Mutlak Değer Konu Anlatımı
Mutlak değer nedir?
Bir sayının mutlak değeri, o sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağı için mutlak değer de hiçbir zaman negatif değildir. KPSS'de bu konudan; işareti bilinen ifadelerde mutlak değeri açma, mutlak değerli denklem ve eşitsizlik çözme, en küçük değer bulma soruları gelir. Konunun özü: mutlak değerin içi pozitifse aynen, negatifse işareti değiştirilerek dışarı çıkar.
Tanım
- \(x \ge 0\) ise \(|x| = x\)
- \(x \lt 0\) ise \(|x| = -x\)
- Örneğin \(|-7| = 7\), \(\left|\frac{3}{2}\right| = \frac{3}{2}\), \(|0| = 0\).
\[|x| = \begin{cases} x, & x \ge 0 \\ -x, & x \lt 0 \end{cases}\]
\(|x| = -x\) ifadesi "sonuç negatif" demek değildir. x negatifse \(-x\) pozitif bir sayıdır. Örneğin \(x = -5\) için \(-x = 5\) olur.
Mutlak değerin özellikleri
Temel özellikler
- \(|x| \ge 0\); en küçük değeri 0'dır.
- \(|x| = |-x|\), yani \(|a - b| = |b - a|\)
- \(|x \cdot y| = |x| \cdot |y|\) ve \(\left|\frac{x}{y}\right| = \frac{|x|}{|y|}\) \((y \neq 0)\)
- \(|x|^2 = x^2\) ve \(\sqrt{x^2} = |x|\)
- \(|x + y| \le |x| + |y|\) (üçgen eşitsizliği)
- \(|x - a|\), sayı doğrusunda x ile a arasındaki uzaklıktır.
İçinin işareti bilinen ifadeyi açma
Mutlak değerin içine bir değer koyup işaretine bak; pozitifse parantez gibi kaldır, negatifse önüne eksi koyarak çıkar.
- \(|1 - \sqrt{2}|\): \(\sqrt{2} \approx 1{,}41\) olduğundan içi negatiftir; \(|1 - \sqrt{2}| = \sqrt{2} - 1\).
- x, 2 ile 5 arasındaysa \(|x - 2| = x - 2\), \(|x - 5| = 5 - x\) ve \(|x - 2| + |x - 5| = 3\) olur. Bu aralıkta toplam x'e bağlı değildir, sabittir.
Mutlak değerli denklemler
Denklem kuralları
- \(|f(x)| = a\) ve \(a \gt 0\) ise \(f(x) = a\) veya \(f(x) = -a\)
- \(|f(x)| = 0\) ise \(f(x) = 0\)
- \(|f(x)| = a\) ve \(a \lt 0\) ise çözüm yoktur (boş küme).
- \(|f(x)| = |g(x)|\) ise \(f(x) = g(x)\) veya \(f(x) = -g(x)\)
- \(|f(x)| = g(x)\) ise önce \(g(x) \ge 0\) koşulu yazılır, sonra iki durum çözülür ve koşulu sağlamayan kök atılır.
Örnek: \(|x - 4| + 3 = 1\) denkleminde \(|x - 4| = -2\) olur. Mutlak değer negatif olamayacağı için çözüm kümesi boştur.
Toplamı sıfır olan mutlak değerler: Negatif olmayan sayıların toplamı ancak hepsi sıfırsa sıfır olur. \(|A| + |B| = 0\) ise \(A = 0\) ve \(B = 0\)'dır. Aynı kural \(|A| + B^2 = 0\) için de geçerlidir.
Birden çok mutlak değer: bölge bölge çözüm
\(|x - 1| + |x + 2| = 7\) gibi denklemlerde her mutlak değerin içini sıfır yapan noktalar (kritik noktalar) bulunur. Bu noktalar sayı doğrusunu bölgelere ayırır. Her bölgede mutlak değerler işaretlerine göre açılır, denklem çözülür ve bulunan kökün o bölgeye ait olup olmadığı kontrol edilir.
Mutlak değerli eşitsizlikler
Eşitsizlik kuralları (a > 0)
- \(|x| \lt a \Rightarrow -a \lt x \lt a\) (sıfıra uzaklığı a'dan az)
- \(|x| \gt a \Rightarrow x \lt -a\) veya \(x \gt a\) (sıfıra uzaklığı a'dan fazla)
- \(|x - m| \lt a \Rightarrow m - a \lt x \lt m + a\) (m'ye uzaklığı a'dan az)
- \(a \le |x| \le b \Rightarrow a \le x \le b\) veya \(-b \le x \le -a\)
Örnek: \(|x - 3| \le 2\) ise \(-2 \le x - 3 \le 2\), yani \(1 \le x \le 5\) olur. Sayı doğrusunda 3'e uzaklığı en fazla 2 olan sayılardır.
\(|x| \gt a\) eşitsizliğini \(-a \gt x \gt a\) biçiminde tek parça yazmak yanlıştır; böyle bir sayı yoktur. Çözüm iki ayrı parçadır: \(x \lt -a\) veya \(x \gt a\).
Mutlak değerli ifadenin en küçük değeri
\(|x - a| + |x - b|\) ifadesi "x'in a'ya ve b'ye uzaklıklarının toplamı"dır. x, a ile b arasındaysa toplam tam olarak \(|a - b|\) olur; dışarıdaysa daha büyüktür. Bu yüzden:
\[\min\left(|x - a| + |x - b|\right) = |a - b|\]
Üç veya daha çok mutlak değerin toplamında (katsayılar eşitse) en küçük değer, kritik noktaların ortancasında (sıralandığında ortadaki sayıda) alınır. Kritik nokta sayısı çiftse ortadaki iki noktanın arasındaki her yerde en küçük değer alınır.
Çözümlü örnekler
Örnek 1. \(|\sqrt{5} - 3| + |2 - \sqrt{5}|\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm: \(\sqrt{5}\) sayısı 2 ile 3 arasındadır (\(\sqrt{5} \approx 2{,}24\)).
- \(\sqrt{5} - 3\) negatiftir: \(|\sqrt{5} - 3| = 3 - \sqrt{5}\)
- \(2 - \sqrt{5}\) negatiftir: \(|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2\)
Toplam: \((3 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 2) = 1\)
Cevap: 1
- Benzer soru: Köklü sayılarla mutlak değer açma
Örnek 2. \(a \lt 0 \lt b\) olduğuna göre \(|a - b| + |b| - |a|\) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: Her mutlak değerin içinin işaretine bakalım:
- \(a - b\): negatiften pozitif çıkarılıyor, sonuç negatif. \(|a - b| = b - a\)
- \(b\) pozitif: \(|b| = b\)
- \(a\) negatif: \(|a| = -a\)
İfade: \((b - a) + b - (-a) = b - a + b + a = 2b\)
Kontrol: \(a = -3\), \(b = 4\) için \(7 + 4 - 3 = 8 = 2 \cdot 4\)
Cevap: \(2b\)
- Benzer soru: İşareti bilinen sayılarla mutlak değerin açılması
Örnek 3. Sayı doğrusunda \(-2\)'ye uzaklığı 6 birim olan sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm: x ile \(-2\) arasındaki uzaklık \(|x - (-2)| = |x + 2|\)'dir:
\(|x + 2| = 6\)
\(x + 2 = 6 \Rightarrow x = 4\)
\(x + 2 = -6 \Rightarrow x = -8\)
Toplam: \(4 + (-8) = -4\)
Not: İki çözüm \(-2\)'ye göre simetriktir; toplamları her zaman \(2 \cdot (-2) = -4\) olur.
Cevap: \(-4\)
- Benzer soru: Sayı doğrusunda uzaklığı verilen sayılar
Örnek 4. \(|2x - 3| = 7\) denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: İçi 7 ya da \(-7\) olabilir:
\(2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5\)
\(2x - 3 = -7 \Rightarrow 2x = -4 \Rightarrow x = -2\)
Toplam: \(5 + (-2) = 3\)
Kontrol: \(|10 - 3| = 7\), \(|-4 - 3| = 7\)
Cevap: 3
- Benzer soru: Mutlak değerli denklemin köklerinin toplamı
Örnek 5. \(|a| = 5\) ve \(|b| = 3\) olduğuna göre \(a + b\) toplamı kaç farklı değer alabilir?
Çözüm: \(a = 5\) veya \(a = -5\); \(b = 3\) veya \(b = -3\)
Bütün durumlar:
- \(5 + 3 = 8\)
- \(5 + (-3) = 2\)
- \(-5 + 3 = -2\)
- \(-5 + (-3) = -8\)
Dört değer de birbirinden farklıdır.
Cevap: 4
Örnek 6. \(|x - 2| \lt 5\) eşitsizliğini sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Çözüm: \(-5 \lt x - 2 \lt 5\)
Üç tarafa 2 ekleyelim: \(-3 \lt x \lt 7\)
Tam sayılar \(-2\)'den 6'ya kadardır: \(6 - (-2) + 1 = 9\)
Cevap: 9
- Benzer soru: Kesin mutlak değer eşitsizliğinde tam sayı sayısı
Örnek 7. \(|x + 1| = |2x - 4|\) denkleminin köklerinin çarpımı kaçtır?
Çözüm: İki mutlak değer eşitse içleri ya eşittir ya da birbirinin ters işaretlisidir:
\(x + 1 = 2x - 4 \Rightarrow x = 5\)
\(x + 1 = -(2x - 4) \Rightarrow x + 1 = -2x + 4 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1\)
Kontrol: \(x = 5\) için \(6 = 6\); \(x = 1\) için \(|2| = |-2|\).
Çarpım: \(5 \cdot 1 = 5\)
Cevap: 5
- Benzer soru: İki mutlak değerin eşitliğinden köklerin çarpımı
Örnek 8. \(|x - 3| = 2x + 6\) denkleminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm: Mutlak değer negatif olamayacağı için önce koşul: \(2x + 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3\)
1. durum: \(x - 3 = 2x + 6 \Rightarrow x = -9\). Koşulu sağlamaz (\(-9 \lt -3\)), atılır.
2. durum: \(x - 3 = -(2x + 6) \Rightarrow x - 3 = -2x - 6 \Rightarrow 3x = -3 \Rightarrow x = -1\). Koşulu sağlar.
Kontrol: \(|-1 - 3| = 4\) ve \(2 \cdot (-1) + 6 = 4\)
Cevap: \(\{-1\}\)
Örnek 9. \(-1 \lt x \lt 2\) olduğuna göre \(|x + 1| - |x - 2| + |x - 4|\) ifadesinin eşiti nedir?
Çözüm: Aralıktan bir değer (örneğin \(x = 0\)) seçip içlerin işaretine bakalım:
- \(x + 1\) pozitif: \(|x + 1| = x + 1\)
- \(x - 2\) negatif: \(|x - 2| = 2 - x\)
- \(x - 4\) negatif: \(|x - 4| = 4 - x\)
İfade: \((x + 1) - (2 - x) + (4 - x) = x + 1 - 2 + x + 4 - x = x + 3\)
Kontrol: \(x = 0\) için \(1 - 2 + 4 = 3\) ve \(0 + 3 = 3\).
Cevap: \(x + 3\)
- Benzer soru: Aralıkta üç mutlak değerli ifadenin sadeleşmesi
Örnek 10. \(|x - 1| + |x + 3|\) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm: İfade, x'in 1'e ve \(-3\)'e uzaklıklarının toplamıdır. x bu iki noktanın arasındayken toplam iki nokta arasındaki uzaklığa eşittir:
\(|1 - (-3)| = 4\)
x dışarıdaysa uzaklıklardan biri bu mesafeyi aşar ve toplam büyür.
Kontrol: \(x = 0\) için \(1 + 3 = 4\); \(x = 2\) için \(1 + 5 = 6\).
Cevap: 4
- Benzer soru: İki mutlak değerin toplamının en küçük değeri
Örnek 11. \(|x - 2y| + |y - 3| = 0\) olduğuna göre \(x + y\) toplamı kaçtır?
Çözüm: Mutlak değerler negatif olamaz; toplamları sıfırsa ikisi de sıfırdır:
\(y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3\)
\(x - 2y = 0 \Rightarrow x = 6\)
Toplam: \(6 + 3 = 9\)
Cevap: 9
- Benzer soru: Toplamı sıfır olan mutlak değerler
Örnek 12. \(|x - 1| \le 4\) ve \(|x + 2| \gt 3\) koşullarını birlikte sağlayan kaç tane x tam sayısı vardır?
Çözüm: Birinci koşul: \(-4 \le x - 1 \le 4 \Rightarrow -3 \le x \le 5\)
İkinci koşul: \(x + 2 \gt 3\) veya \(x + 2 \lt -3\), yani \(x \gt 1\) veya \(x \lt -5\)
Ortak kısım: \(x \lt -5\) parçası \(-3 \le x\) ile çakışmaz. Geriye \(1 \lt x \le 5\) kalır.
Tam sayılar: 2, 3, 4, 5
Cevap: 4
- Benzer soru: Uzaklık koşullarını birlikte sağlayan tam sayılar
Örnek 13. \(2 \le |x - 1| \lt 5\) eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözüm: \(x - 1\) ifadesine t diyelim: \(2 \le |t| \lt 5\)
Bu iki parçadır: \(2 \le t \lt 5\) veya \(-5 \lt t \le -2\)
- \(2 \le x - 1 \lt 5 \Rightarrow 3 \le x \lt 6\): x = 3, 4, 5
- \(-5 \lt x - 1 \le -2 \Rightarrow -4 \lt x \le -1\): \(x = -3, -2, -1\)
Toplam: \(3 + 4 + 5 - 3 - 2 - 1 = 6\)
Cevap: 6
- Benzer soru: Mutlak değerli eşitsizliği sağlayan tam sayılar
Örnek 14. \(|x - 1| + |x + 2| = 7\) denkleminin köklerinin toplamı kaçtır?
Çözüm: Kritik noktalar \(x = 1\) ve \(x = -2\)'dir. Sayı doğrusu üç bölgeye ayrılır:
- \(x \ge 1\): iki iç de pozitif. \((x - 1) + (x + 2) = 7 \Rightarrow 2x + 1 = 7 \Rightarrow x = 3\). Bölgeye ait, geçerli.
- \(-2 \le x \lt 1\): \((1 - x) + (x + 2) = 3\). \(3 = 7\) olamaz; bu bölgede kök yok.
- \(x \lt -2\): iki iç de negatif. \((1 - x) + (-x - 2) = 7 \Rightarrow -2x - 1 = 7 \Rightarrow x = -4\). Bölgeye ait, geçerli.
Toplam: \(3 + (-4) = -1\)
Kontrol: \(x = -4\) için \(5 + 2 = 7\); \(x = 3\) için \(2 + 5 = 7\).
Cevap: \(-1\)
- Benzer soru: Bölge bölge çözülen mutlak değerli denklem
Örnek 15. \(|x - 1| + |x - 4| + |x + 2|\) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözüm: Kritik noktaları sıralayalım: \(-2\), 1, 4. Üç terim olduğu için en küçük değer ortadaki noktada, yani \(x = 1\)'de alınır:
\(|1 - 1| + |1 - 4| + |1 + 2| = 0 + 3 + 3 = 6\)
Kontrol: \(x = 0\) için \(1 + 4 + 2 = 7\); \(x = 2\) için \(1 + 2 + 4 = 7\). İkisi de 6'dan büyük.
Cevap: 6
- Benzer soru: Üç mutlak değerin toplamının en küçüğü
Örnek 16. \(||x - 2| - 3| = 1\) denkleminin kaç tane gerçek sayı çözümü vardır?
Çözüm: Dıştaki mutlak değeri açalım:
\(|x - 2| - 3 = 1\) veya \(|x - 2| - 3 = -1\)
\(|x - 2| = 4\) veya \(|x - 2| = 2\)
Her biri yine iki çözüm verir:
- \(|x - 2| = 4 \Rightarrow x = 6\) veya \(x = -2\)
- \(|x - 2| = 2 \Rightarrow x = 4\) veya \(x = 0\)
Çözüm kümesi: \(\{-2, 0, 4, 6\}\)
Cevap: 4
- Benzer soru: İç içe mutlak değerli denklemin çözüm sayısı
Sık yapılan hatalar
- \(|x| = -x\) görünce sonucun negatif olduğunu sanmak; x negatifken \(-x\) pozitiftir.
- İçi negatif olan mutlak değeri açarken yalnızca ilk terimin işaretini değiştirmek: \(|2 - \sqrt{5}| = \sqrt{5} - 2\), yani bütün ifadenin işareti değişir.
- \(|f(x)| = g(x)\) denkleminde \(g(x) \ge 0\) koşulunu kontrol etmemek ve geçersiz kökü cevaba katmak.
- \(|x| \gt a\) eşitsizliğini tek aralık olarak yazmak; çözüm iki ayrı parçadır.
- Mutlak değerin negatif bir sayıya eşit olabileceğini düşünmek; böyle denklemin çözümü yoktur.
- Bölge bölge çözümde bulunan kökün o bölgeye ait olup olmadığını kontrol etmemek.
- \(|a + b| = |a| + |b|\) sanmak; bu eşitlik yalnızca a ile b aynı işaretliyse (veya biri sıfırsa) doğrudur.
Kısa tekrar
- İçi pozitifse aynen, negatifse işareti değiştirerek çıkar.
- \(|x - a|\): x ile a arasındaki uzaklık.
- \(|f(x)| = a\) için \(f(x) = \pm a\); a negatifse çözüm yok.
- \(|x| \lt a \Rightarrow -a \lt x \lt a\); \(|x| \gt a \Rightarrow x \lt -a\) veya \(x \gt a\).
- \(|A| + |B| = 0\) ise \(A = B = 0\).
- \(|x - a| + |x - b|\) en küçük değeri \(|a - b|\); üç terimde ortadaki kritik nokta.
Konuyu pekiştir
Kendini dene: Mutlak Değer çözümlü testleri →