Sayılar Konu Anlatımı

Sayılar konusuna genel bakış

"Sayılar" başlığı KPSS matematiğinin omurgasıdır ve dört alt konudan oluşur: Bölme ve Bölünebilme, Rasyonel Sayılar, Sayı Basamakları ve EBOB – EKOK. Sınavda bu alt konular çoğu zaman tek başına değil, birbirine bağlanarak sorulur: bir basamak sorusu bölünebilme kuralıyla, bir EBOB sorusu ondalık sayılarla birleşebilir. Bu yazıda sayı kümelerini, her alt konunun özünü ve alt konuları birleştiren karma soruları göreceksiniz. Her alt konunun ayrıntılı anlatımı için yazının sonundaki bağlantıları kullanabilirsiniz.

Sayı kümeleri

\[N \subset Z \subset Q \subset R\]

\[Q \cup I = R\]

\[Q \cap I = \emptyset\]

Alt konuların özeti

Bölme ve Bölünebilme

Bölme algoritması \(A = B \cdot C + K\) ve \(0 \le K \lt B\) eşitliğine dayanır. Bölünebilme kuralları ise bölme yapmadan karar verdirir:

• 2, 5, 10 → son basamak; 4 → son iki basamak; 8 → son üç basamak
• 3 ve 9 → rakamlar toplamı; 11 → sağdan başlayarak \(+, -, +, \ldots\)
• 6, 12, 15, 18, 36, 45, 72 gibi sayılar için aralarında asal çarpanların kuralları birlikte uygulanır (36 = 4 · 9).
• Kalanla işlem: sayıların yerine kalanları yazılarak toplanır, çarpılır, kuvveti alınır.

Rasyonel Sayılar

Kesirlerde toplama–çıkarma payda eşitleyerek, bölme ikinci kesri ters çevirip çarparak yapılır. Sıralamada payda/pay eşitleme veya 1'e (yarıma) uzaklık yöntemi kullanılır. Devirli ondalık sayılar kesre şöyle çevrilir:

\[0{,}\overline{ab} = \frac{ab}{99}\]

\[0{,}a\overline{b} = \frac{ab - a}{90}\]

Sayı Basamakları

Rakamları harflerle verilen sayılar çözümlenerek denkleme dönüştürülür:
\(AB = 10A + B\), \(ABC = 100A + 10B + C\)

• \(AB + BA = 11(A + B)\), \(AB - BA = 9(A - B)\), \(ABC - CBA = 99(A - C)\)
• En soldaki rakam 0 olamaz; "rakamları farklı" koşulu ayrıca kontrol edilir.

EBOB – EKOK

EBOB ortak asal çarpanların en küçük üsleriyle, EKOK bütün asal çarpanların en büyük üsleriyle bulunur. İki sayı için \(a \cdot b = \text{EBOB} \cdot \text{EKOK}\) geçerlidir.

• Bölüyorsan EBOB: eş parçalara ayırma, en büyük kare parsel, eşit aralıkla ağaç dikme
• Birleştiriyorsan / çakışma bekliyorsan EKOK: birlikte kalkma, en küçük kare/küp, kalan problemleri

Çözümlü örnekler

Örnek 1. \(-4\), 0, \(\frac{3}{5}\), \(\sqrt{9}\), \(\sqrt{2}\), \(0{,}\overline{3}\) ve \(\pi\) sayıları veriliyor. Bu sayılardan kaç tanesi rasyonel sayıdır?

Çözüm: Önce sadeleşebilenleri sadeleştirelim: \(\sqrt{9} = 3\), \(0{,}\overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}\).

• \(-4 = \frac{-4}{1}\) → rasyonel (aynı zamanda tam sayı)
• \(0 = \frac{0}{1}\) → rasyonel (doğal sayı)
• \(\frac{3}{5}\) → rasyonel
• \(\sqrt{9} = 3\) → rasyonel (doğal sayı)
• \(0{,}\overline{3} = \frac{1}{3}\) → rasyonel
• \(\sqrt{2}\) ve \(\pi\) → kesir olarak yazılamaz, irrasyonel

Rasyonel olanların sayısı: 5
Cevap: 5

Örnek 2. Dört basamaklı 7a2b sayısı 36 ile tam bölünebilmektedir. Bu koşulu sağlayan kaç farklı sayı yazılabilir?

Çözüm: \(36 = 4 \cdot 9\) ve 4 ile 9 aralarında asal olduğundan sayı hem 4'e hem 9'a bölünmelidir.

1. adım (4 kuralı): Son iki basamak 2b, 4'ün katı olmalı: 20, 24, 28 → b ∈ {0, 4, 8}
2. adım (9 kuralı): Rakamlar toplamı \(7 + a + 2 + b = 9 + a + b\), 9'un katı olmalı → \(a + b\) değeri 0, 9 veya 18 olmalı.

• b = 0 → a = 0 veya a = 9 → 7020, 7920
• b = 4 → a = 5 → 7524
• b = 8 → a = 1 → 7128

Toplam 4 sayı yazılabilir.
Kontrol: \(7020 = 36 \cdot 195\), \(7920 = 36 \cdot 220\), \(7524 = 36 \cdot 209\), \(7128 = 36 \cdot 198\)
Cevap: 4

• Benzer soru: 4 ve 9 koşullarını birlikte kullanma

Örnek 3. a ve b sıfırdan farklı rakamlardır. \(0{,}\overline{ab} + 0{,}\overline{ba} = \frac{13}{9}\) olduğuna göre \(a + b\) kaçtır?

Çözüm: 1. adım (devirli sayıyı kesre çevirme): \(0{,}\overline{ab} = \frac{ab}{99}\), \(0{,}\overline{ba} = \frac{ba}{99}\)
2. adım (çözümleme): \(ab + ba = (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)\)
\(\frac{11(a + b)}{99} = \frac{a + b}{9}\)
3. adım: \(\frac{a + b}{9} = \frac{13}{9} \Rightarrow a + b = 13\)

Kontrol: a = 6, b = 7 için \(\frac{67}{99} + \frac{76}{99} = \frac{143}{99} = \frac{13}{9}\)
Cevap: 13

• Benzer soru: Rakamları yer değiştiren iki devirli sayı

Örnek 4. Bir doğal sayı 6'ya bölündüğünde 5, 8'e bölündüğünde 7, 15'e bölündüğünde 14 kalanını veriyor. Bu koşulu sağlayan dört basamaklı en küçük sayı kaçtır?

Çözüm: 1. adım (bölme algoritması): Her durumda kalan, bölenden 1 eksiktir (6 − 5 = 8 − 7 = 15 − 14 = 1). Sayıya 1 eklenirse 6'ya, 8'e ve 15'e tam bölünür.
2. adım (EKOK): \(6 = 2 \cdot 3\), \(8 = 2^3\), \(15 = 3 \cdot 5\) → \(\text{EKOK} = 2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 120\)
\(x + 1 = 120k \Rightarrow x = 120k - 1\)
3. adım: Dört basamaklı en küçük değer için \(120k - 1 \ge 1000\), \(k \ge 8{,}34\ldots\) → k = 9
\(x = 120 \cdot 9 - 1 = 1079\)

Kontrol: \(1079 = 6 \cdot 179 + 5 = 8 \cdot 134 + 7 = 15 \cdot 71 + 14\)
Cevap: 1079

• Benzer soru: Farklı kalanlarda sabit farkı yakalama

Örnek 5. İki basamaklı bir AB sayısı, rakamları toplamına bölündüğünde bölüm 7, kalan 6 oluyor. Bu koşulu sağlayan AB sayılarının toplamı kaçtır?

Çözüm: 1. adım (çözümleme + bölme algoritması):
\(10A + B = 7(A + B) + 6\)
\(10A + B = 7A + 7B + 6\)
\(3A = 6B + 6 \Rightarrow A = 2B + 2\)

2. adım (adayları bulma): B = 0 → 20, B = 1 → 41, B = 2 → 62, B = 3 → 83 (B = 4 için A = 10 olur, rakam değildir).

3. adım (kalan < bölen şartı): Kalan 6 olduğu için bölen, yani rakamlar toplamı 6'dan büyük olmalıdır.

• 20: rakamlar toplamı 2 → geçersiz
• 41: rakamlar toplamı 5 → geçersiz
• 62: rakamlar toplamı 8 → \(62 = 8 \cdot 7 + 6\), geçerli
• 83: rakamlar toplamı 11 → \(83 = 11 \cdot 7 + 6\), geçerli

Toplam: \(62 + 83 = 145\)
Cevap: 145

• Benzer soru: Bölme algoritmasıyla bölüneni bulma

Örnek 6. \(a = \frac{7}{9}\), \(b = \frac{11}{14}\) ve \(c = \frac{13}{16}\) sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Kesirler 1'e yakın olduğu için 1'e uzaklıklarını karşılaştıralım:
\(1 - a = \frac{2}{9}\), \(1 - b = \frac{3}{14}\), \(1 - c = \frac{3}{16}\)

1. adım: Payları eşit olan \(\frac{3}{14}\) ve \(\frac{3}{16}\) kesirlerinde paydası büyük olan küçüktür: \(\frac{3}{16} \lt \frac{3}{14}\)
2. adım: \(\frac{2}{9}\) ile \(\frac{3}{14}\) için çapraz çarpım: \(2 \cdot 14 = 28\), \(3 \cdot 9 = 27\). \(28 \gt 27\) olduğundan \(\frac{2}{9} \gt \frac{3}{14}\).
Uzaklıklar: \(1 - c \lt 1 - b \lt 1 - a\)

1'e uzaklığı en büyük olan en küçüktür: \(a \lt b \lt c\)
Kontrol: \(a \approx 0{,}778\), \(b \approx 0{,}786\), \(c = 0{,}8125\)
Cevap: \(a \lt b \lt c\)

• Benzer soru: Birbirine yakın kesirlerden en büyüğü

Örnek 7. AB ve BA iki basamaklı sayılardır. \(AB + BA = 121\) koşulunu sağlayan AB sayılarından kaç tanesi asal sayıdır?

Çözüm: 1. adım (basamak kalıbı): \(AB + BA = 11(A + B) = 121 \Rightarrow A + B = 11\)
2. adım: BA da iki basamaklı olduğundan A ve B sıfırdan farklıdır. Uygun sayılar: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92
3. adım (asallık): Çift olanlar (38, 56, 74, 92) ve 5'e bölünen 65 asal değildir. Kalanlar:

• 29 → asal
• 47 → asal
• 83 → asal

Asal olanların sayısı 3'tür.
Cevap: 3

• Benzer soru: Sayı ile tersinin toplamı

Örnek 8. Uzunlukları 2,4 m, 3,6 m ve 4,2 m olan üç tahta, hiç artmayacak şekilde eşit uzunlukta parçalara kesilecektir. En az kaç parça elde edilir?

Çözüm: 1. adım (ondalıktan kurtulma): Santimetreye çevirelim: 240 cm, 360 cm, 420 cm.
2. adım (EBOB): Parça sayısının en az olması için parça uzunluğu en büyük olmalıdır ve her uzunluğu tam bölmelidir.
\(240 = 2^4 \cdot 3 \cdot 5\), \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\)
\(\text{EBOB} = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60\) cm
3. adım (parça sayısı): \(240 \div 60 + 360 \div 60 + 420 \div 60 = 4 + 6 + 7 = 17\)
Cevap: 17

• Benzer soru: İki kurdeleyi eşit parçalara kesme

Örnek 9. x doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 5'tir. \(4x + 7\) sayısının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?

Çözüm: Kalanla işlem kuralına göre x yerine kalanı (5) yazabiliriz:
\(4 \cdot 5 + 7 = 27\)
27, 9'a tam bölündüğünden kalan 0'dır.

Kontrol: x = 14 için \(4 \cdot 14 + 7 = 63 = 9 \cdot 7\); x = 23 için \(99 = 9 \cdot 11\).
Cevap: 0

• Benzer soru: 7 ile kalanı bilinen sayıyla kurulan ifade

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Sayılar soruları (sitemizde tüm sorular)
• Bölme ve Bölünebilme soruları
• Rasyonel Sayılar soruları
• Sayı Basamakları soruları
• EBOB - EKOK soruları
• Bölme ve Bölünebilme Konu Anlatımı (sitemizde) — Sitemizdeki konu anlatımı yazısı
• Sayı Basamakları Konu Anlatımı (sitemizde) — Sitemizdeki konu anlatımı yazısı
• EBOB ve EKOK Konu Anlatımı (sitemizde) — Sitemizdeki konu anlatımı yazısı

Kendini dene: Sayılar çözümlü testleri →