Eşitsizlikler Konu Anlatımı

Eşitsizlik nedir?

Eşitsizlik, iki ifadenin birbirinden büyük ya da küçük olduğunu anlatan bağıntıdır. KPSS'de bu konudan; birinci dereceden eşitsizlik çözme, verilen aralıktaki tam sayıları sayma, aralığı bilinen sayılardan yeni bir ifadenin aralığını bulma, işaret yorumlama ve günlük hayat problemleri ("en az kaç", "en fazla kaç") gelir. Konunun özü tek bir kurala dayanır: eşitsizlik, denklem gibi çözülür; yalnızca negatif sayıyla çarpıp bölerken yön değişir.

Aralık gösterimi

• Açık aralık: \(2 \lt x \lt 5\) ise x, \((2, 5)\) aralığındadır; uç noktalar dahil değildir.
• Kapalı aralık: \(2 \le x \le 5\) ise x, \([2, 5]\) aralığındadır; uç noktalar dahildir.
• Yarı açık aralık: \(2 \le x \lt 5\) ise x, \([2, 5)\) aralığındadır.

Sayı doğrusunda dahil olan uç dolu nokta, dahil olmayan uç boş nokta ile gösterilir.

Eşitsizliğin özellikleri

Örnek: \(-2x \gt 6\) eşitsizliğinde iki taraf \(-2\)'ye bölünürse yön değişir: \(x \lt -3\).
\(2 \lt 3\) ise \(\frac{1}{2} \gt \frac{1}{3}\) olur.

Sayıların işaretine göre özellikler

• \(0 \lt x \lt 1\) ise kuvvet arttıkça sayı küçülür: \(x^3 \lt x^2 \lt x \lt \sqrt{x} \lt 1 \lt \frac{1}{x}\).
• \(x \gt 1\) ise kuvvet arttıkça sayı büyür: \(x \lt x^2 \lt x^3\).
• Çift kuvvetler hiçbir zaman negatif değildir: \(x^2 \ge 0\).
• \(a \cdot b \lt 0\) ise a ile b zıt işaretlidir; \(a \cdot b \gt 0\) ise aynı işaretlidir.
• \(a \lt b \lt 0\) ise sayılardan mutlak değerce büyük olan a'dır; bu yüzden \(a^2 \gt b^2\) olur.

Birinci dereceden eşitsizlik çözme

1. Paydalar varsa paydaların EKOK'u (pozitif sayı) ile her terimi çarp.
2. Parantezleri aç.
3. Bilinmeyenleri bir tarafa, sabitleri diğer tarafa topla.
4. Bilinmeyenin katsayısına böl; katsayı negatifse yönü çevir.

Örnek: \(5 - 3x \le 2x - 10\)
\(-3x - 2x \le -10 - 5\)
\(-5x \le -15\)
\(-5\)'e bölünce yön değişir: \(x \ge 3\)

Çift taraflı eşitsizlik

\(a \lt px + q \lt b\) biçimindeki eşitsizlikte yapılan işlem üç tarafa birden uygulanır. Böylece x yalnız bırakılır.

Birlikte sağlanan koşullar

Bir sayının iki eşitsizliği birlikte sağlaması isteniyorsa her eşitsizlik ayrı çözülür ve çözüm aralıklarının ortak kısmı (kesişimi) alınır. Örneğin \(x \lt 5\) ve \(x \ge -4\) ise \(-4 \le x \lt 5\) olur.

Aralığı bilinen sayılardan yeni ifadenin aralığı

Tek değişkenli doğrusal ifade: Eşitsizliğe adım adım aynı işlemler uygulanır. \(-2 \lt x \lt 3\) ise:
\(-4 \lt 2x \lt 6\) ve buradan \(-3 \lt 2x + 1 \lt 7\) olur.

Toplam: Aynı yönlü eşitsizlikler doğrudan toplanır.
Fark: \(x - y = x + (-y)\) yazılır; y'nin aralığı \(-1\) ile çarpılıp ters çevrilir, sonra toplanır.
Çarpım: Uç değerlerin dört çarpımı hesaplanır; en küçüğü alt sınır, en büyüğü üst sınırdır. Bu yöntem aralıklar sıfırı içerse de içermese de doğru sonucu verir; uç noktalar dahil değilse sınırlar da dahil olmaz.
Kare: Aralık sıfırı içeriyorsa karenin en küçük değeri 0'dır. \(-3 \lt x \lt 2\) ise \(0 \le x^2 \lt 9\) olur; \(4 \lt x^2 \lt 9\) yazmak yanlıştır.

Problemlerde eşitsizlik

"En az", "en fazla", "geçmemek", "daha ucuz olmak" gibi ifadeler eşitsizlik kurulmasını gerektirir:

• "en az 75" → \(\ge 75\), "75'ten fazla" → \(\gt 75\)
• "en fazla 12" → \(\le 12\), "12'den az" → \(\lt 12\)

Bulunan aralıkta sorunun istediği tam sayı değeri seçilir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. \(3x - 2 \lt 13\) ve \(2x + 5 \ge -3\) eşitsizliklerini birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?

Çözüm: Her eşitsizliği ayrı çözelim:
\(3x - 2 \lt 13 \Rightarrow 3x \lt 15 \Rightarrow x \lt 5\)
\(2x + 5 \ge -3 \Rightarrow 2x \ge -8 \Rightarrow x \ge -4\)

Ortak kısım: \(-4 \le x \lt 5\)
Tam sayılar: \(-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\)
Cevap: 9

• Benzer soru: İki koşulu birlikte sağlayan tam sayıların sayısı

Örnek 2. \(-3x + 5 \le 17\) eşitsizliğini sağlayan kaç tane negatif tam sayı vardır?

Çözüm: \(-3x \le 12\)
İki tarafı \(-3\)'e bölelim; negatif sayıya bölündüğü için yön değişir:
\(x \ge -4\)

Negatif tam sayılar: \(-4, -3, -2, -1\)
Cevap: 4

• Benzer soru: Negatif katsayılı eşitsizlikte negatif tam sayılar

Örnek 3. \(-5 \lt 2x + 3 \le 11\) eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

Çözüm: Üç taraftan 3 çıkaralım: \(-8 \lt 2x \le 8\)
Üç tarafı 2'ye bölelim: \(-4 \lt x \le 4\)

Tam sayılar: \(-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\)
\(-3\) ile 3 arasındakiler birbirini götürür; toplam 4 kalır.
Cevap: 4

• Benzer soru: Çift taraflı eşitsizliğin çözüm aralığı

Örnek 4. \(\frac{2x - 1}{3} \gt x - 4\) eşitsizliğini sağlayan en büyük x tam sayısı kaçtır?

Çözüm: Payda 3 pozitif olduğu için iki tarafı 3 ile çarpınca yön değişmez:
\(2x - 1 \gt 3x - 12\)
\(2x - 3x \gt -12 + 1\)
\(-x \gt -11\)
\(-1\) ile çarpınca yön değişir: \(x \lt 11\)

11 dahil değil; en büyük tam sayı 10'dur.
Kontrol: \(x = 10\) için \(\frac{19}{3} \approx 6{,}3\) ve \(10 - 4 = 6\); \(6{,}3 \gt 6\) doğru.
Cevap: 10

• Benzer soru: Paydalı eşitsizlikte en büyük tam sayı

Örnek 5. \(-2 \lt x \lt 5\) olduğuna göre \(3 - 2x\) ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözüm: Adım adım ilerleyelim:
\(-2\) ile çarpalım, yön değişir: \(4 \gt -2x \gt -10\), yani \(-10 \lt -2x \lt 4\)
3 ekleyelim: \(-7 \lt 3 - 2x \lt 7\)

x gerçek sayı olduğu için ifade \(-7\) ile 7 arasındaki her değeri alır. Tam sayılar \(-6\)'dan 6'ya kadardır: \(6 - (-6) + 1 = 13\)
Cevap: 13

• Benzer soru: Aralığı bilinen sayıdan azalan ifadenin aralığı

Örnek 6. \(-3 \lt x \lt 4\) ve \(2 \lt y \lt 6\) olduğuna göre \(x - y\) ifadesinin alabileceği en büyük tam sayı değeri kaçtır?

Çözüm: Eşitsizlikler taraf tarafa çıkarılmaz; y'nin aralığını \(-1\) ile çarpalım:
\(-6 \lt -y \lt -2\)

Şimdi x ile taraf tarafa toplayalım:
\(-3 + (-6) \lt x - y \lt 4 + (-2)\)
\(-9 \lt x - y \lt 2\)

2 dahil olmadığı için en büyük tam sayı değeri 1'dir (örneğin \(x = 3{,}5\), \(y = 2{,}5\)).
Cevap: 1

• Benzer soru: Farkın alabileceği en büyük tam sayı değer

Örnek 7. \(-2 \lt x \lt 3\) ve \(-4 \lt y \lt 1\) olduğuna göre \(x \cdot y\) çarpımının alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözüm: Çarpımda uç değerlerin dört çarpımına bakılır:
\((-2)(-4) = 8\), \((-2)(1) = -2\), \(3 \cdot (-4) = -12\), \(3 \cdot 1 = 3\)
En küçüğü \(-12\), en büyüğü 8'dir. Uçlar dahil olmadığı için:
\(-12 \lt x \cdot y \lt 8\)

Tam sayı değerleri \(-11\)'den 7'ye kadardır: \(7 - (-11) + 1 = 19\)
Cevap: 19

• Benzer soru: Sıfırı içeren aralıklardan çarpımın uç değerleri

Örnek 8. x ve y tam sayılar olmak üzere \(-3 \le x \le 2\) ve \(1 \le y \le 3\) olduğuna göre \(x^2 - y^2\) ifadesinin en büyük ve en küçük değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm: Önce \(x^2\) aralığı: x, \(-3\) ile 2 arasında ve 0'ı içerdiği için \(x^2\) en küçük 0 (\(x = 0\)), en büyük 9'dur (\(x = -3\)).
\(y^2\) en küçük 1, en büyük 9'dur.

En büyük değer: \(x^2\) en büyük, \(y^2\) en küçük: \(9 - 1 = 8\)
En küçük değer: \(x^2\) en küçük, \(y^2\) en büyük: \(0 - 9 = -9\)
Toplam: \(8 + (-9) = -1\)
Cevap: \(-1\)

• Benzer soru: Kareler farkının en büyük ve en küçük değeri

Örnek 9. \(0 \lt x \lt 1\) olmak üzere \(x\), \(x^2\), \(\sqrt{x}\) ve \(\frac{1}{x}\) sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: 0 ile 1 arasındaki bir sayının kuvveti arttıkça değeri küçülür. Kolaylık için \(x = \frac{1}{4}\) seçip deneyelim:
\(x^2 = \frac{1}{16}\), \(x = \frac{1}{4}\), \(\sqrt{x} = \frac{1}{2}\), \(\frac{1}{x} = 4\)

Sıralama: \(\frac{1}{16} \lt \frac{1}{4} \lt \frac{1}{2} \lt 4\)
Bu sıralama 0 ile 1 arasındaki her x için geçerlidir.
Cevap: \(x^2 \lt x \lt \sqrt{x} \lt \frac{1}{x}\)

• Benzer soru: Sıfır ile bir arasındaki sayının kuvvetlerini sıralama

Örnek 10. \(a \lt b \lt 0\) olduğuna göre aşağıdakilerden hangileri her zaman doğrudur?
I. \(a^2 \gt b^2\)
II. \(\frac{1}{a} \lt \frac{1}{b}\)
III. \(a \cdot b \gt b^2\)

Çözüm: I. a ile b negatif ve a daha küçük olduğu için a'nın mutlak değeri daha büyüktür; karesi de daha büyüktür. Doğru.

II. a ile b aynı işaretli olduğundan ters alınca yön değişir: \(a \lt b \Rightarrow \frac{1}{a} \gt \frac{1}{b}\). Örnek: \(a = -3\), \(b = -2\) için \(-\frac{1}{3} \gt -\frac{1}{2}\). Yanlış.

III. \(a \lt b\) eşitsizliğini negatif olan b ile çarpalım; yön değişir: \(a \cdot b \gt b \cdot b = b^2\). Doğru.
Cevap: I ve III

• Benzer soru: Negatif iki sayı için öncüllerin doğruluğu

Örnek 11. Bir öğrencinin ilk üç sınavdan aldığı notlar 62, 75 ve 80'dir. Dört sınavın ortalamasının en az 75 olması için dördüncü sınavdan en az kaç alması gerekir?

Çözüm: Dördüncü not x olsun. "En az 75" ifadesi \(\ge\) demektir:
\(\frac{62 + 75 + 80 + x}{4} \ge 75\)
\(217 + x \ge 300\)
\(x \ge 83\)

Kontrol: \(\frac{217 + 83}{4} = \frac{300}{4} = 75\)
Cevap: 83

• Benzer soru: Ortalamayı geçmek için gereken en düşük not

Örnek 12. Bir telefon şirketinin A tarifesinde aylık sabit ücret 120 TL'dir ve konuşma ücretsizdir. B tarifesinde ise aylık 40 TL'ye ek olarak dakika başına 0,5 TL ödenir. Bir ayda en az kaç dakika konuşan biri için A tarifesi daha ucuzdur?

Çözüm: x dakika konuşulsun. B tarifesinin ücreti \(40 + 0{,}5x\) TL'dir. A'nın daha ucuz olması için:
\(40 + 0{,}5x \gt 120\)
\(0{,}5x \gt 80\)
\(x \gt 160\)

160 dakikada iki tarife eşittir; A'nın daha ucuz olduğu en küçük tam dakika 161'dir.
Cevap: 161

• Benzer soru: Sabit ücretli tarifenin daha ucuz olduğu süre

Örnek 13. a, b ve c birbirinden farklı pozitif tam sayılardır. \(a \lt b \lt c\) ve \(a + b + c = 40\) olduğuna göre c en az kaçtır?

Çözüm: c'nin en küçük olması için a ve b'nin olabildiğince büyük olması gerekir. b en fazla \(c - 1\), a en fazla \(c - 2\) olabilir:
\(a + b + c \le (c - 2) + (c - 1) + c = 3c - 3\)
\(40 \le 3c - 3 \Rightarrow 3c \ge 43 \Rightarrow c \ge 14{,}33...\)

c tam sayı olduğu için en az 15'tir.
Kontrol: \(c = 15\) için \(a + b = 25\); örneğin \(a = 11\), \(b = 14\) olur ve \(11 \lt 14 \lt 15\).
Cevap: 15

• Benzer soru: Farklı üç tam sayıda en büyüğün en küçük değeri

Örnek 14. \(2x - a \lt 3x + 1\) eşitsizliğinin çözüm kümesi \(x \gt 4\) olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm: Eşitsizliği x'e göre çözelim:
\(2x - 3x \lt 1 + a\)
\(-x \lt a + 1\)
\(-1\) ile çarpınca yön değişir: \(x \gt -a - 1\)

Bu çözüm kümesi \(x \gt 4\) olmalı: \(-a - 1 = 4 \Rightarrow a = -5\)
Kontrol: \(a = -5\) için \(2x + 5 \lt 3x + 1 \Rightarrow x \gt 4\)
Cevap: \(-5\)

• Benzer soru: Çözüm kümesi verilen eşitsizlikte parametre

Örnek 15. \(y = 2x - 5\) ve \(-1 \lt x \le 4\) olduğuna göre y'nin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?

Çözüm: x'in aralığından y'nin aralığını kuralım:
2 ile çarpalım: \(-2 \lt 2x \le 8\)
5 çıkaralım: \(-7 \lt 2x - 5 \le 3\)
Yani \(-7 \lt y \le 3\)

Tam sayılar \(-6\)'dan 3'e kadardır: \(3 - (-6) + 1 = 10\)
Cevap: 10

• Benzer soru: Doğrusal bağıntıdan diğer değişkenin tam değerleri

Örnek 16. Bir öğretmen elindeki kalemleri sınıftaki öğrencilere 5'er tane dağıtırsa 12 kalem artıyor. 6'şar tane dağıtırsa kalemler yetiyor, 7'şer tane dağıtırsa yetmiyor. Öğretmenin elinde en fazla kaç kalem vardır?

Çözüm: Öğrenci sayısı n olsun. Kalem sayısı \(5n + 12\)'dir.
6'şar dağıtınca yetiyor: \(6n \le 5n + 12 \Rightarrow n \le 12\)
7'şer dağıtınca yetmiyor: \(7n \gt 5n + 12 \Rightarrow 2n \gt 12 \Rightarrow n \gt 6\)

\(6 \lt n \le 12\). Kalem sayısının en fazla olması için n en büyük, yani 12 olmalıdır:
\(5 \cdot 12 + 12 = 72\)
Kontrol: \(6 \cdot 12 = 72\) kalem yetiyor; \(7 \cdot 12 = 84\) için yetmiyor.
Cevap: 72

• Benzer soru: Kalem dağıtımında eşitsizlikle en fazla kalem

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Eşitsizlikler soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Eşitsizlikler çözümlü testleri →