Rasyonel Sayılar Konu Anlatımı

Rasyonel sayı nedir?

KPSS'de rasyonel sayılar; kesirlerle dört işlem, sıralama, ondalık ve devirli ondalık sayılar biçiminde karşınıza çıkar. Bu konudaki işlem becerisi, yüzde, oran ve bütün problem türlerinde de kullanılır.

\[a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}\]

Kesirlerle dört işlem

\[\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d + b \cdot c}{b \cdot d}\]

\[\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}\]

Merdiven (iç içe) kesirler

İç içe kesirlerde işleme en alttan başlanır ve yukarıya doğru çıkılır. Her adımda yalnızca bir kesir sadeleştirilir; "1 bölü kesir" gördüğünüz yerde kesri ters çevirirsiniz: \(\frac{1}{\frac{a}{b}} = \frac{b}{a}\).

Ardışık çarpımlı paydalar (teleskopik toplam)

\[\frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\]

\[\frac{k}{n \cdot (n + k)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + k}\]

Bu ayrıştırma yapıldığında ardışık terimler birbirini götürür ve geriye yalnızca ilk terimin ilk parçası ile son terimin son parçası kalır.

Rasyonel sayılarda sıralama

Örnek: \(\frac{9}{10}\), \(\frac{19}{20}\) ve \(\frac{29}{30}\) kesirlerinin 1'e uzaklıkları sırasıyla \(\frac{1}{10}\), \(\frac{1}{20}\), \(\frac{1}{30}\)'dur. Uzaklığı en küçük olan en büyüktür: \(\frac{9}{10} \lt \frac{19}{20} \lt \frac{29}{30}\).

Ondalık ve devirli ondalık sayılar

Virgülden sonra belirli bir rakam grubu sonsuza kadar tekrar ediyorsa sayı devirli ondalık sayıdır. Tekrar eden kısmın üzerine çizgi konur: \(0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots\), \(1{,}2\overline{36} = 1{,}23636\ldots\)

\[\text{Devirli sayı} = \frac{\text{Sayının tamamı} - \text{Devretmeyen kısım}}{\text{Devreden rakam kadar 9, devretmeyen rakam kadar 0}}\]

Örnek: \(0{,}\overline{4} = \frac{4}{9}\)
\(0{,}\overline{27} = \frac{27}{99} = \frac{3}{11}\)
\(0{,}1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}\)
\(0{,}\overline{9} = \frac{9}{9} = 1\) (dikkat: \(0{,}\overline{9}\) sayısı 1'e eşittir)

Çözümlü örnekler

Örnek 1. \(\frac{2}{3} + \frac{5}{6} \div \frac{10}{9} - \frac{1}{4}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: 1. adım (bölme önce): \(\frac{5}{6} \div \frac{10}{9} = \frac{5}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}\)
2. adım (toplama–çıkarma, soldan sağa): \(\frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{3} + \frac{2}{4} = \frac{2}{3} + \frac{1}{2}\)
3. adım (payda eşitleme, payda 6): \(\frac{4}{6} + \frac{3}{6} = \frac{7}{6}\)
Cevap: \(\frac{7}{6}\)

• Benzer soru: Kesirlerde işlem önceliği

Örnek 2. \(3\frac{1}{4} - 1\frac{5}{6}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: 1. adım (bileşik kesre çevirme): \(3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}\), \(1\frac{5}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{11}{6}\)
2. adım (payda eşitleme, EKOK(4, 6) = 12): \(\frac{39}{12} - \frac{22}{12} = \frac{17}{12}\)
3. adım (tam sayılı yazım): \(\frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}\)
Cevap: \(\frac{17}{12} = 1\frac{5}{12}\)

• Benzer soru: Tam sayılı kesirlerle çıkarma

Örnek 3. \(1{,}2\overline{36}\) devirli ondalık sayısını en sade kesir olarak yazınız.

Çözüm: Sayının tamamı (virgülsüz): 1236
Devretmeyen kısım (virgülsüz): 12
Paydaya devreden 2 rakam için iki 9, devretmeyen 1 ondalık rakam için bir 0 yazılır: 990

\(\frac{1236 - 12}{990} = \frac{1224}{990}\)
Sadeleştirelim (ikisi de 18'e bölünür): \(\frac{1224 \div 18}{990 \div 18} = \frac{68}{55}\)

Kontrol: \(68 \div 55 = 1{,}23636\ldots\)
Cevap: \(\frac{68}{55}\)

• Benzer soru: Devirli ondalık sayıyı kesre çevirme

Örnek 4. \(\frac{0{,}\overline{6}}{0{,}1\overline{6}}\) işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm: 1. adım: \(0{,}\overline{6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}\)
2. adım: \(0{,}1\overline{6} = \frac{16 - 1}{90} = \frac{15}{90} = \frac{1}{6}\)
3. adım: \(\frac{2}{3} \div \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\)

Kontrol: \(0{,}1666\ldots \cdot 4 = 0{,}666\ldots\)
Cevap: 4

• Benzer soru: Devirli sayılarla kurulan bölme işlemi

Örnek 5. \(a = \frac{7}{15}\), \(b = \frac{9}{19}\) ve \(c = \frac{11}{23}\) sayılarını küçükten büyüğe sıralayınız.

Çözüm: Üç kesir de \(\frac{1}{2}\)'ye çok yakın ve ondan küçüktür. Her birinin \(\frac{1}{2}\)'ye uzaklığını bulalım:
\(\frac{1}{2} - \frac{7}{15} = \frac{15 - 14}{30} = \frac{1}{30}\)
\(\frac{1}{2} - \frac{9}{19} = \frac{19 - 18}{38} = \frac{1}{38}\)
\(\frac{1}{2} - \frac{11}{23} = \frac{23 - 22}{46} = \frac{1}{46}\)

\(\frac{1}{46} \lt \frac{1}{38} \lt \frac{1}{30}\) olduğundan \(\frac{1}{2}\)'ye en yakın olan c, en uzak olan a'dır. Yarımdan küçük kesirlerde yarıma uzaklığı az olan daha büyüktür.
Cevap: \(a \lt b \lt c\)

• Benzer soru: Yarıma çok yakın kesirleri sıralama

Örnek 6. \(1 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}}\) ifadesinin değeri kaçtır?

Çözüm: En alttan başlayalım:
1. adım: \(1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}\)
2. adım: \(\frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\), böylece \(2 + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}\)
3. adım: \(\frac{1}{\frac{11}{4}} = \frac{4}{11}\), böylece \(1 + \frac{4}{11} = \frac{15}{11}\)
Cevap: \(\frac{15}{11}\)

• Benzer soru: Merdiven biçimindeki kesrin değeri

Örnek 7. \(\frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} + \frac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \frac{1}{9 \cdot 10}\) toplamı kaçtır?

Çözüm: Her terimi \(\frac{1}{n \cdot (n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\) kuralıyla ayıralım:
\(\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{9} - \frac{1}{10}\right)\)

Aradaki terimler birbirini götürür; geriye ilk ve son parça kalır:
\(\frac{1}{2} - \frac{1}{10} = \frac{5}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)
Cevap: \(\frac{2}{5}\)

• Benzer soru: Ardışık çarpımlı paydalarla kesir toplamı

Örnek 8. \(\left(1 - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{5}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{20}\right)\) çarpımının sonucu kaçtır?

Çözüm: Her parantezi tek kesir olarak yazalım:
\(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\), \(1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}\), \(1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}\), ..., \(1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}\)

Çarpım: \(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdots \frac{19}{20}\)
Her kesrin paydası bir sonrakinin payıyla sadeleşir. Geriye ilk pay (2) ve son payda (20) kalır:
\(\frac{2}{20} = \frac{1}{10}\)
Cevap: \(\frac{1}{10}\)

• Benzer soru: Bir eksik kesirlerin çarpımı

Örnek 9. \(\frac{3}{7}\) kesrinin ondalık açılımında virgülden sonraki 50. basamakta hangi rakam bulunur?

Çözüm: 1. adım: \(\frac{3}{7} = 0{,}\overline{428571}\). Devreden kısım 6 rakamlıdır: 4, 2, 8, 5, 7, 1.
2. adım: 50'yi 6'ya bölelim: \(50 = 6 \cdot 8 + 2\). 48 rakamda grup 8 kez tamamlanır; 50. rakam, grubun 2. rakamıdır.
3. adım: Grubun 2. rakamı 2'dir.
Cevap: 2

• Benzer soru: Kesrin ondalık açılımında istenen basamak

Örnek 10. n bir pozitif tam sayı ve \(n \lt 60\) olmak üzere \(\frac{n}{60}\) biçimindeki kesirlerden kaç tanesinin ondalık açılımı sonludur?

Çözüm: 1. adım: \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\). Sadeleşmiş paydada yalnızca 2 ve 5 kalırsa açılım sonludur. Bunun için paydadaki 3 çarpanı sadeleşmelidir.
2. adım: Bu, n'nin 3'ün katı olmasıyla mümkündür. 1 ile 59 arasındaki 3'ün katları: 3, 6, ..., 57
3. adım (sayma): \(\frac{57 - 3}{3} + 1 = 18 + 1 = 19\)

Kontrol: \(\frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0{,}15\) (sonlu); \(\frac{7}{60} = 0{,}11666\ldots\) (devirli)
Cevap: 19

• Benzer soru: Ondalık açılımı sonlu olan kesirleri sayma

Örnek 11. \(\frac{5}{8}\) kesrinin payına ve paydasına aynı x sayısı eklendiğinde kesrin değeri \(\frac{4}{5}\) oluyor. x kaçtır?

Çözüm: Denklemi kuralım:
\(\frac{5 + x}{8 + x} = \frac{4}{5}\)

İçler–dışlar çarpımı:
\(5(5 + x) = 4(8 + x)\)
\(25 + 5x = 32 + 4x\)
\(x = 7\)

Kontrol: \(\frac{5 + 7}{8 + 7} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\)
Cevap: 7

• Benzer soru: Pay ve paydaya aynı sayıyı ekleme

Örnek 12. \(\frac{1}{4}\) ile \(\frac{5}{6}\) arasında bulunan, paydası 30 olan ve sadeleşemeyen kaç kesir vardır?

Çözüm: 1. adım (sınırları paydası 30 olacak şekilde yazma): \(\frac{1}{4} = \frac{7{,}5}{30}\), \(\frac{5}{6} = \frac{25}{30}\)
Aradaki kesirler \(\frac{n}{30}\) ise \(7{,}5 \lt n \lt 25\), yani n = 8, 9, ..., 24.

2. adım (sadeleşmeme şartı): \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\). n; 2, 3 ve 5'in hiçbirine bölünmemelidir. 8 ile 24 arasında bu koşulu sağlayanlar: 11, 13, 17, 19, 23.

Toplam 5 kesir: \(\frac{11}{30}, \frac{13}{30}, \frac{17}{30}, \frac{19}{30}, \frac{23}{30}\)
Cevap: 5

• Benzer soru: Paydası 24 olan sadeleşmeyen ara kesirler

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Rasyonel Sayılar soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Rasyonel Sayılar çözümlü testleri →