,\ k \in \mathbb{N}\}\) kümesini liste yöntemiyle yazalım. 3'ün katlarından 3 ile 20 arasında olanlar: 3, 6, 9, 12, 15, 18.
\(B = \{3, 6, 9, 12, 15, 18\}\) ve \(s(B) = 6\) olur.

Ortak özelliği verilen kümede eleman saymak için şu formül işe yarar: a'dan b'ye kadar (ikisi de dahil) r'şer artan sayıların adedi aşağıdaki gibidir.

\[\frac{b - a}{r} + 1\]

Örneğin 10 ile 98 arasındaki (ikisi de dahil) 4'ün katları 12, 16, ..., 96'dır: \(\frac{96 - 12}{4} + 1 = 22\) eleman.

Eşit ve denk kümeler

Eşitlik ve denklik

  • Eşit kümeler: Elemanları tamamen aynı olan kümelerdir; \(A = B\) yazılır.
  • Denk kümeler: Eleman sayıları eşit olan kümelerdir; \(A \equiv B\) yazılır.
  • Eşit kümeler her zaman denktir; denk kümeler eşit olmayabilir. \(\{1, 2, 3\}\) ile \(\{a, b, c\}\) denktir ama eşit değildir.

Alt küme

A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise A, B'nin alt kümesidir ve \(A \subseteq B\) yazılır. A, B'nin alt kümesi olup B'ye eşit değilse A'ya B'nin öz alt kümesi denir.

Alt kümenin özellikleri

  • Boş küme her kümenin alt kümesidir: \(\emptyset \subseteq A\)
  • Her küme kendisinin alt kümesidir: \(A \subseteq A\)
  • \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq A\) ise \(A = B\) olur.
  • \(A \subseteq B\) ve \(B \subseteq C\) ise \(A \subseteq C\) olur (geçişme özelliği).

\(\in\) işareti eleman ile küme arasında, \(\subseteq\) işareti küme ile küme arasında kullanılır. \(A = \{1, 2, \{3\}\}\) kümesinde \(\{3\} \in A\) doğrudur (\(\{3\}\) bir elemandır), \(3 \in A\) yanlıştır. \(\{1, 2\} \subseteq A\) doğrudur, \(\{1, 2\} \in A\) yanlıştır.

Alt küme sayısı

n elemanlı bir kümenin her elemanı için iki seçenek vardır: alt kümeye ya girer ya girmez. Bu yüzden alt küme sayısı 2'nin n'inci kuvvetidir. Kümenin kendisi dışındaki alt kümelere öz alt küme denildiği için öz alt küme sayısı bundan 1 eksiktir.

Alt küme sayıları (n elemanlı küme)

  • Alt küme sayısı: \(2^n\)
  • Öz alt küme sayısı: \(2^n - 1\)

Örnek: \(A = \{a, b, c\}\) kümesinin alt kümeleri:
\(\emptyset\), \(\{a\}\), \(\{b\}\), \(\{c\}\), \(\{a, b\}\), \(\{a, c\}\), \(\{b, c\}\), \(\{a, b, c\}\)
Toplam \(2^3 = 8\) alt küme vardır. Kendisi hariç tutulursa \(8 - 1 = 7\) öz alt küme kalır.

Belirli sayıda elemanı olan alt kümeler

n elemanlı bir kümenin r elemanlı alt kümelerinin sayısı, n eleman arasından r tanesini seçme sayısıdır. Bu sayı \(\binom{n}{r}\) ile gösterilir ve "n'nin r'li kombinasyonu" diye okunur.

\[\binom{n}{r} = \frac{n!}{r! \cdot (n - r)!}\]

Pratik hesap

  • \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\), \(\binom{n}{1} = n\)
  • \(\binom{n}{2} = \frac{n \cdot (n - 1)}{2}\), \(\binom{n}{3} = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot (n - 2)}{6}\)
  • \(\binom{n}{r} = \binom{n}{n - r}\); örneğin \(\binom{7}{5} = \binom{7}{2} = 21\)
  • Bütün r değerleri için toplanırsa alt küme sayısının tamamı elde edilir: \(\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \cdots + \binom{n}{n} = 2^n\)

Örnek: 5 elemanlı bir kümenin 2 elemanlı alt küme sayısı: \(\binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10\)

Belirli elemanları içeren veya içermeyen alt kümeler

Bu tip sorularda "zorunlu" ve "yasak" elemanlar ayrılır, yalnızca serbest kalan elemanlar sayılır.

  • Belirli k elemanın hepsini içeren alt kümelerin sayısı: bu k eleman zaten alınmıştır, kalan \(n - k\) eleman serbesttir.
  • Belirli k elemanın hiçbirini içermeyen alt kümelerin sayısı: bu k eleman çıkarılır, kalan \(n - k\) eleman serbesttir.

\[2^{n - k}\]

"En az bir" ifadesi görüldüğünde tümleyen yolu kullanılır: tüm alt kümelerden, istenen özelliği hiç taşımayanlar çıkarılır. Belirli k elemandan en az birini içeren alt kümelerin sayısı:

\[2^n - 2^{n - k}\]

Örnek: \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) kümesinin 1 veya 2'den en az birini içeren alt kümelerinin sayısı:
Tüm alt kümeler: \(2^5 = 32\). Ne 1'i ne 2'yi içerenler (yalnızca 3, 4, 5 serbest): \(2^3 = 8\).
İstenen: \(32 - 8 = 24\)

İki küme arasında kalan kümeler

\(A \subseteq K \subseteq B\) koşulunu sağlayan K kümelerinde A'nın elemanları zorunludur, B'de olup A'da olmayan elemanlar serbesttir. Bu koşulu sağlayan K kümelerinin sayısı:

\[2^{s(B) - s(A)}\]

Kümelerde işlemler

Bu bölümdeki örneklerde \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) evrensel küme, \(A = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) ve \(B = \{4, 5, 6, 7\}\) olsun.

Dört temel işlem

  • Birleşim \(A \cup B\): A'da veya B'de olan elemanlar. \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\)
  • Kesişim \(A \cap B\): Hem A'da hem B'de olan elemanlar. \(A \cap B = \{4, 5\}\)
  • Fark \(A \setminus B\) (A − B diye de yazılır): A'da olup B'de olmayan elemanlar. \(A \setminus B = \{1, 2, 3\}\), \(B \setminus A = \{6, 7\}\)
  • Tümleyen \(A'\): Evrensel kümede olup A'da olmayan elemanlar. \(A' = E \setminus A = \{6, 7, 8, 9, 10\}\)

\(A \cap B = \emptyset\) ise A ile B'ye ayrık kümeler denir. Fark işleminde sıra önemlidir: genellikle \(A \setminus B \neq B \setminus A\) olur.

Venn şemasının bölgeleri

İki küme Venn şemasında çizildiğinde evrensel küme dört bölgeye ayrılır. Problemleri çözerken her bölgeye kendi sayısını yazmak en güvenli yoldur:
1. Yalnız A (\(A \setminus B\))
2. Hem A hem B (\(A \cap B\))
3. Yalnız B (\(B \setminus A\))
4. Hiçbiri (\((A \cup B)'\))

Bu bölgelerden şu eşitlikler doğrudan okunur:
\(s(A) = s(A \setminus B) + s(A \cap B)\)
\(s(A \cup B) = s(A \setminus B) + s(A \cap B) + s(B \setminus A)\)
\(s(E) = s(A \cup B) + s((A \cup B)')\)

İşlem özellikleri ve De Morgan kuralları

Bilinmesi gereken özellikler

  • \(A \cup A = A\), \(A \cap A = A\), \(A \cup \emptyset = A\), \(A \cap \emptyset = \emptyset\)
  • \(A \cup A' = E\), \(A \cap A' = \emptyset\), \((A')' = A\), \(E' = \emptyset\), \(\emptyset' = E\)
  • \(A \setminus B = A \cap B'\)
  • Birleşim ve kesişimin değişme, birleşme ve dağılma özelliği vardır: \(A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)\)
  • \(A \subseteq B\) ise \(A \cup B = B\), \(A \cap B = A\) ve \(A \setminus B = \emptyset\) olur.

\[(A \cup B)' = A' \cap B'\]

\[(A \cap B)' = A' \cup B'\]

De Morgan kuralları, tümleyen alınırken birleşimin kesişime, kesişimin birleşime döndüğünü söyler. "Ne A'da ne B'de olanlar" yani \(A' \cap B'\), aslında hiçbirinde olmayanlar bölgesidir.

Eleman sayısı formülleri

\[s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\]

s(A) ile s(B) toplanırken kesişimdeki elemanlar iki kez sayılır; bu yüzden kesişim bir kez çıkarılır. Formülden şu sonuçlar çıkar:

  • \(s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B)\)
  • \(s(A') = s(E) - s(A)\)
  • Yalnız birinde olanlar: \(s(A \cup B) - s(A \cap B)\)

Üç küme için birleşim

\[s(A \cup B \cup C) = s(A) + s(B) + s(C) - s(A \cap B) - s(A \cap C) - s(B \cap C) + s(A \cap B \cap C)\]

Üç kümeli problemlerde formül yerine Venn şemasını içeriden dışarıya doldurmak çoğu zaman daha hızlıdır:
1. Önce üç kümenin ortak bölgesine \(s(A \cap B \cap C)\) yazılır.
2. Sonra ikili kesişimlerin "yalnız o ikisi" kısımları bulunur: örneğin yalnız A ve B \(= s(A \cap B) - s(A \cap B \cap C)\).
3. En son "yalnız A, yalnız B, yalnız C" bölgeleri hesaplanır.

Tam olarak bir, iki, üç kümede olanlar

Herkesin en az bir kümede olduğu üç kümeli sorularda kişileri "tam olarak 1, tam olarak 2, tam olarak 3 kümede olanlar" diye ayırmak çok işe yarar. Bu sayılar \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) olsun:

\[x_1 + x_2 + x_3 = s(A \cup B \cup C)\]

\[x_1 + 2x_2 + 3x_3 = s(A) + s(B) + s(C)\]

İkinci eşitliğin nedeni: tam iki kümede olan kişi kayıt toplamında 2 kez, üç kümede olan kişi 3 kez sayılır.

En az ve en çok soruları

\(s(A) = a\), \(s(B) = b\) ve evrensel küme \(s(E) = e\) olsun (\(a \ge b\)).

  • Kesişim en çok: Küçük küme tamamen büyük kümenin içindeyken olur: en çok \(b\).
  • Kesişim en az: Birleşim en büyük, yani en çok \(e\) olduğunda olur: en az \(a + b - e\) (bu sayı negatif çıkarsa en az 0).

Kartezyen çarpım

A'dan bir eleman ve B'den bir eleman alınarak oluşturulan sıralı ikililerin kümesine A ile B'nin kartezyen çarpımı denir.

\[A \times B = \{(a, b) \mid a \in A,\ b \in B\}\]

\[s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)\]

Sıralı ikilide sıra önemlidir: \((1, 2) \neq (2, 1)\). Bu yüzden genellikle \(A \times B \neq B \times A\) olur, ama eleman sayıları eşittir.

Örnek: \(A = \{1, 2\}\) ve \(B = \{a, b, c\}\) için
\(A \times B = \{(1, a), (1, b), (1, c), (2, a), (2, b), (2, c)\}\)
\(s(A \times B) = 2 \cdot 3 = 6\)

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Bir kümenin alt küme sayısı ile öz alt küme sayısının toplamı 255'tir. Bu kümenin eleman sayısı kaçtır?

Çözüm: Kümenin eleman sayısı n olsun. Alt küme sayısı \(2^n\), öz alt küme sayısı \(2^n - 1\) olur.
\(2^n + 2^n - 1 = 255\)
\(2 \cdot 2^n = 256\)
\(2^n = 128 = 2^7\), yani \(n = 7\)

Kontrol: \(2^7 = 128\), \(128 + 127 = 255\).
Cevap: 7

Örnek 2. 6 elemanlı bir kümenin en az iki elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Çözüm: "En az iki elemanlı" demek, 0 ve 1 elemanlı alt kümeler dışındaki hepsi demektir. Tümleyen yolunu kullanalım.
Tüm alt kümeler: \(2^6 = 64\)
0 elemanlı alt küme (boş küme): \(\binom{6}{0} = 1\)
1 elemanlı alt kümeler: \(\binom{6}{1} = 6\)
İstenen: \(64 - 1 - 6 = 57\)

Kontrol: \(\binom{6}{2} + \binom{6}{3} + \binom{6}{4} + \binom{6}{5} + \binom{6}{6} = 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 57\).
Cevap: 57

Örnek 3. \(A = \{a, b, c, d, e, f, g\}\) kümesinin 3 veya 4 elemanlı alt kümelerinin sayısı kaçtır?

Çözüm: 3 elemanlı alt kümeler: \(\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{6} = 35\)
4 elemanlı alt kümeler: \(\binom{7}{4} = \binom{7}{3} = 35\)
"Veya" dendiği için iki sayı toplanır: \(35 + 35 = 70\)
Cevap: 70

Örnek 4. \(A = \{a, b, c, d, e, f\}\) kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde a elemanı bulunur ama b elemanı bulunmaz?

Çözüm: a zorunlu eleman olduğu için her alt kümeye konur; b yasak eleman olduğu için hiçbirine konmaz.
Geriye serbest kalan elemanlar: c, d, e, f (4 eleman)
Bu 4 elemanın her biri girer veya girmez: \(2^4 = 16\)
Cevap: 16

Örnek 5. \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde en az bir çift sayı bulunur?

Çözüm: "En az bir" ifadesi olduğu için tümleyen yolunu kullanalım: tüm alt kümelerden hiç çift sayı içermeyenleri çıkaralım.
Tüm alt kümeler: \(2^7 = 128\)
A'daki çift sayılar 2, 4, 6'dır. Hiç çift sayı içermeyen alt kümeler yalnızca tek sayılardan (1, 3, 5, 7) oluşur: \(2^4 = 16\) (boş küme de bunlara dahildir, çünkü onda da çift sayı yoktur).
İstenen: \(128 - 16 = 112\)
Cevap: 112

Örnek 6. A kümesinin alt küme sayısı, B kümesinin alt küme sayısından 48 fazladır. Buna göre \(s(A) + s(B)\) kaçtır?

Çözüm: \(s(A) = a\), \(s(B) = b\) olsun: \(2^a - 2^b = 48\)
Sol tarafı \(2^b\) parantezine alalım: \(2^b \cdot (2^{a - b} - 1) = 48 = 16 \cdot 3\)
\(2^{a - b} - 1\) bir tek sayıdır, \(2^b\) ise 2'nin kuvvetidir. 48'in tek çarpanı 3, 2'nin kuvveti olan çarpanı 16'dır:
\(2^b = 16 \Rightarrow b = 4\)
\(2^{a - b} - 1 = 3 \Rightarrow 2^{a - b} = 4 \Rightarrow a - b = 2 \Rightarrow a = 6\)
\(s(A) + s(B) = 6 + 4 = 10\)

Kontrol: \(2^6 - 2^4 = 64 - 16 = 48\).
Cevap: 10

Örnek 7. \(\{1, 2\} \subseteq K \subseteq \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) koşulunu sağlayan kaç farklı K kümesi vardır?

Çözüm: K kümesinde 1 ve 2 mutlaka bulunur (zorunlu elemanlar). K, büyük kümenin alt kümesi olduğu için 1, 2, 3, 4, 5, 6 dışında eleman alamaz.
Serbest elemanlar: 3, 4, 5, 6 (\(6 - 2 = 4\) eleman)
K sayısı: \(2^4 = 16\)

Not: \(\{1, 2\}\) ve \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) kümeleri de koşulu sağlar ve bu 16'nın içindedir.
Cevap: 16

Örnek 8. \(s(A) = 15\), \(s(B) = 12\) ve \(s(A \cup B) = 20\) olduğuna göre \(s(A \setminus B)\) kaçtır?

Çözüm: Önce kesişimi birleşim formülünden bulalım:
\(s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\)
\(20 = 15 + 12 - s(A \cap B) \Rightarrow s(A \cap B) = 7\)

A'da olup B'de olmayanlar: \(s(A \setminus B) = s(A) - s(A \cap B) = 15 - 7 = 8\)

Kontrol: yalnız B \(= 12 - 7 = 5\); bölgelerin toplamı \(8 + 7 + 5 = 20 = s(A \cup B)\).
Cevap: 8

Örnek 9. A ve B kümeleri için \(s(A \setminus B) = 2 \cdot s(A \cap B)\), \(s(B \setminus A) = 3 \cdot s(A \cap B)\) ve \(s(A \cup B) = 36\)'dır. Buna göre \(s(A)\) kaçtır?

Çözüm: Ortak bölgeye bilinmeyen verelim: \(s(A \cap B) = k\)
Bu durumda yalnız A bölgesi \(2k\), yalnız B bölgesi \(3k\) olur.
Birleşim, üç bölgenin toplamıdır: \(2k + k + 3k = 6k = 36 \Rightarrow k = 6\)
A kümesi, yalnız A bölgesi ile kesişimden oluşur: \(s(A) = 2k + k = 3k = 18\)

Kontrol: bölgeler 12, 6, 18; toplam \(12 + 6 + 18 = 36\).
Cevap: 18

Örnek 10. \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}\) evrensel küme ve A, E'deki asal sayılar kümesidir. A' kümesinin elemanlarının toplamı kaçtır?

Çözüm: E'deki asal sayılar: \(A = \{2, 3, 5, 7\}\) (1 asal değildir).
Tümleyeni tek tek yazmak yerine toplamdan çıkarma yapalım:
E'nin elemanlarının toplamı: \(1 + 2 + \cdots + 10 = \frac{10 \cdot 11}{2} = 55\)
A'nın elemanlarının toplamı: \(2 + 3 + 5 + 7 = 17\)
A' elemanlarının toplamı: \(55 - 17 = 38\)

Kontrol: \(A' = \{1, 4, 6, 8, 9, 10\}\) ve \(1 + 4 + 6 + 8 + 9 + 10 = 38\).
Cevap: 38

Örnek 11. E evrensel kümesinin alt kümeleri A ve B için \(s(E) = 40\), \(s(A) = 20\), \(s(B) = 22\) ve \(s(A' \cap B') = 6\)'dır. Buna göre \(s(A \cap B)\) kaçtır?

Çözüm: De Morgan kuralına göre \(A' \cap B' = (A \cup B)'\). Yani 6 kişi ne A'da ne B'dedir.
\(s(A \cup B) = s(E) - 6 = 40 - 6 = 34\)
Birleşim formülü: \(34 = 20 + 22 - s(A \cap B)\)
\(s(A \cap B) = 42 - 34 = 8\)
Cevap: 8

Örnek 12. 40 kişilik bir sınıfta İngilizce bilen 25, Almanca bilen 18 öğrenci vardır. 5 öğrenci bu iki dilden hiçbirini bilmediğine göre yalnız bir dil bilen kaç öğrenci vardır?

Çözüm: En az bir dil bilenler: \(40 - 5 = 35\) (bu sayı \(s(I \cup A)\)'dır).
İki dili birden bilenler: \(25 + 18 - 35 = 8\)
Yalnız İngilizce bilenler: \(25 - 8 = 17\)
Yalnız Almanca bilenler: \(18 - 8 = 10\)
Yalnız bir dil bilenler: \(17 + 10 = 27\)

Kısa yol: yalnız bir dil bilenler = en az bir dil bilenler − iki dil bilenler = \(35 - 8 = 27\).
Kontrol: \(17 + 8 + 10 + 5 = 40\).
Cevap: 27

Örnek 13. Bir sınıftaki 45 öğrencinin 30'u satranç kursuna, 28'i resim kursuna gitmektedir. Buna göre iki kursa birden giden öğrenci sayısı en az ve en çok kaçtır?

Çözüm: En az: Kesişimin en az olması için birleşim en büyük olmalıdır. Birleşim sınıf mevcudunu (45) geçemez:
\(s(S \cap R) = 30 + 28 - s(S \cup R) \ge 58 - 45 = 13\)
Yani en az 13 öğrenci iki kursa birden gider (bu durumda kursa gitmeyen öğrenci yoktur).

En çok: Resim kursuna gidenlerin hepsi satranç kursuna da gidiyorsa kesişim en büyük olur: en çok 28.
Kontrol: bu durumda birleşim \(30 + 28 - 28 = 30 \le 45\), yani mümkündür.
Cevap: En az 13, en çok 28

Örnek 14. 60 kişilik bir spor kulübünde futbol oynayan 30, basketbol oynayan 25, voleybol oynayan 20 kişi vardır. Futbol ve basketbol oynayan 10, futbol ve voleybol oynayan 8, basketbol ve voleybol oynayan 7 kişidir. Üç sporu birden yapan 3 kişi olduğuna göre
a) bu üç spordan hiçbirini yapmayan kaç kişi vardır?
b) yalnızca bir spor yapan kaç kişi vardır?

Çözüm: a) Üç küme formülüyle en az bir spor yapanları bulalım:
\(s(F \cup B \cup V) = 30 + 25 + 20 - 10 - 8 - 7 + 3 = 53\)
Hiçbirini yapmayanlar: \(60 - 53 = 7\)

b) Şemayı içeriden dışarıya dolduralım. Ortaya 3 yazılır. Yalnız ikili bölgeler:

  • yalnız futbol ve basketbol: \(10 - 3 = 7\)
  • yalnız futbol ve voleybol: \(8 - 3 = 5\)
  • yalnız basketbol ve voleybol: \(7 - 3 = 4\)

Yalnız bir spor yapanlar:

  • yalnız futbol: \(30 - 7 - 5 - 3 = 15\)
  • yalnız basketbol: \(25 - 7 - 4 - 3 = 11\)
  • yalnız voleybol: \(20 - 5 - 4 - 3 = 8\)

Toplam: \(15 + 11 + 8 = 34\)

Kontrol: \(34 + (7 + 5 + 4) + 3 = 53\), birleşimle aynı.
Cevap: a) 7 b) 34

Örnek 15. 50 öğrencinin her biri A, B, C kurslarından en az birine gitmektedir. Kurslara kayıtlı öğrenci sayılarının toplamı \(s(A) + s(B) + s(C) = 70\)'tir. Üç kursa birden giden 4 öğrenci olduğuna göre tam olarak iki kursa giden kaç öğrenci vardır?

Çözüm: Tam olarak bir, iki ve üç kursa gidenler \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) olsun; \(x_3 = 4\).
Herkes en az bir kursa gittiği için: \(x_1 + x_2 + 4 = 50 \Rightarrow x_1 + x_2 = 46\)
Kayıt toplamında tam iki kursa giden 2 kez, üç kursa giden 3 kez sayılır:
\(x_1 + 2x_2 + 3 \cdot 4 = 70 \Rightarrow x_1 + 2x_2 = 58\)
İkinci denklemden birinciyi çıkaralım: \(x_2 = 58 - 46 = 12\)

Kontrol: \(x_1 = 34\); \(34 + 12 + 4 = 50\) ve \(34 + 24 + 12 = 70\).
Cevap: 12

Örnek 16. \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) ve \(B = \{2, 3, 5\}\) olmak üzere \(A \times B\) kümesinin kaç elemanı \((a, b)\) biçiminde olup \(a \lt b\) koşulunu sağlar?

Çözüm: Önce \(s(A \times B) = 4 \cdot 3 = 12\) ikili olduğunu not edelim. Şimdi B'deki her b için uygun a değerlerini sayalım:

  • \(b = 2\): \(a \lt 2\) olan A elemanı yalnız 1 → 1 ikili
  • \(b = 3\): \(a\) 1 veya 2 olabilir → 2 ikili
  • \(b = 5\): \(a\) 1, 2, 3, 4 olabilir → 4 ikili

Toplam: \(1 + 2 + 4 = 7\)

Kontrol: koşulu sağlamayan ikililer (2, 2), (3, 2), (4, 2), (3, 3), (4, 3); \(12 - 5 = 7\).
Cevap: 7

Sık yapılan hatalar

  • Öz alt küme sayısını \(2^n\) almak: öz alt kümeler kümenin kendisini içermez, \(2^n - 1\) olur.
  • "En az bir çift sayı içeren" sorularında hiç çift içermeyenleri sayarken boş kümeyi unutmak ya da iki kez çıkarmak: \(2^{n - k}\) sayısı boş kümeyi zaten içerir.
  • \(s(A) + s(B)\) toplamını birleşim sanmak: kesişim iki kez sayılmıştır, bir kez çıkarılmalıdır.
  • "A'yı bilenler" ile "yalnız A'yı bilenler"i karıştırmak: s(A) kesişimi de içerir.
  • Üç kümeli sorularda "futbol ve basketbol oynayan 10 kişi" bilgisini yalnız ikili bölgeye yazmak: bu 10 kişinin içinde üç sporu yapanlar da vardır; yalnız ikili bölge \(10 - 3 = 7\)'dir.
  • \(\{\emptyset\}\) kümesini boş küme sanmak veya \(\in\) ile \(\subseteq\) işaretlerini karıştırmak.

Kısa tekrar

  • Alt küme sayısı \(2^n\), öz alt küme sayısı \(2^n - 1\), r elemanlı alt küme sayısı \(\binom{n}{r}\)
  • Zorunlu ve yasak elemanları ayır, serbest kalan eleman sayısı m ise \(2^m\) hesapla; "en az bir" için tümleyen yolu
  • \(s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\); De Morgan: \((A \cup B)' = A' \cap B'\)
  • Üç kümede şemayı içeriden dışarıya doldur; tam iki/üç sorularında \(x_1 + 2x_2 + 3x_3\) toplamını kullan
  • \(s(A \times B) = s(A) \cdot s(B)\)

Konuyu pekiştir

Kendini dene: Kümeler çözümlü testleri →

WhatsApp