Ondalık açılımı sonlu olan kesirleri sayma
\(a\) pozitif tam sayı ve \(a \lt 60\) olmak üzere, \(\dfrac{a}{60}\) kesrinin ondalık açılımı sonlu (devirsiz) olacak şekilde kaç farklı \(a\) değeri vardır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{a}{60}\)
- \(1 \leq a \leq 59\)
Ne soruluyor?
Kaç \(a\) için ondalık açılım sonludur?
Çözüm
- En sade kesrin paydasında \(2\) ve \(5\)'ten başka asal çarpan yoksa açılım sonludur.
→ Çünkü payda \(10\)'un bir kuvvetine genişletilebilir. - \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\) → paydadaki \(3\) sadeleşerek gitmeli.
→ Yani \(a\), \(3\)'ün katı olmalı. - \(a \in \{3, 6, 9, \dots, 57\}\) → \(\dfrac{57}{3} = 19\) değer
→ Sayma.
Kontrol
\(\dfrac{3}{60} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\) ✓; \(\dfrac{1}{60} = 0{,}01\overline{6}\) devirli ✓
Sık yapılan hata
Paydada \(3\) olduğu için hiçbir kesrin sonlu olmayacağını sanmak ya da \(60\)'la aralarında asal \(a\) değerlerini saymak.