Çarpanlara Ayırma Konu Anlatımı

Çarpanlara ayırma nedir?

Çarpanlara ayırma, toplam veya fark biçimindeki bir ifadeyi çarpım biçiminde yazmaktır. Örneğin \(x^2 - 9\) ifadesi \((x - 3)(x + 3)\) olarak yazılır. KPSS'de bu konu; kesir sadeleştirme, büyük sayılarla hızlı hesap, "toplamı ve çarpımı verilen sayılardan istenen ifade" ve denklem çözme sorularında karşına çıkar.

Konunun özü bir sıralamadır. Bir ifade gördüğünde şu sırayla dene:
1. Ortak çarpan var mı? Varsa önce onu dışarı al.
2. Özdeşlik var mı? (iki kare farkı, tam kare, küp toplamı veya farkı)
3. Üç terimli mi? \(x^2 + bx + c\) veya \(ax^2 + bx + c\) yöntemini uygula.
4. Dört veya daha çok terim mi? Gruplandır.
5. Bulduğun çarpanlar daha da ayrılabiliyor mu? Kontrol et.

Ortak çarpan parantezine alma

Bütün terimlerde bulunan en büyük ortak çarpan (sayıların EBOB'u ve ortak harflerin en küçük üslüsü) parantez dışına alınır.

\[a b + a c = a(b + c)\]

Örnek: \(6x^2y - 9xy^2 = 3xy(2x - 3y)\)
Kontrol için parantezi dağıt: \(3xy \cdot 2x = 6x^2y\), \(3xy \cdot 3y = 9xy^2\).

Gruplandırma

Dört terimli ifadelerde terimler ikişerli gruplanır; her gruptan ortak çarpan alınınca parantez içleri aynı olur ve bu ortak parantez dışarı alınır.

Örnek: \(ax + ay + 2x + 2y = a(x + y) + 2(x + y) = (x + y)(a + 2)\)

Özdeşlikler

\[a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\]

Örnek: \(x^4 - 16 = (x^2 - 4)(x^2 + 4) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 4)\)
\(4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2\)

Sayısal hesaplarda özdeşlik

Büyük sayılarla işlem yaparken özdeşlik kullanmak hesabı çok kısaltır:

• \(51^2 - 49^2 = (51 - 49)(51 + 49) = 2 \cdot 100 = 200\)
• \(99 \cdot 101 = (100 - 1)(100 + 1) = 10000 - 1 = 9999\)
• \(101^2 = (100 + 1)^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201\)

Toplam, fark ve çarpımdan değer bulma

"Toplamı ve çarpımı verilen sayıların kareleri toplamı" gibi sorularda sayıları tek tek bulmaya çalışma; özdeşliği çevir:

\[a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = (a - b)^2 + 2ab\]

\[a^3 + b^3 = (a + b)^3 - 3ab(a + b)\]

\[a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)\]

\[x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2\]

Son formülde \(x \cdot \frac{1}{x} = 1\) olduğu için \(2ab\) terimi 2'ye dönüşür.

Üç terimli ifadeler

x² + bx + c biçimi

Çarpımı c, toplamı b olan iki sayı aranır. Bu sayılar m ve n ise ifade \((x + m)(x + n)\) olur.

\[x^2 + bx + c = (x + m)(x + n) \quad (m + n = b,\ m \cdot n = c)\]

Örnek: \(x^2 + 7x + 12\): çarpımı 12, toplamı 7 olan sayılar 3 ve 4'tür, sonuç \((x + 3)(x + 4)\).
\(x^2 - 2x - 15\): çarpımı \(-15\), toplamı \(-2\) olan sayılar \(-5\) ve 3'tür, sonuç \((x - 5)(x + 3)\).

ax² + bx + c biçimi (çapraz yöntem)

\(ax^2\) terimi iki çarpana (\(px\) ve \(qx\)), c de iki çarpana (r ve s) ayrılır. Çapraz çarpımların toplamı \(ps + qr\) ortadaki bx'i veriyorsa ifade \((px + r)(qx + s)\) olur.

Örnek: \(2x^2 + 5x - 3\): \(2x^2 = 2x \cdot x\), \(-3 = (-1) \cdot 3\) seçelim.
Çapraz: \(2x \cdot 3 + x \cdot (-1) = 6x - x = 5x\) ortadaki terim tuttu.
Sonuç: \((2x - 1)(x + 3)\)

Çarpanı verilen ifade

\((x - k)\) ifadesi bir polinomun çarpanıysa \(x = k\) yazıldığında polinom sıfır olur. Bilinmeyen katsayı bu yolla bulunur.

Terim ekleyip çıkarma ve değişken değiştirme

Bazı ifadeler doğrudan ayrılmaz; tam kareye tamamlamak için bir terim eklenip aynı terim çıkarılır, ardından iki kare farkı uygulanır:
\(x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)\)

Tekrar eden ifadelere yeni bir harf verilir. \(x^4 - 13x^2 + 36\) ifadesinde \(x^2 = t\) dersek \(t^2 - 13t + 36 = (t - 4)(t - 9)\) olur. Geri dönersek:
\((x^2 - 4)(x^2 - 9) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\)

Rasyonel ifadeleri sadeleştirme

Kesirli ifadede pay ve payda ayrı ayrı çarpanlarına ayrılır, sonra ortak çarpanlar sadeleştirilir. Terimler sadeleşmez; yalnızca çarpanlar sadeleşir.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. \(73^2 - 27^2\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: İki kare farkı özdeşliğini kullanalım:
\(73^2 - 27^2 = (73 - 27)(73 + 27) = 46 \cdot 100 = 4600\)
Kontrol: \(73^2 = 5329\), \(27^2 = 729\), fark \(4600\).
Cevap: 4600

• Benzer soru: İki kare farkıyla hızlı hesap

Örnek 2. \(3x^3 - 12x\) ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm: Önce ortak çarpan: iki terimde de \(3x\) var.
\(3x^3 - 12x = 3x(x^2 - 4)\)

Parantez içi iki kare farkıdır: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
Sonuç: \(3x(x - 2)(x + 2)\)
Cevap: \(3x(x - 2)(x + 2)\)

• Benzer soru: Ortak çarpandan sonra iki kare farkı

Örnek 3. \(ax - 2a + 3x - 6\) ifadesini çarpanlarına ayırınız.

Çözüm: İlk iki terimi ve son iki terimi gruplayalım:
\(ax - 2a = a(x - 2)\)
\(3x - 6 = 3(x - 2)\)

Ortak parantez \((x - 2)\) dışarı alınır: \((x - 2)(a + 3)\)
Kontrol: \((x - 2)(a + 3) = ax + 3x - 2a - 6\)
Cevap: \((x - 2)(a + 3)\)

• Benzer soru: Dört terimliyi gruplandırarak ayırma

Örnek 4. \(x^2 + mx - 15\) ifadesinin çarpanlarından biri \((x - 3)\) olduğuna göre m kaçtır? Diğer çarpan nedir?

Çözüm: \((x - 3)\) çarpan ise \(x = 3\) yazıldığında ifade sıfır olur:
\(9 + 3m - 15 = 0 \Rightarrow 3m = 6 \Rightarrow m = 2\)

İfade \(x^2 + 2x - 15\) olur. Çarpımı \(-15\), toplamı 2 olan sayılar 5 ve \(-3\)'tür:
\(x^2 + 2x - 15 = (x - 3)(x + 5)\)
Cevap: m = 2, diğer çarpan \((x + 5)\)

• Benzer soru: Çarpanı verilen üç terimlide katsayı

Örnek 5. \(9x^2 - 30x + k\) ifadesi bir tam kare olduğuna göre k kaçtır?

Çözüm: Tam kare \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) biçimindedir.
\(9x^2 = (3x)^2\) olduğundan \(a = 3x\)
Ortadaki terim: \(2 \cdot 3x \cdot b = 30x \Rightarrow b = 5\)
\(k = b^2 = 25\)

Kontrol: \((3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25\)
Cevap: 25

• Benzer soru: Tam kare olması için eksik sabit terim

Örnek 6. \(\frac{6x^2 + x - 2}{4x^2 - 1}\) ifadesinin en sade biçimi nedir?

Çözüm: Pay için çapraz yöntem: \(6x^2 = 3x \cdot 2x\), \(-2 = 2 \cdot (-1)\)
Çapraz: \(3x \cdot (-1) + 2x \cdot 2 = -3x + 4x = x\) tuttu.
\(6x^2 + x - 2 = (3x + 2)(2x - 1)\)

Payda iki kare farkı: \(4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)\)

Ortak çarpan \((2x - 1)\) sadeleşir: \(\frac{3x + 2}{2x + 1}\)
Cevap: \(\frac{3x + 2}{2x + 1}\)

• Benzer soru: Pay ve paydası ayrılan rasyonel ifade

Örnek 7. \(x - y = 5\) ve \(x \cdot y = 6\) olduğuna göre \(x^2 + y^2\) kaçtır?

Çözüm: Farkın karesini kullanalım:
\((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\)
\(25 = x^2 + y^2 - 12\)
\(x^2 + y^2 = 37\)

Kontrol: \(x = 6\), \(y = 1\) koşulları sağlar ve \(36 + 1 = 37\).
Cevap: 37

• Benzer soru: Fark ve çarpımdan kareler toplamı

Örnek 8. \(1003^2 - 997^2\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: İki kare farkı:
\((1003 - 997)(1003 + 997) = 6 \cdot 2000 = 12000\)
Cevap: 12000

• Benzer soru: Bine yakın sayıların kareler farkı

Örnek 9. \(\sqrt{47 \cdot 49 + 1}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: 47 ve 49 sayıları 48'in bir eksiği ve bir fazlasıdır:
\(47 \cdot 49 = (48 - 1)(48 + 1) = 48^2 - 1\)
\(47 \cdot 49 + 1 = 48^2\)
\(\sqrt{48^2} = 48\)
Cevap: 48

• Benzer soru: Komşu sayıların çarpımına bir ekleme

Örnek 10. \(a - b = 2\) ve \(a \cdot b = 15\) olduğuna göre \(a^3 - b^3\) kaçtır?

Çözüm: Formül: \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)\)
\(= 2^3 + 3 \cdot 15 \cdot 2 = 8 + 90 = 98\)

Kontrol: \(a = 5\), \(b = 3\) koşulları sağlar ve \(125 - 27 = 98\).
Cevap: 98

• Benzer soru: Fark ve çarpımdan küpler farkı

Örnek 11. \(x + \frac{1}{x} = 4\) olduğuna göre \(x^4 + \frac{1}{x^4}\) kaçtır?

Çözüm: Önce kareler: \(x^2 + \frac{1}{x^2} = \left(x + \frac{1}{x}\right)^2 - 2 = 16 - 2 = 14\)
Aynı formülü bir kez daha uygulayalım (bu kez \(x^2\) için):
\(x^4 + \frac{1}{x^4} = \left(x^2 + \frac{1}{x^2}\right)^2 - 2 = 196 - 2 = 194\)
Cevap: 194

• Benzer soru: Terslerin toplamından dördüncü kuvvetler

Örnek 12. \(20^2 - 19^2 + 18^2 - 17^2 + \cdots + 2^2 - 1^2\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Terimleri ikişerli gruplayıp iki kare farkı uygulayalım:
\(20^2 - 19^2 = (20 - 19)(20 + 19) = 20 + 19\)
\(18^2 - 17^2 = 18 + 17\)
...
\(2^2 - 1^2 = 2 + 1\)

Her grupta fark 1 olduğu için toplam \(20 + 19 + 18 + \cdots + 1\) olur:
\(\frac{20 \cdot 21}{2} = 210\)
Cevap: 210

• Benzer soru: Ardışık karelerin işaretli toplamı

Örnek 13. \(x^2 - y^2 = 45\) eşitliğini sağlayan kaç tane \((x, y)\) doğal sayı ikilisi vardır?

Çözüm: \((x - y)(x + y) = 45\). x ve y doğal sayı olduğundan \(x + y \ge x - y\) ve ikisi de pozitiftir.
45'in çarpan ikilileri:

• \(x - y = 1\), \(x + y = 45\): \(x = 23\), \(y = 22\)
• \(x - y = 3\), \(x + y = 15\): \(x = 9\), \(y = 6\)
• \(x - y = 5\), \(x + y = 9\): \(x = 7\), \(y = 2\)

(45 tek olduğu için her ikilide toplam ve fark tek sayıdır; x ve y her seferinde tam sayı çıkar.)
Kontrol: \(49 - 4 = 45\), \(81 - 36 = 45\), \(529 - 484 = 45\).
Cevap: 3

• Benzer soru: Kareleri farkı sabit olan doğal sayılar

Örnek 14. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere \(xy - 2x + 3y = 20\) olduğuna göre \(x + y\) toplamı en çok kaçtır?

Çözüm: Gruplandırmaya uygun hâle getirmek için \(x(y - 2) + 3y\) ifadesine bakalım. \(3y = 3(y - 2) + 6\) yazılırsa:
\(x(y - 2) + 3(y - 2) + 6 = 20\)
\((x + 3)(y - 2) = 14\)

x pozitif olduğundan \(x + 3 \ge 4\); bu durumda \(y - 2\) de pozitif olmalıdır. 14'ün 4 veya daha büyük çarpanları 7 ve 14'tür:

• \(x + 3 = 7\), \(y - 2 = 2\): \(x = 4\), \(y = 4\), toplam 8
• \(x + 3 = 14\), \(y - 2 = 1\): \(x = 11\), \(y = 3\), toplam 14

Kontrol: \(11 \cdot 3 - 22 + 9 = 20\)
Cevap: 14

• Benzer soru: Gruplandırmayla çarpıma dönüşen tam sayı denklemi

Örnek 15. \(\frac{x^3 + 27}{x^2 - 3x + 9} + \frac{x^2 - 4}{x + 2}\) ifadesinin en sade biçimi nedir?

Çözüm: Birinci kesrin payı küpler toplamıdır:
\(x^3 + 27 = x^3 + 3^3 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9)\)
Payda sadeleşir, birinci kesir \(x + 3\) olur.

İkinci kesrin payı iki kare farkıdır: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
\((x + 2)\) sadeleşir, ikinci kesir \(x - 2\) olur.

Toplam: \((x + 3) + (x - 2) = 2x + 1\)
Cevap: \(2x + 1\)

• Benzer soru: Küpler toplamı özdeşliğiyle sadeleşen kesir

Örnek 16. \(\frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 9} \cdot \frac{x^2 + 4x + 3}{x^2 - 4x + 4}\) ifadesinin en sade biçimi nedir?

Çözüm: Her ifadeyi ayrı ayrı çarpanlarına ayıralım:

• \(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
• \(x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)\)
• \(x^2 + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)\)
• \(x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\)

Çarpım: \(\frac{(x - 2)(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} \cdot \frac{(x + 1)(x + 3)}{(x - 2)(x - 2)}\)
\((x - 3)\), \((x + 3)\) ve bir tane \((x - 2)\) sadeleşir: \(\frac{x + 1}{x - 2}\)
Cevap: \(\frac{x + 1}{x - 2}\)

• Benzer soru: Dört üç terimliden oluşan kesirlerin çarpımı

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Çarpanlara Ayırma soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Çarpanlara Ayırma çözümlü testleri →