Sayı Basamakları Konu Anlatımı
Sayı basamakları, KPSS matematiğinin en çok soru gelen konularından biridir ve aynı zamanda en çok "dikkatsizlikten" kaybedilen puanın olduğu yerdir. Konunun tamamı aslında tek bir fikre dayanır: bir rakamın değeri, hangi basamakta durduğuna bağlıdır. Bu yazıda o fikri baştan sona kuruyoruz.
1. Rakam nedir?
Rakam, sayıları yazmak için kullandığımız sembollerdir. Onluk sayı sisteminde yalnızca 10 rakam vardır:
\(0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9\)
Yani bir soru size "\(a\) bir rakamdır" diyorsa, bu aslında \(0 \le a \le 9\) demektir. Bu kısıt soruların yarısını tek başına çözer.
2. Sayı nedir?
Sayı, rakamların yan yana gelmesiyle oluşan çokluktur. \(7\) hem bir rakam hem bir sayıdır; \(72\) ise bir sayıdır ama rakam değildir.
Kısaca: her rakam bir sayıdır, ama her sayı bir rakam değildir.
3. Sayı değeri nedir?
Bir rakamın sayı değeri, o rakamın kendisidir. Nerede durduğuna bakılmaz.
\(4726\) sayısında \(7\)'nin sayı değeri \(7\)'dir. \(7000\) sayısında da \(7\)'nin sayı değeri yine \(7\)'dir.
4. Basamak nedir?
Basamak, bir rakamın sayı içindeki yeridir. Basamak adları her zaman sağdan sola okunur:
| Basamak | Değeri | \(4726\) sayısında |
|---|---|---|
| Birler | \(1\) | \(6\) |
| Onlar | \(10\) | \(2\) |
| Yüzler | \(100\) | \(7\) |
| Binler | \(1000\) | \(4\) |
En yaygın hata basamakları soldan saymaktır. \(3805\) sayısında onlar basamağındaki rakam \(8\) değil, \(0\)'dır.
5. Basamak değeri nedir?
Basamak değeri = rakam \(\times\) bulunduğu basamağın değeri
\(4726\) sayısında:
- \(4\)'ün basamak değeri: \(4 \cdot 1000 = 4000\)
- \(7\)'nin basamak değeri: \(7 \cdot 100 = 700\)
- \(2\)'nin basamak değeri: \(2 \cdot 10 = 20\)
- \(6\)'nın basamak değeri: \(6 \cdot 1 = 6\)
Dikkat: birler basamağında sayı değeri ile basamak değeri her zaman eşittir. Başka hiçbir basamakta eşit olmaz.
Bir sayının bütün rakamlarının basamak değerleri toplamı, sayının kendisine eşittir: \(4000+700+20+6 = 4726\).
6. Sayıların çözümlenmesi
Çözümleme, bir sayıyı basamak değerlerinin toplamı olarak yazmaktır:
\(472 = 4 \cdot 100 + 7 \cdot 10 + 2\)
\(5704 = 5 \cdot 1000 + 7 \cdot 100 + 0 \cdot 10 + 4\)
Çözümleme, konunun geri kalanının anahtarıdır: harflerle yazıldığında cebirsel gösterim ortaya çıkar.
7. İki basamaklı sayıların cebirsel gösterimi
Onlar basamağı \(a\), birler basamağı \(b\) olan iki basamaklı sayıyı \(ab\) ile gösteririz:
\(ab = 10a + b\)
\(ab\) ile \(a \cdot b\) aynı şey değildir. Üstteki çizgi "bu bir sayıdır, çarpım değil" demektir.
Kısıt: \(a \ne 0\). Aksi hâlde sayı iki basamaklı olmaz.
8. Üç basamaklı sayıların cebirsel gösterimi
\(abc = 100a + 10b + c\)
Dört basamaklıda da mantık aynıdır: \(abcd = 1000a + 100b + 10c + d\)
Kısıtlar: \(a \ne 0\) ve bütün harfler rakam, yani \(0\) ile \(9\) arasında.
9. Rakamların yer değiştirmesi
İki basamaklı bir sayıda rakamlar yer değiştirirse:
\(ba - ab = (10b+a) - (10a+b) = 9(b-a)\)
Yani iki basamaklı bir sayı ile tersinin farkı her zaman \(9\)'un katıdır.
Toplamları ise:
\(ab + ba = 11(a+b)\)
Toplam her zaman \(11\)'in katıdır.
10. Ters çevrilen sayılar
Üç basamaklı sayılarda uç rakamlar yer değiştirir, ortadaki sabit kalır:
\(abc - cba = 99(a-c)\)
Ortadaki rakam \(b\) sonucu hiç etkilemez — çünkü her iki sayıda da aynı basamakta durur ve çıkarmada birbirini götürür. Bu, sınavda çok zaman kazandıran bir ayrıntıdır.
Ters çevrilen sayının da aynı basamak sayısında olması isteniyorsa, son rakam \(0\) olamaz. \(ab\) sayısında \(b=0\) ise tersi \(0a\) olur ki bu iki basamaklı bir sayı değildir.
11. Rakamlar toplamı
Rakamlar toplamı, sayının rakamlarının sayı değerlerinin toplamıdır. \(4726\) için \(4+7+2+6 = 19\).
Sık karıştırılan üç kavram:
| Kavram | \(472\) için |
|---|---|
| Rakamlar toplamı | \(4+7+2 = 13\) |
| Basamak değerleri toplamı | \(400+70+2 = 472\) |
| Rakamlar çarpımı | \(4 \cdot 7 \cdot 2 = 56\) |
12. En büyük ve en küçük sayı oluşturma
En büyük sayı için: rakamları büyükten küçüğe dizin. En büyük rakam en değerli basamağa gider.
En küçük sayı için: rakamları küçükten büyüğe dizin — ama ilk basamağa \(0\) koyamazsınız.
Örnek: \(3,\ 0,\ 8\) rakamlarıyla
- En büyük: \(830\)
- En küçük: \(308\) — \(083\) değil, çünkü o üç basamaklı bir sayı değildir
Kural: \(0\) varsa, onu ilk basamağa değil, ilk basamaktan sonraki en değerli basamağa koyun.
13. Rakamları farklı sayılar
Üç basamaklı, rakamları birbirinden farklı kaç sayı vardır?
- Yüzler basamağı: \(9\) seçenek (\(0\) olamaz)
- Onlar basamağı: \(9\) seçenek (\(0\) dahil, ama yüzlerdeki rakam hariç)
- Birler basamağı: \(8\) seçenek
\(9 \cdot 9 \cdot 8 = 648\)
Buradaki püf nokta, onlar basamağında \(0\)'ın serbest olmasıdır. Sadece ilk basamak \(0\) olamaz.
14. Sık yapılan hatalar
- Basamak değeri ile sayı değerini karıştırmak. Soruda hangisinin istendiğini iki kez okuyun.
- Basamakları soldan saymak. Basamak adları sağdan başlar.
- \(ab\) yerine \(a \cdot b\) yazmak. Doğrusu \(10a+b\)'dir.
- Yüzler basamağını \(10a\) almak. Yüzler \(100a\)'dır.
- İlk basamağa \(0\) koymak. En küçük sayı sorularında en sık yapılan hata.
- "Rakamları farklı" şartını unutmak.
- \(b \le 9\) kısıtını unutmak. Denklemden \(b=12\) çıkıyorsa o çözüm geçersizdir.
- Rakamlar toplamını sayının kendisi sanmak.
- İlk bulunan çözümde durmak. "En büyük" veya "kaç farklı" soruluyorsa bütün olasılıklar taranmalıdır.