Bölme ve Bölünebilme Konu Anlatımı

Bölme ve bölünebilme, KPSS matematiğinde hem tek başına soru gelen hem de başka konuların içine gizlenen bir başlıktır. İyi haber şu: konunun tamamı iki şeye dayanır — bölme algoritması ve bölünebilme kuralları. İkisini de örnekle kuruyoruz.

1. Bölme işlemi nedir?

Bölme, bir çokluğu eşit gruplara ayırmaktır. \(17\) cevizi \(5\) kişiye eşit dağıtırsanız herkese \(3\) ceviz düşer ve elinizde \(2\) ceviz kalır. İşte bu cümlenin matematikçesi bölme işlemidir.

2. Bölünen, bölen, bölüm ve kalan

\(17 \div 5\) işleminde:

3. Bölme algoritması

Bölünen \(=\) Bölen \(\times\) Bölüm \(+\) Kalan

Örnek: \(17 = 5 \cdot 3 + 2\) ✓

Bu bağıntı sayesinde dört büyüklükten üçünü bilirseniz dördüncüsünü bulabilirsiniz. Soruların çoğu tam olarak bunu ister.

Bölen \(\times\) Bölüm çarpımına bölünebilen kısım da denir. \(17\) sayısının \(5\)'e bölünebilen kısmı \(15\)'tir.

4. Kalanın özellikleri

Bu bölüm, konunun en çok hata yapılan yeridir.

• Kalan her zaman bölenden küçüktür: \(0 \le\) Kalan \(\lt \) Bölen
• Kalan negatif olamaz.
• Bölen \(7\) ise kalan yalnızca \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) olabilir — en büyük kalan \(6\)'dır, \(7\) değil.
• Bölüm bir tam sayı olmalıdır.

"Bölen \(9\) ise kalan en fazla kaç olur?" sorusunun cevabı \(9\) değil \(8\)'dir. Kalan \(9\) olsaydı bir grup daha oluşur ve bölüm bir artardı.

5. Tam bölünme nedir?

Kalan \(0\) ise sayı bölene tam bölünür. Bu durumda bölünen, bölenin bir katıdır. \(20 = 5 \cdot 4 + 0\) olduğu için \(20\), \(5\)'e tam bölünür.

6. 2 ile bölünebilme

Kural: son rakam çift olmalı (\(0, 2, 4, 6, 8\)).

\(3846\) → son rakam \(6\), çift ✓    \(3847\) → son rakam \(7\), tek ✗

7. 3 ile bölünebilme

Kural: rakamlar toplamı \(3\)'ün katı olmalı.

\(4251 \to 4+2+5+1 = 12\); \(12\) üçün katı ✓ Gerçekten de \(4251 \div 3 = 1417\).

8. 4 ile bölünebilme

Kural: son iki basamağın oluşturduğu sayı \(4\)'ün katı olmalı.

\(7328\) → son iki basamak \(28 = 4 \cdot 7\) ✓

Neden son iki basamak? Çünkü \(100\) sayısı \(4\)'e tam bölünür. Bir sayıyı \(7328 = 7300 + 28\) diye ayırırsanız, \(7300\) kısmı \(100\)'ün katı olduğu için zaten \(4\)'e bölünür. Geriye yalnızca son iki basamak kalır.

9. 5 ile bölünebilme

Kural: son rakam \(0\) veya \(5\) olmalı.

\(2465\) ✓    \(2460\) ✓    \(2463\) ✗

10. 6 ile bölünebilme

Kural: sayı hem \(2\)'ye hem \(3\)'e bölünmeli.

\(534\) → son rakam \(4\) çift ✓, rakamlar toplamı \(5+3+4 = 12\) ✓ → \(6\)'ya bölünür. Gerçekten \(534 \div 6 = 89\).

Yalnızca çift olmak yetmez. \(538\) çifttir ama rakamlar toplamı \(16\)'dır; \(3\)'e bölünmediği için \(6\)'ya da bölünmez.

11. 8 ile bölünebilme

Kural: son üç basamağın oluşturduğu sayı \(8\)'in katı olmalı.

\(25536\) → son üç basamak \(536 = 8 \cdot 67\) ✓

Neden üç basamak? \(1000\) sayısı \(8\)'e tam bölünür (\(1000 = 8 \cdot 125\)). Bu yüzden binler ve üstü kısım kalanı etkilemez.

\(8\) kuralında son iki basamağa bakmak çok yaygın bir hatadır. \(4\) için iki, \(8\) için üç basamak.

12. 9 ile bölünebilme

Kural: rakamlar toplamı \(9\)'un katı olmalı.

\(5238 \to 5+2+3+8 = 18\) ✓   \(5238 \div 9 = 582\)

\(3\)'e bölünen her sayı \(9\)'a bölünmez. \(4152\) sayısının rakamları toplamı \(12\)'dir: \(3\)'e bölünür, \(9\)'a bölünmez.

13. 10 ile bölünebilme

Kural: son rakam \(0\) olmalı.

Bir sayı hem \(2\)'ye hem \(5\)'e bölünüyorsa, \(10\)'a da bölünür — çünkü her iki kuralı da sağlayan tek son rakam \(0\)'dır.

14. 11 ile bölünebilme

Kural: rakamları sağdan başlayarak sırayla \(+\) ve \(-\) işaretleyip toplayın. Sonuç \(11\)'in katı (\(0\) dahil) ise sayı \(11\)'e bölünür.

\(5291\) sayısı için sağdan: \(1 - 9 + 2 - 5 = -11\). \(-11\), \(11\)'in katı ✓ Gerçekten \(5291 \div 11 = 481\).

İşaretlemeye soldan başlarsanız sonucun yalnızca işareti değişir (\(+11\) çıkar). \(11\)'in katı olma durumu değişmediği için iki yön de doğrudur. Önemli olan işaretleri şaşırtmadan sırayla vermektir.

15. Bilinmeyen rakamlı sorular

\(43a2\) gibi bir sayıda \(a\) bir rakamdır: \(0 \le a \le 9\). Bu kısıt soruların yarısını çözer.

Örnek: \(5a3\) sayısı \(3\)'e bölünüyorsa, \(5+a+3 = a+8\) sayısı \(3\)'ün katı olmalı. \(a+8 \in \{9, 12, 15\}\) → \(a \in \{1, 4, 7\}\).

• Soru "\(a\) kaçtır?" diyorsa tek çözüm olmalıdır.
• Soru "kaç farklı değer alabilir?" diyorsa hepsini sayın.
• Sayının ilk rakamı sorulduğunda \(0\) olamayacağını unutmayın.

16. Birden fazla bölünebilme koşulu

Bir sayı hem \(4\)'e hem \(9\)'a bölünüyorsa iki kuralı da ayrı ayrı uygulayın, sonra ortak çözümleri alın.

Örnek: \(a12b\) hem \(4\)'e hem \(9\)'a bölünsün.

• \(4\) kuralı: \(2b\) sayısı \(4\)'ün katı → \(b \in \{0,4,8\}\)
• \(9\) kuralı: \(a+1+2+b\) sayısı \(9\)'un katı → \(a+b \in \{6, 15\}\)

İki koşulu birlikte sağlayan sayılar: \(2124\), \(6120\), \(7128\).

17. Kalan soruları

Bir sayının \(7\) ile bölümünden kalan \(4\) ise, o sayıyı \(n = 7k + 4\) diye yazın. Sorulan ne olursa olsun bu ifadeyi kullanın.

Örnek: \(3n\) sayısının \(7\) ile bölümünden kalan kaçtır?

\(3n = 3(7k+4) = 21k + 12\). \(21k\) kısmı \(7\)'ye tam bölünür. Geriye \(12\) kalıyor ama \(12 \gt 7\); bir kez daha bölelim: \(12 = 7 \cdot 1 + 5\). Kalan \(5\)'tir.

\(3 \cdot 4 = 12\) deyip durmak en yaygın hatadır. Kalan bölenden küçük olana kadar işleme devam edin.

Bu işlemin kısa yazımı \(3n \equiv 12 \equiv 5 \pmod 7\) biçimindedir. Sınavda gerekli değil, ama ileride karşınıza çıkarsa aynı şeyi anlattığını bilin.

18. Sık yapılan hatalar

• Kalanı bölene eşit almak. Kalan her zaman bölenden küçüktür.
• Bölme algoritmasında kalanı eklememek. Bölünen \(=\) Bölen \(\times\) Bölüm \(+\) Kalan — son terim unutulmamalı.
• Bölüm ile kalanı karıştırmak. Soruda hangisinin istendiğini iki kez okuyun.
• \(4\) kuralında rakamları toplamak. \(4\) son iki basamağa bakar, rakamlar toplamına değil.
• \(8\) kuralında son iki basamağa bakmak. \(8\) için son üç basamak gerekir.
• \(6\) için yalnızca çift olmayı yeterli sanmak. \(3\) koşulu da gerekir.
• \(3\) kuralını \(9\) sanmak. Rakamlar toplamı \(12\) olan sayı \(3\)'e bölünür, \(9\)'a bölünmez.
• \(11\) kuralında işaretleri şaşırmak. Sırayı bozmadan \(+, -, +, -\) gidin.
• Bilinmeyen rakam için \(0\) ihtimalini unutmak. Son basamakta \(0\) serbesttir.
• "Kaç farklı" sorusunda ilk çözümde durmak.