Gruplandırmayla çarpıma dönüşen tam sayı denklemi
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(ab + 2a + 3b = 19\) olduğuna göre \(a + b\) toplamı kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(ab + 2a + 3b = 19\)
- \(a, b\) pozitif tam sayı
Ne soruluyor?
\(a + b\) değeri.
Çözüm
- İki tarafa \(6\) ekleyelim: \(ab + 2a + 3b + 6 = 25\)
→ Gruplandırmayı tamamlamak için sabit eklenir. - \(a(b + 2) + 3(b + 2) = (a + 3)(b + 2) = 25\)
→ Ortak çarpan \(b + 2\). - \(a + 3 \ge 4\) ve \(b + 2 \ge 3\) olduğundan tek seçenek \(5 \cdot 5\): \(a = 2\), \(b = 3\)
→ \(25 = 1 \cdot 25 = 5 \cdot 5 = 25 \cdot 1\). - \(a + b = 2 + 3 = 5\)
→ Sonuç \(5\).
Kontrol
\(2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 6 + 4 + 9 = 19\) ✓
Sık yapılan hata
Eklenecek sabiti \(2 \cdot 3 = 6\) yerine \(5\) almak ya da \(a + 3 = 25\), \(b + 2 = 1\) gibi pozitifliği bozan çözümü kabul etmek.