Köklü Sayılar Konu Anlatımı

Köklü sayı nedir?

Köklü sayılar, üslü sayıların tersi gibi düşünülebilir: "Karesi 49 olan pozitif sayı hangisi?" sorusunun cevabı \(\sqrt{49} = 7\)'dir. KPSS'de bu konudan genellikle kök dışına çıkarma, benzer köklerle işlem, paydayı kökten kurtarma (eşlenik), sıralama ve iç içe kök soruları gelir. Konunun özü: kök içini çarpanlarına ayır, tam kuvvetleri dışarı çıkar, sonra benzer kökleri topla.

\[\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}\]

\[\sqrt{a} = a^{\frac{1}{2}} \quad (a \ge 0)\]

Örnek: \(\sqrt[3]{8} = 2\) çünkü \(2^3 = 8\)
\(\sqrt[3]{-27} = -3\) çünkü \((-3)^3 = -27\)
\(\sqrt[4]{16} = 2\)

Tanım koşulu

• Çift dereceli kökün (karekök, 4. dereceden kök...) içi negatif olamaz. \(\sqrt{-4}\) gerçek sayı değildir. \(\sqrt{x - 3}\) ifadesinin tanımlı olması için \(x - 3 \ge 0\), yani \(x \ge 3\) olmalıdır.
• Tek dereceli kökün (küpkök, 5. dereceden kök...) içi negatif olabilir; sonuç da negatif olur.
• Karekökün sonucu her zaman sıfır veya pozitiftir: \(\sqrt{a} \ge 0\).

Kök ve mutlak değer

\[\sqrt{x^2} = |x|\]

\[\sqrt[3]{x^3} = x\]

Çift dereceli kökte sonuç mutlak değerle dışarı çıkar; tek dereceli kökte işaret korunur. Örneğin \(\sqrt{(-7)^2} = \sqrt{49} = 7 = |-7|\) olur, \(-7\) değil.

Kök dışına çıkarma ve kök içine alma

Kök içindeki sayı, biri tam kare (veya tam küp) olacak biçimde iki çarpana ayrılır; tam kare olan çarpanın kökü dışarı çıkar.

\[\sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \quad (a \ge 0)\]

\[\sqrt[3]{a^3 \cdot b} = a\sqrt[3]{b}\]

Örnek: \(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}\)
\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)
\(\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \cdot 2} = 3\sqrt[3]{2}\)

Ters yönde, kök dışındaki pozitif katsayı karesi (küpkökte küpü) alınarak köke girer: \(2\sqrt{3} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{12}\), \(3\sqrt{2} = \sqrt{18}\). Bu işlem özellikle sıralama sorularında kullanılır.

Köklü sayılarla dört işlem

Toplama ve çıkarma

Yalnızca benzer kökler (derecesi ve kök içi aynı olanlar) toplanıp çıkarılabilir; katsayılar toplanır, kök aynen yazılır. Benzer görünmeyen kökleri önce sadeleştir; çoğu zaman benzer hâle gelirler.

\[a\sqrt{x} + b\sqrt{x} - c\sqrt{x} = (a + b - c)\sqrt{x}\]

Çarpma ve bölme

\[\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a b}\]

\[\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \quad (a \ge 0,\ b \gt 0)\]

Örnek: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{16} = 4\)
\(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{25} = 5\)

Dereceleri farklı kökleri çarpmak veya karşılaştırmak için önce dereceler eşitlenir. Derece ve kök içindeki üs aynı sayıyla çarpılabilir: \(\sqrt[3]{2} = \sqrt[6]{2^2} = \sqrt[6]{4}\), \(\sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}\).

Kesir ve ondalık sayıların kökü

Tam sayılı kesir önce bileşik kesre çevrilir: \(\sqrt{2\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}\). Ondalık sayıda virgülden sonraki basamak sayısı çift olacak biçimde kesre çevrilir: \(\sqrt{0{,}09} = \sqrt{\frac{9}{100}} = \frac{3}{10} = 0{,}3\).

Paydayı kökten kurtarma (rasyonel yapma)

Paydada kök bırakılmaz. İki durum vardır:

• Payda tek terimli ise pay ve payda aynı kökle çarpılır: \(\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}\), \(\frac{6}{\sqrt{2}} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\). Küpkökte kök içini tam küpe tamamlayacak çarpan seçilir: \(\frac{1}{\sqrt[3]{2}} = \frac{\sqrt[3]{4}}{2}\).
• Payda iki terimli ise pay ve payda eşlenikle çarpılır. \(\sqrt{a} + \sqrt{b}\) ifadesinin eşleniği \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\)'dir.

\[(\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b\]

Örnek: \(\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{2(\sqrt{3} - 1)}{3 - 1} = \sqrt{3} - 1\)

İç içe kökler (tam kare yöntemi)

\(\sqrt{x + 2\sqrt{y}}\) biçimindeki ifadede toplamı x, çarpımı y olan iki sayı (a ve b) aranır. Bulunursa kök açılır. Ortadaki katsayı 2 değilse önce 2 yapılır: \(4\sqrt{3} = 2\sqrt{12}\).

\[\sqrt{x + 2\sqrt{y}} = \sqrt{a} + \sqrt{b}\]

\[\sqrt{x - 2\sqrt{y}} = \sqrt{a} - \sqrt{b} \quad (a + b = x,\ a \cdot b = y,\ a \gt b)\]

Örnek: \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\): toplamı 5, çarpımı 6 olan sayılar 3 ve 2'dir, sonuç \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\).
\(\sqrt{7 - 2\sqrt{10}}\): toplamı 7, çarpımı 10 olan sayılar 5 ve 2'dir, sonuç \(\sqrt{5} - \sqrt{2}\).
\(\sqrt{7 - 4\sqrt{3}} = \sqrt{7 - 2\sqrt{12}}\): toplamı 7, çarpımı 12 olan sayılar 4 ve 3'tür, sonuç \(\sqrt{4} - \sqrt{3} = 2 - \sqrt{3}\).

Köklü sayıları sıralama ve tahmin etme

• Katsayılı köklerde katsayıyı köke al, kök içlerini karşılaştır.
• Dereceleri farklıysa dereceleri EKOK'ta eşitle.
• Bir kökün hangi iki tam sayı arasında olduğunu bulmak için kök içinin iki yanındaki tam kareler bulunur: \(25 \lt 30 \lt 36\) olduğundan \(5 \lt \sqrt{30} \lt 6\).

Çözümlü örnekler

Örnek 1. \(\sqrt{48} + \sqrt{27} - \sqrt{75}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Her kökü en büyük tam kare çarpanıyla sadeleştirelim:
\(\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = 5\sqrt{3}\)

Kökler benzer oldu; katsayıları toplayalım: \((4 + 3 - 5)\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
Cevap: \(2\sqrt{3}\)

• Benzer soru: Benzer köklere dönüşen iki karekökün toplamı

Örnek 2. \(\frac{12}{\sqrt{3}} + \sqrt{27}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Paydayı kökten kurtarmak için pay ve paydayı \(\sqrt{3}\) ile çarpalım:
\(\frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}\)
\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)

Toplam: \(4\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 7\sqrt{3}\)
Cevap: \(7\sqrt{3}\)

• Benzer soru: Paydadaki karekökten kurtulma

Örnek 3. \(a = 3\sqrt{5}\), \(b = 2\sqrt{11}\), \(c = 4\sqrt{3}\) sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Katsayıların karesini alıp köke sokalım:
\(a = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}\)
\(b = \sqrt{4 \cdot 11} = \sqrt{44}\)
\(c = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}\)

Kök içleri: \(44 \lt 45 \lt 48\)
Cevap: \(b \lt a \lt c\)

• Benzer soru: Katsayılı karekökleri kök içine alarak sıralama

Örnek 4. \(\sqrt{(-4)^2} + \sqrt[3]{-27} - \sqrt[4]{(-3)^4}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

• \(\sqrt{(-4)^2} = |-4| = 4\) (çift dereceli kök, mutlak değerle çıkar)
• \(\sqrt[3]{-27} = -3\) (tek dereceli kök, işaret korunur)
• \(\sqrt[4]{(-3)^4} = |-3| = 3\) (çift dereceli kök)

Sonuç: \(4 + (-3) - 3 = -2\)
Cevap: \(-2\)

• Benzer soru: Negatif sayıda karekök ve küpkök toplamı

Örnek 5. \(a = \sqrt{3}\), \(b = \sqrt[3]{5}\), \(c = \sqrt[6]{26}\) sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Dereceler 2, 3 ve 6'dır; EKOK'ları 6 olduğu için hepsini 6. dereceden köke çevirelim:
\(a = \sqrt{3} = \sqrt[6]{3^3} = \sqrt[6]{27}\)
\(b = \sqrt[3]{5} = \sqrt[6]{5^2} = \sqrt[6]{25}\)
\(c = \sqrt[6]{26}\)

Kök içleri: \(25 \lt 26 \lt 27\)
Cevap: \(b \lt c \lt a\)

• Benzer soru: Farklı dereceli köklerin sıralanması

Örnek 6. \(\sqrt{20}\) ile \(\sqrt{150}\) arasında kaç tane tam sayı vardır?

Çözüm: Her kökün iki yanındaki tam kareleri bulalım:
\(16 \lt 20 \lt 25 \Rightarrow 4 \lt \sqrt{20} \lt 5\)
\(144 \lt 150 \lt 169 \Rightarrow 12 \lt \sqrt{150} \lt 13\)

Aradaki tam sayılar: 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Sayısı: \(12 - 5 + 1 = 8\)
Cevap: 8

• Benzer soru: İki karekök arasındaki tam sayılar

Örnek 7. \(x\sqrt{8} + \sqrt{18} = \sqrt{98}\) olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm: Bütün kökleri \(\sqrt{2}\) cinsinden yazalım:
\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\), \(\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2}\)

Denklem: \(2x\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2}\)
İki tarafı \(\sqrt{2}\)'ye bölelim: \(2x + 3 = 7 \Rightarrow x = 2\)
Cevap: 2

• Benzer soru: Ortak kök parantezine alınan denklem

Örnek 8. \(\frac{6}{3 - \sqrt{3}}\) ifadesinin paydası rasyonel yapılınca sonuç nedir?

Çözüm: Payda iki terimli olduğu için pay ve paydayı eşlenik olan \(3 + \sqrt{3}\) ile çarpalım:
\(\frac{6(3 + \sqrt{3})}{(3 - \sqrt{3})(3 + \sqrt{3})} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{9 - 3} = \frac{6(3 + \sqrt{3})}{6}\)

6'lar sadeleşir: \(3 + \sqrt{3}\)
Cevap: \(3 + \sqrt{3}\)

• Benzer soru: Eşlenikle çarparak paydayı rasyonel yapma

Örnek 9. \(\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Her kesri kendi eşleniğiyle genişletelim. Paydalar \((\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2 = 3 - 2 = 1\) olur:
\(\frac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} + \sqrt{2}\)
\(\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)

Fark: \((\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\)
Cevap: \(2\sqrt{2}\)

• Benzer soru: Eşlenik paydalı iki kesrin farkı

Örnek 10. \(\sqrt[3]{4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Kök içinde dört tane aynı terim var:
\(4^5 + 4^5 + 4^5 + 4^5 = 4 \cdot 4^5 = 4^6\)

Küpkök almak üssü 3'e bölmek demektir:
\(\sqrt[3]{4^6} = 4^{\frac{6}{3}} = 4^2 = 16\)
Kontrol: \(16^3 = 4096 = 4^6\)
Cevap: 16

• Benzer soru: Dördün kuvvetleri toplamının küpkökü

Örnek 11. \(\frac{\sqrt{0{,}49} + \sqrt{0{,}0016}}{\sqrt{0{,}0001}}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Ondalık sayıları kesre çevirip kökünü alalım:
\(\sqrt{0{,}49} = \sqrt{\frac{49}{100}} = \frac{7}{10} = 0{,}7\)
\(\sqrt{0{,}0016} = \sqrt{\frac{16}{10000}} = \frac{4}{100} = 0{,}04\)
\(\sqrt{0{,}0001} = \sqrt{\frac{1}{10000}} = \frac{1}{100} = 0{,}01\)

Pay: \(0{,}7 + 0{,}04 = 0{,}74\)
Bölüm: \(0{,}74 \div 0{,}01 = 74\)
Cevap: 74

• Benzer soru: Ondalık sayıların karekökleriyle işlem

Örnek 12. \(1 \lt x \lt 3\) olmak üzere \(\sqrt{x^2 - 2x + 1} + \sqrt{x^2 - 6x + 9}\) ifadesinin eşiti nedir?

Çözüm: Kök içleri tam karedir:
\(x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2\), \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\)

\(\sqrt{x^2} = |x|\) kuralıyla: \(|x - 1| + |x - 3|\)
\(1 \lt x \lt 3\) için \(x - 1\) pozitif olduğundan \(|x - 1| = x - 1\)
\(x - 3\) negatif olduğundan \(|x - 3| = 3 - x\)

Toplam: \((x - 1) + (3 - x) = 2\)
Kontrol: \(x = 2\) için \(\sqrt{1} + \sqrt{1} = 2\).
Cevap: 2

• Benzer soru: Aralıkta karekök ile mutlak değer

Örnek 13. \(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} - \sqrt{8 - 2\sqrt{15}}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Toplamı 8, çarpımı 15 olan iki sayı arıyoruz: 5 ve 3.
\(\sqrt{8 + 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} + \sqrt{3}\)
\(\sqrt{8 - 2\sqrt{15}} = \sqrt{5} - \sqrt{3}\) (büyük olan önce)

Fark: \((\sqrt{5} + \sqrt{3}) - (\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}\)
Kontrol: \((\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 + 3 + 2\sqrt{15} = 8 + 2\sqrt{15}\)
Cevap: \(2\sqrt{3}\)

• Benzer soru: İç içe iki kökün farkı

Örnek 14. \(\sqrt{30} + \sqrt{50}\) toplamının tam kısmı kaçtır?

Çözüm: Kaba tahmin: \(5 \lt \sqrt{30} \lt 6\) ve \(7 \lt \sqrt{50} \lt 8\); toplam 12 ile 14 arasında kalır, bu yetmez. Daha dar aralık bulalım:
\(5{,}5^2 = 30{,}25\) ve bu 30'dan büyük olduğundan \(5 \lt \sqrt{30} \lt 5{,}5\)
\(7{,}1^2 = 50{,}41\) ve bu 50'den büyük olduğundan \(7 \lt \sqrt{50} \lt 7{,}1\)

Toplarsak: \(12 \lt \sqrt{30} + \sqrt{50} \lt 12{,}6\)
Toplam 12 ile 13 arasında olduğu için tam kısmı 12'dir.
Cevap: 12

• Benzer soru: İki karekök toplamının tam kısmı

Örnek 15. \(x = \sqrt{5} + 1\) olduğuna göre \(x^2 - 2x\) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: x'i doğrudan yerine yazmak yerine kökü yalnız bırakıp kare alalım:
\(x - 1 = \sqrt{5}\)
\((x - 1)^2 = 5 \Rightarrow x^2 - 2x + 1 = 5\)
\(x^2 - 2x = 4\)

Kontrol: \(x^2 = 6 + 2\sqrt{5}\), \(2x = 2\sqrt{5} + 2\); fark \(6 - 2 = 4\).
Cevap: 4

• Benzer soru: Kök içeren ifadenin tam kare ile hesabı

Örnek 16. \((\sqrt{5} - 2)^{10} \cdot (\sqrt{5} + 2)^{11}\) işleminin sonucu nedir?

Çözüm: \((\sqrt{5} + 2)^{11}\) çarpanını \((\sqrt{5} + 2)^{10} \cdot (\sqrt{5} + 2)\) biçiminde ayıralım. Üsleri aynı olanları birleştirelim:
\((\sqrt{5} - 2)^{10} \cdot (\sqrt{5} + 2)^{10} = \left[(\sqrt{5} - 2)(\sqrt{5} + 2)\right]^{10}\)

Eşlenik çarpımı: \((\sqrt{5})^2 - 2^2 = 5 - 4 = 1\)
\(1^{10} = 1\)

Sonuç: \(1 \cdot (\sqrt{5} + 2) = \sqrt{5} + 2\)
Cevap: \(\sqrt{5} + 2\)

• Benzer soru: Eşlenik kuvvetlerinin çarpımı

Örnek 17. Kenar uzunlukları \(\sqrt{12}\) cm ve \(\sqrt{27}\) cm olan bir dikdörtgenle aynı alana sahip olan karenin çevresi kaç cm'dir?

Çözüm: Dikdörtgenin alanı: \(\sqrt{12} \cdot \sqrt{27} = \sqrt{324} = 18\) cm²
Karenin alanı da 18 olduğundan kenarı: \(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\) cm
Karenin çevresi: \(4 \cdot 3\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\) cm

Kontrol: \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\), \(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\) ve \(2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{3} = 6 \cdot 3 = 18\).
Cevap: \(12\sqrt{2}\) cm

• Benzer soru: Dikdörtgenle eş alanlı karenin çevresi

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Köklü Sayılar soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Köklü Sayılar çözümlü testleri →