EBOB ve EKOK Konu Anlatımı

EBOB ve EKOK, KPSS matematiğinde her yıl karşınıza çıkan bir konudur ve sorular çoğu zaman bir hikâyenin içine gizlenir: fayans döşeme, ağaç dikme, otobüslerin aynı anda gelmesi, gruplara ayrılan öğrenciler. İşin sırrı iki şeyde: sayıyı asal çarpanlarına ayırmak ve soruda EBOB mu EKOK mu istendiğini tanımak. İkisini de adım adım kuruyoruz.

1. Bölen ve kat

\(12\) sayısı \(3\)'e tam bölünür: \(3\), \(12\)'nin bir bölenidir; \(12\) de \(3\)'ün bir katıdır. Aynı ilişkinin iki yönü.

• \(12\)'nin bölenleri: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\) — sayısı sonludur.
• \(12\)'nin katları: \(12, 24, 36, 48, \dots\) — sonsuzdur.

Bu fark önemli: ortak bölenlerin en büyüğü (EBOB) sayılardan büyük olamaz; ortak katların en küçüğü (EKOK) sayılardan küçük olamaz.

2. Asal çarpanlara ayırma

Her doğal sayı, asal sayıların çarpımı olarak tek bir biçimde yazılabilir. Sayıyı en küçük asaldan başlayarak bölmeye devam edin:

\(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\)

EBOB ve EKOK'un iki yöntemi de bu yazılışa dayanır. Asal çarpanlara ayırmayı hızlandırmak için bölünebilme kurallarını kullanın.

3. Ortak bölen ve EBOB

İki sayıyı da tam bölen sayılara ortak bölen, bunların en büyüğüne en büyük ortak bölen (EBOB) denir.

\(12\)'nin bölenleri: \(1, 2, 3, 4, 6, 12\)
\(18\)'in bölenleri: \(1, 2, 3, 6, 9, 18\)
Ortak bölenler: \(1, 2, 3, 6\) → EBOB\((12, 18) = 6\)

Bölenleri listelemek küçük sayılarda işe yarar; büyük sayılarda uzun sürer.

4. EBOB'u asal çarpanlarla bulma

Kural: iki sayıda da bulunan asal çarpanlar alınır, her birinin küçük üssü seçilir.

\(72 = 2^3 \cdot 3^2\) ve \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\)

• Ortak çarpanlar: \(2\) ve \(3\) (\(5\) yalnızca \(120\)'de)
• Küçük üsler: \(2^3\) ve \(3^1\)

EBOB\((72, 120) = 2^3 \cdot 3 = 24\)

Ortak olmayan çarpan EBOB'a girmez. \(5\)'i de katarsanız bulduğunuz sayı \(72\)'yi bölmez.

5. Ortak kat ve EKOK

İki sayının da katı olan sayılara ortak kat, bunların en küçüğüne en küçük ortak kat (EKOK) denir.

\(4\)'ün katları: \(4, 8, 12, 16, 20, 24, \dots\)
\(6\)'nın katları: \(6, 12, 18, 24, \dots\)
Ortak katlar: \(12, 24, 36, \dots\) → EKOK\((4, 6) = 12\)

Bütün ortak katlar EKOK'un katıdır. Bu yüzden "ortak kat" geçen her soruda EKOK'la başlanır.

6. EKOK'u asal çarpanlarla bulma

Kural: sayılarda geçen bütün asal çarpanlar alınır, her birinin büyük üssü seçilir.

\(72 = 2^3 \cdot 3^2\) ve \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\)

EKOK\((72, 120) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360\)

7. Ortak bölme (bölme merdiveni) yöntemi

Sayılar yan yana yazılır ve asal sayılara bölünür; bölünemeyen sayı aşağıya aynen indirilir. Bütün sayılar \(1\) olunca durulur.

• EKOK \(=\) bütün bölenlerin çarpımı \(= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 72\)
• EBOB \(=\) yalnızca ikisini birden bölen satırların çarpımı \(= 2 \cdot 2 \cdot 3 = 12\)

8. Aralarında asal sayılar

EBOB'u \(1\) olan iki sayıya aralarında asal denir. \(8\) ile \(15\) aralarında asaldır: \(8 = 2^3\), \(15 = 3 \cdot 5\), ortak çarpan yok.

• Sayıların kendilerinin asal olması gerekmez.
• Ardışık iki doğal sayı her zaman aralarında asaldır.
• Aralarında asal iki sayının EKOK'u çarpımlarına eşittir: EKOK\((8, 15) = 120\).

9. EBOB \(\cdot\) EKOK \(=\) sayıların çarpımı

İki sayı \(a\) ve \(b\) için her zaman:

\(a \cdot b = \) EBOB\((a, b) \cdot \) EKOK\((a, b)\)

Örnek: \(12 \cdot 18 = 216\) ve \(6 \cdot 36 = 216\) ✓

Bu eşitlik yalnızca iki sayı için geçerlidir. Üç sayıda çarpım, EBOB ile EKOK'un çarpımına genellikle eşit değildir.

10. EBOB'u verilen sayıları yazmak

EBOB\((a, b) = d\) ise sayılar \(a = d \cdot x\) ve \(b = d \cdot y\) biçiminde yazılır; burada \(x\) ile \(y\) aralarında asaldır. O zaman:

EKOK\((a, b) = d \cdot x \cdot y\)

Örnek: EBOB \(= 6\), EKOK \(= 180\) → \(6xy = 180\) → \(xy = 30\). Aralarında asal ikililer: \((1, 30)\), \((2, 15)\), \((3, 10)\), \((5, 6)\).

\(x\) ile \(y\) ortak bir çarpan taşısaydı EBOB \(d\)'den büyük olurdu. Bu koşulu atlamak, bu tür sorulardaki en sık hatadır.

11. Soruda EBOB mu, EKOK mu?

Kısa hatırlatma: bölüyorsanız EBOB, birleştiriyor ya da bekliyorsanız EKOK.

12. EBOB problemleri: fayans, bidon, parçalama

\(180 \times 240\) cm bir zemin, eş kare fayanslarla kesilmeden kaplanacak. En az kaç fayans?

1. Fayans kenarı hem \(180\)'i hem \(240\)'ı bölmeli; en az fayans için en büyük seçilir: EBOB \(= 60\) cm.
2. Kenarlar boyunca \(180 \div 60 = 3\) ve \(240 \div 60 = 4\) fayans.
3. Toplam \(3 \cdot 4 = 12\) fayans.

Fayans sayısı bir alan sorusudur: iki kenardaki sayılar çarpılır. Bidon, paket gibi hacim/adet sorularında ise her kaptan çıkan sayılar toplanır.

13. Ağaç dikme: açık ve kapalı çizgi

Aralık, uzunlukların EBOB'udur (köşelere ağaç geliyorsa). Ağaç sayısı ise çizginin açık mı kapalı mı olduğuna bağlıdır:

Örnek: \(60 \times 84\) m bahçenin çevresi. EBOB \(= 12\) m, çevre \(= 288\) m, ağaç sayısı \(= 288 \div 12 = 24\).

14. EKOK problemleri: aynı anda olma

Otobüsler \(12\) ve \(16\) dakikada bir geliyor, 09.00'da birlikte geldiler. EKOK\((12, 16) = 48\) → bir sonraki birlikte geliş 09.48.

• "Kaç kez daha" soruluyorsa başlangıç anı sayılmaz.
• Süreleri aynı birime çevirmeden EKOK almayın (dakika ile saniye karışmasın).

15. En küçük kare ve küp

\(12 \times 18\) cm kartonlarla en küçük kare: kenar EKOK\((12, 18) = 36\) cm. Karton sayısı \((36 \div 12) \cdot (36 \div 18) = 3 \cdot 2 = 6\).

Fayans sorusunun tersidir: orada büyük şekli parçalıyorduk (EBOB), burada küçük parçalardan büyük şekil kuruyoruz (EKOK).

16. Kalan problemleri

a) Kalanlar aynıysa: sayıdan kalanı çıkarın.

\(4\), \(6\) ve \(9\) ile bölününce hep \(1\) kalan veren sayı: \(n - 1\) ortak kat → \(n - 1 = 36k\) → \(n = 37, 73, \dots\)

b) Kalanlar farklı ama bölen \(-\) kalan aynıysa: sayıya o farkı ekleyin.

\(5\)'e bölününce \(3\), \(6\)'ya bölününce \(4\), \(8\)'e bölününce \(6\) kalan: her durumda eksik \(2\) → \(n + 2\) ortak kat → \(n + 2 = 120\) → \(n = 118\).

c) Sayıları aynı kalanla bölen en büyük sayı: kalanı sayılardan çıkarıp EBOB alın. \(122\) ve \(86\) için kalan \(2\) → EBOB\((120, 84) = 12\).

Son durumda bölen, kalandan büyük olmalı. Bulduğunuz EBOB kalandan küçük ya da ona eşitse o sayı cevap olamaz.

17. Oranla verilen sayılar

\(\dfrac{a}{b} = \dfrac{4}{7}\) ise \(a = 4k\), \(b = 7k\). \(4\) ile \(7\) aralarında asal olduğu için EBOB \(= k\), EKOK \(= 28k\) olur. EKOK \(336\) verilirse \(k = 12\), sayılar \(48\) ve \(84\).

18. Sık yapılan hatalar

• Üsleri karıştırmak. EBOB'da küçük üs, EKOK'ta büyük üs.
• EBOB'a ortak olmayan çarpanı katmak. Yalnızca iki sayıda da olan çarpanlar girer.
• Sayıları çarpıp EKOK sanmak. Çarpım bir ortak kattır ama en küçüğü değildir (aralarında asal değillerse).
• Soru tipini yanlış tanımak. Parçalama EBOB, birleştirme ve aynı anda olma EKOK.
• Parça boyunu cevap sanmak. Soru çoğu zaman parça sayısını ister.
• Kapalı çevrede \(1\) eklemek. Çevrede ağaç sayısı aralık sayısına eşittir.
• Başlangıç anını saymak. "Kaç kez daha" sorusunda ilk an sayılmaz.
• Kalanı çıkarmayı unutmak. Kalanlı sorularda EBOB/EKOK kalan çıkarıldıktan sonra alınır.
• \(a = dx\), \(b = dy\) yazıp \(x, y\)'nin aralarında asal olma şartını unutmak.
• EBOB \(\cdot\) EKOK \(=\) çarpım kuralını üç sayıya uygulamak.