Kareleri farkı sabit olan doğal sayılar
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(a^{2} - b^{2} = 32\) olduğuna göre \(a + b\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a^{2} - b^{2} = 32\)
- \(a, b\) pozitif tam sayı
Ne soruluyor?
\(a + b\)'nin en büyük değeri.
Çözüm
- \((a - b)(a + b) = 32\); \(a - b\) ile \(a + b\) aynı teklikte olmalı
→ Toplamları \(2a\) çift olduğundan ikisi de çift ya da ikisi de tek. - \(32\)'nin çarpanları: \(1 \cdot 32\) (farklı teklik ✗), \(2 \cdot 16\) ✓, \(4 \cdot 8\) ✓
→ Uygun çiftler. - \(2 \cdot 16\): \(a = 9\), \(b = 7\), \(a + b = 16\); \(4 \cdot 8\): \(a = 6\), \(b = 2\), \(a + b = 8\)
→ Karşılaştırma. - En büyük değer \(16\)
→ Sonuç \(16\).
Kontrol
\(9^{2} - 7^{2} = 81 - 49 = 32\) ✓
Sık yapılan hata
\(1 \cdot 32\) çiftini de kabul edip \(a + b = 32\) demek; bu durumda \(a = 16{,}5\) olur, tam sayı değildir.