Mehmet HocaMatematik
Üslü Sayılar 11 dk okuma

Üslü Sayılar Konu Anlatımı

Üslü sayı nedir?

KPSS'de üslü sayılar her yıl doğrudan işlem sorusu olarak gelir; ayrıca köklü sayılar, çarpanlara ayırma ve basamak soruları da bu konunun kurallarına dayanır. Konunun özü şudur: bütün soruları tabanları veya üsleri eşitleyerek çözersin. Kuralları ezberlemek değil, "hangi tabana indirgemeliyim?" sorusunu sormak başarıyı getirir.

Tanım

  • a bir gerçek sayı ve n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n tane a'nın çarpımı \(a^n\) biçiminde yazılır.
  • \(a^n\) ifadesinde a'ya taban, n'ye üs (kuvvet) denir. "a üssü n" ya da "a'nın n. kuvveti" diye okunur.
  • \(a^2\) "a'nın karesi", \(a^3\) "a'nın küpü" diye de okunur.

\[a^n = \underbrace{a \cdot a \cdot a \cdots a}_{n}\]

Örnek: \(2^5 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32\)
\(\left(\frac{2}{3}\right)^3 = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{3 \cdot 3 \cdot 3} = \frac{8}{27}\)

Temel kurallar

Sıfırıncı kuvvet ve 1'in kuvvetleri

Özel kuvvetler

  • Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir: \(a^0 = 1\) \((a \neq 0)\). \(0^0\) tanımsızdır.
  • Her sayının birinci kuvveti kendisidir: \(a^1 = a\).
  • 1'in bütün kuvvetleri 1'dir: \(1^n = 1\).
  • 0'ın pozitif kuvvetleri 0'dır: \(0^n = 0\) \((n \gt 0)\).

Negatif tabanın kuvvetleri

Negatif bir sayının çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir. Burada en önemli ayrıntı parantezdir:

  • \((-3)^4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81\): taban \(-3\)'tür.
  • \(-3^4 = -(3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3) = -81\): taban 3'tür, eksi işareti üsse dahil değildir.
  • \((-2)^3 = -8\) olur. \(-1\)'in çift kuvvetleri 1, tek kuvvetleri \(-1\)'dir.

Parantez yoksa üs yalnızca hemen önündeki sayıya etki eder. \(-2^4\) ifadesinin değeri \(-16\)'dır, \(16\) değil. KPSS bu tuzağı sık kullanır.

Negatif üs

Negatif üs, sayının çarpmaya göre tersinin alınması demektir. Tabanı ters çevir, üssün işaretini değiştir.

\[a^{-n} = \frac{1}{a^n}\]

\[\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n} \quad (a, b \neq 0)\]

Örnek: \(5^{-2} = \frac{1}{25}\)
\(2^{-3} = \frac{1}{8}\)
\(\left(\frac{3}{4}\right)^{-2} = \left(\frac{4}{3}\right)^{2} = \frac{16}{9}\)

Negatif üs sayıyı negatif yapmaz. \(2^{-3}\) pozitif bir sayıdır \(\left(\frac{1}{8}\right)\). Sayının işaretini taban belirler, üssün işareti yalnızca "ters çevir" demektir.

Çarpma ve bölme kuralları

Dört temel kural

  • Tabanlar aynıysa çarpmada üsler toplanır: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)
  • Tabanlar aynıysa bölmede üsler çıkarılır: \(a^m \div a^n = a^{m-n}\)
  • Üsler aynıysa tabanlar çarpılır veya bölünür: \(a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n\), \(\frac{a^n}{b^n} = \left(\frac{a}{b}\right)^n\)
  • Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır: \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)

\[a^m \cdot a^n = a^{m+n}\]

\[\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\]

\[(a^m)^n = a^{m n}\]

Örnek: \(2^3 \cdot 2^4 = 2^7\)
\(\frac{5^6}{5^2} = 5^4\)
\((3^2)^4 = 3^8\)
\(2^3 \cdot 5^3 = 10^3\)
\(\frac{12^4}{4^4} = 3^4\)

\((2^3)^2\) ile \(2^{3^2}\) aynı şey değildir. \((2^3)^2 = 2^6 = 64\) olur; parantezsiz yazılan \(2^{3^2}\) ifadesinde önce üstteki üs hesaplanır: \(2^{3^2} = 2^9 = 512\).

Toplama ve çıkarma

Üslü sayılarda toplama ve çıkarma için hazır bir kural yoktur. \(2^3 + 2^4\) asla \(2^7\) olmaz. İki yol vardır:
1. Benzer terimler: Taban ve üs aynıysa katsayılar toplanır. \(3^5 + 3^5 + 3^5 = 3 \cdot 3^5 = 3^6\)
2. Ortak çarpan parantezi: Tabanlar aynı ama üsler farklıysa en küçük üslü terim parantez dışına alınır.

\[a^{n+2} + a^{n+1} + a^n = a^n \cdot (a^2 + a + 1)\]

Örnek: \(2^7 + 2^7 + 2^7 + 2^7 = 4 \cdot 2^7 = 2^2 \cdot 2^7 = 2^9\)
\(3^{x+2} - 3^x = 3^x(9 - 1) = 8 \cdot 3^x\)

Ortak tabana indirgeme

Farklı tabanlar görünce önce hepsini en küçük asal tabana çevir. Bunun için şu kuvvetleri ezbere bilmek büyük hız kazandırır:

Ezberlenmesi gereken kuvvetler

  • 2'nin kuvvetleri: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
  • 3'ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81, 243, 729
  • 5'in kuvvetleri: 5, 25, 125, 625
  • \(4 = 2^2\), \(8 = 2^3\), \(16 = 2^4\), \(32 = 2^5\), \(9 = 3^2\), \(27 = 3^3\), \(25 = 5^2\), \(125 = 5^3\)
  • \(0{,}25 = \frac{1}{4} = 2^{-2}\), \(0{,}125 = \frac{1}{8} = 2^{-3}\), \(\frac{1}{9} = 3^{-2}\)

10'un kuvvetleri ve bilimsel gösterim

\(10^n\) sayısı 1'in yanına n tane sıfır yazılarak elde edilir. Negatif kuvvette virgülden sonra n. basamakta 1 bulunur: \(10^{-4} = 0{,}0001\).
Bilimsel gösterim \(a \cdot 10^n\) biçimidir; burada \(1 \le a \lt 10\) olmalıdır.

Örnek: \(45000 = 4{,}5 \cdot 10^4\)
\(0{,}0003 = 3 \cdot 10^{-4}\)
\(2{,}5 \cdot 10^{-3} = 0{,}0025\)

Üslü denklemler

Üslü denklemlerde amaç iki tarafı aynı tabanda veya aynı üste toplamaktır.

Denklem kuralları

  • \(a^x = a^y\) ise \(x = y\) (burada \(a \neq 0\), \(a \neq 1\), \(a \neq -1\)).
  • \(x^n = y^n\) ise n tek sayıda \(x = y\); n çift sayıda \(x = y\) veya \(x = -y\).
  • \(a^x = b^x\) ve \(a \neq b\) ise \(x = 0\) olmalıdır (a ve b pozitif ise; \(a = -b\) olduğunda x çift sayı da olabilir).
  • \(a^{f(x)} = 1\) eşitliği üç durumda sağlanır: üs sıfırdır (taban sıfır değilse), taban 1'dir, taban \(-1\) ve üs çift sayıdır.

Örnek: \(8^{x-1} = 4^{x+2}\) denkleminde tabanları 2 yapalım: \(2^{3x-3} = 2^{2x+4}\)
Üsler eşit olmalı: \(3x - 3 = 2x + 4 \Rightarrow x = 7\)

Örnek: \((x - 2)^{x+3} = 1\) eşitliğini sağlayan tam sayılar:

  • Üs sıfır: \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\) (taban \(-5\), sıfır değil; uygun)
  • Taban 1: \(x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3\)
  • Taban \(-1\): \(x - 2 = -1 \Rightarrow x = 1\); üs \(1 + 3 = 4\) çift olduğu için uygun

Çözüm kümesi: \(\{-3, 1, 3\}\)

Değişken değiştirme

\(4^x\), \(2^x\) gibi birbirinin kuvveti olan ifadeler aynı denklemde geçiyorsa \(2^x = t\) dersin; \(4^x = (2^x)^2 = t^2\) olur. Denklem t'ye göre ikinci dereceden bir denkleme dönüşür. t bulunduktan sonra \(2^x = t\) eşitliğine geri dönülür. \(2^x\) her zaman pozitif olduğu için negatif çıkan t değeri atılır.

Üslü sayıları sıralama

  • Üsleri eşitle: Üsler ortak bir sayıya getirilirse tabanı büyük olan büyüktür. \(2^{30} = (2^3)^{10} = 8^{10}\) ve \(3^{20} = (3^2)^{10} = 9^{10}\) olduğundan \(5^{10} \lt 2^{30} \lt 3^{20}\) olur.
  • Tabanları eşitle: Taban 1'den büyükse üssü büyük olan büyüktür.
  • Taban 0 ile 1 arasındaysa kuvvet arttıkça sayı küçülür: \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 \lt \frac{1}{2}\). Negatif üs ise sayıyı 1'den büyük yapar: \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = 2\).

Basamak sayısı, sondaki sıfırlar ve birler basamağı

Basamak sayısı: Sayıyı \(k \cdot 10^n\) biçimine getir. 2 ile 5 eşleşip 10 oluşturur.
\(2^{10} \cdot 5^{12} = (2^{10} \cdot 5^{10}) \cdot 5^2 = 25 \cdot 10^{10}\). 25'in 2 basamağına 10 sıfır eklenir; sayı 12 basamaklıdır.

Sondaki sıfır sayısı: Sayıyı asal çarpanlarına ayır; 2'nin ve 5'in üslerinden küçük olanı sondaki sıfır sayısını verir.

Birler basamağı: Bir sayının kuvvetlerinin birler basamağı belli aralıklarla tekrar eder. Döngü uzunluğu en fazla 4 olduğu için üs 4'e bölünür ve kalana bakılır (kalan 0 ise döngünün 4. elemanı alınır).

Birler basamağı döngüleri

  • 2: 2, 4, 8, 6 (4'lü döngü)
  • 3: 3, 9, 7, 1 (4'lü döngü)
  • 7: 7, 9, 3, 1 (4'lü döngü)
  • 8: 8, 4, 2, 6 (4'lü döngü)
  • 4: 4, 6 ve 9: 9, 1 (2'li döngü)
  • 0, 1, 5, 6 ile biten sayıların bütün kuvvetleri yine aynı rakamla biter.

Örnek: \(2^{23}\) sayısının birler basamağı: \(23 = 4 \cdot 5 + 3\), kalan 3 olduğundan döngünün 3. elemanı alınır: 8.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. \(-2^4 + (-2)^4 - (-1)^7 + 3^0\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Her terimi ayrı ayrı hesaplayalım:

  • \(-2^4\): parantez olmadığı için taban 2'dir, sonuç \(-16\).
  • \((-2)^4\): negatif tabanın çift kuvveti pozitiftir, sonuç \(16\).
  • \((-1)^7\): tek kuvvet, sonuç \(-1\); önündeki eksiyle \(-(-1) = +1\).
  • \(3^0 = 1\)

Toplam: \(-16 + 16 + 1 + 1 = 2\)
Cevap: 2

Örnek 2. \(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} + 4^{-1} \cdot 2^3\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Negatif üste tabanı ters çevirip üssün işaretini değiştirelim:
\(\left(\frac{2}{3}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{2}\right)^{2} = \frac{9}{4}\)
\(4^{-1} \cdot 2^3 = \frac{1}{4} \cdot 8 = 2\)

Toplam: \(\frac{9}{4} + 2 = \frac{9}{4} + \frac{8}{4} = \frac{17}{4}\)
Cevap: \(\frac{17}{4}\)

Örnek 3. \(\frac{2^{-1} + 3^{-1}}{6^{-1}}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Negatif üsleri kesre çevirelim:
Pay: \(\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}\)
Payda: \(6^{-1} = \frac{1}{6}\)

Bölme: \(\frac{5}{6} \div \frac{1}{6} = \frac{5}{6} \cdot 6 = 5\)
Kontrol: Pay ve paydayı 6 ile çarparsak \(\frac{3 + 2}{1} = 5\) olur.
Cevap: 5

Örnek 4. \(\frac{8^3 \cdot 4^5}{16^4}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Bütün tabanları 2'ye çevirelim:
\(8^3 = (2^3)^3 = 2^9\)
\(4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}\)
\(16^4 = (2^4)^4 = 2^{16}\)

Pay: \(2^9 \cdot 2^{10} = 2^{19}\)
Bölüm: \(\frac{2^{19}}{2^{16}} = 2^3 = 8\)
Cevap: 8

Örnek 5. \(4^7 + 4^7 + 4^7 + 4^7 = 2^n\) olduğuna göre n kaçtır?

Çözüm: Dört tane aynı terim toplandığı için:
\(4 \cdot 4^7 = 4^8\)

Tabanı 2 yapalım: \(4^8 = (2^2)^8 = 2^{16}\)
O hâlde \(2^{16} = 2^n \Rightarrow n = 16\)
Cevap: 16

Örnek 6. \(\frac{5^{12} - 5^{10}}{5^{11} + 5^{10}}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: Toplama ve çıkarma olduğu için kural yok; en küçük üslü terimi (\(5^{10}\)) ortak paranteze alalım:
Pay: \(5^{10}(5^2 - 1) = 5^{10} \cdot 24\)
Payda: \(5^{10}(5 + 1) = 5^{10} \cdot 6\)

\(5^{10}\) sadeleşir: \(\frac{24}{6} = 4\)
Cevap: 4

Örnek 7. \(9^{x+1} = 27^{x-1}\) olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm: İki tarafı da 3 tabanına çevirelim:
\(9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2x+2}\)
\(27^{x-1} = (3^3)^{x-1} = 3^{3x-3}\)

Tabanlar eşit olduğu için üsler eşittir:
\(2x + 2 = 3x - 3 \Rightarrow x = 5\)

Kontrol: \(9^6 = 3^{12}\) ve \(27^4 = 3^{12}\). Eşitlik sağlanıyor.
Cevap: 5

Örnek 8. \(2^x = a\) olduğuna göre \(4^{x+1} - 2^{x+3}\) ifadesinin a türünden eşiti nedir?

Çözüm: Her terimi \(2^x\) içerecek biçimde yazalım:
\(4^{x+1} = 4^x \cdot 4 = (2^x)^2 \cdot 4 = 4a^2\)
\(2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8a\)

Fark: \(4a^2 - 8a\)
Kontrol: \(x = 1\) için \(a = 2\); ifade \(4^2 - 2^4 = 0\), formül \(4 \cdot 4 - 16 = 0\). Tutuyor.
Cevap: \(4a^2 - 8a\)

Örnek 9. Bir laboratuvarda 50 bakteriyle başlatılan bir kültürde bakteri sayısı her 20 dakikada bir 2 katına çıkmaktadır. 4 saat sonra kültürde kaç bakteri olur?

Çözüm: 4 saat \(= 240\) dakikadır. Katlanma sayısı: \(240 \div 20 = 12\)
Her katlanmada sayı 2 ile çarpıldığı için 12 katlanma sonunda:
\(50 \cdot 2^{12} = 50 \cdot 4096 = 204800\)
Cevap: 204800

Örnek 10. \(4^8 \cdot 5^{13}\) sayısı kaç basamaklıdır?

Çözüm: Tabanı 2 yapalım: \(4^8 = 2^{16}\)
2 ile 5'i eşleştirip 10 oluşturalım. 5'in üssü 13 olduğu için 13 tane 10 çıkar:
\(2^{16} \cdot 5^{13} = 2^3 \cdot (2^{13} \cdot 5^{13}) = 8 \cdot 10^{13}\)

8 sayısının yanına 13 sıfır gelir: \(1 + 13 = 14\) basamak.
Cevap: 14

Örnek 11. \(12^5 \cdot 25^4\) sayısının sonunda kaç tane sıfır vardır?

Çözüm: Asal çarpanlara ayıralım:
\(12^5 = (2^2 \cdot 3)^5 = 2^{10} \cdot 3^5\)
\(25^4 = (5^2)^4 = 5^8\)

Sayı: \(2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^8\)
Her sıfır bir 2 ile bir 5'ten oluşur. 2'nin üssü 10, 5'in üssü 8; küçük olan 8'dir.
\(2^{10} \cdot 3^5 \cdot 5^8 = 2^2 \cdot 3^5 \cdot 10^8\) ve \(2^2 \cdot 3^5 = 972\) sıfırla bitmez.
Cevap: 8

Örnek 12. \(3^{45} + 8^{22}\) sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?

Çözüm: 3'ün döngüsü: 3, 9, 7, 1. \(45 = 4 \cdot 11 + 1\), kalan 1 olduğundan \(3^{45}\) sayısı 3 ile biter.
8'in döngüsü: 8, 4, 2, 6. \(22 = 4 \cdot 5 + 2\), kalan 2 olduğundan \(8^{22}\) sayısı 4 ile biter.

Toplamın birler basamağı: \(3 + 4 = 7\)
Cevap: 7

Örnek 13. \(a = 2^{60}\), \(b = 3^{40}\), \(c = 5^{20}\) sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Üsler 60, 40 ve 20'dir; hepsi 20'nin katıdır. Üsleri 20'ye eşitleyelim:
\(a = 2^{60} = (2^3)^{20} = 8^{20}\)
\(b = 3^{40} = (3^2)^{20} = 9^{20}\)
\(c = 5^{20}\)

Üsler eşit olduğunda tabanı büyük olan büyüktür: \(5 \lt 8 \lt 9\)
Cevap: \(c \lt a \lt b\)

Örnek 14. \(2^{x+2} + 2^{x+1} + 2^x = 56\) olduğuna göre x kaçtır?

Çözüm: Tabanlar aynı, üsler farklı; en küçük üslü \(2^x\) terimini ortak paranteze alalım:
\(2^x(2^2 + 2 + 1) = 56\)
\(2^x \cdot 7 = 56 \Rightarrow 2^x = 8 = 2^3\)
\(x = 3\)

Kontrol: \(2^5 + 2^4 + 2^3 = 32 + 16 + 8 = 56\)
Cevap: 3

Örnek 15. \(4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0\) denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?

Çözüm: \(2^x = t\) diyelim. \(4^x = (2^x)^2 = t^2\) olur:
\(t^2 - 5t + 4 = 0\)
\((t - 1)(t - 4) = 0 \Rightarrow t = 1\) veya \(t = 4\)

Geri dönelim:

  • \(2^x = 1 = 2^0 \Rightarrow x = 0\)
  • \(2^x = 4 = 2^2 \Rightarrow x = 2\)

İki değer de pozitif olduğu için ikisi de geçerlidir. Toplam: \(0 + 2 = 2\)
Kontrol: \(x = 2\) için \(16 - 20 + 4 = 0\); \(x = 0\) için \(1 - 5 + 4 = 0\).
Cevap: 2

Sık yapılan hatalar

  • \(-3^2\) ile \((-3)^2\) ifadelerini karıştırmak: birincisi \(-9\), ikincisi \(9\)'dur.
  • Negatif üssün sayıyı negatif yaptığını sanmak: \(2^{-2} = \frac{1}{4}\), pozitiftir.
  • Toplamada üsleri toplamak: \(2^3 + 2^4 \neq 2^7\). Toplamada ortak parantez kullanılır.
  • \(3^5 + 3^5 + 3^5\) toplamını \(3^{15}\) ya da \(9^5\) sanmak: doğrusu \(3 \cdot 3^5 = 3^6\).
  • \((a^m)^n\) ile \(a^{m^n}\) ifadelerini aynı sanmak.
  • Değişken değiştirmede \(2^x = t\) için negatif çıkan t değerini atmayı unutmak.
  • Sondaki sıfır sayısında 2 ile 5'in üslerinden büyük olanı almak; küçük olan alınır.

Kısa tekrar

  • Çarpmada üsler toplanır, bölmede çıkarılır, kuvvetin kuvvetinde çarpılır.
  • \(a^0 = 1\), \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatif.
  • Toplama ve çıkarmada ortak parantez: en küçük üslü terimi dışarı al.
  • Denklemde tabanları eşitle, üsleri eşitle; \(4^x\) ile \(2^x\) birlikteyse \(2^x = t\) de.
  • Sıralamada üsleri veya tabanları eşitle; basamak sorusunda 2 ile 5'i eşleştirip 10 oluştur.

Konuyu pekiştir

Kendini dene: Üslü Sayılar çözümlü testleri →

WhatsApp