Basit kesrin değişimiyle ilgili öncüller
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar ve \(a \lt b\) olmak üzere,
I. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a + 1}{b + 1}\)
II. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a}{b + 1}\)
III. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a + b}{2b}\)
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
I. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a + 1}{b + 1}\)
II. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a}{b + 1}\)
III. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a + b}{2b}\)
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(0 \lt a \lt b\), yani \(\dfrac{a}{b}\) basit kesir
Ne soruluyor?
Hangi eşitsizlikler her zaman doğru?
Çözüm
- I: \(\dfrac{a + 1}{b + 1} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b(a + 1) - a(b + 1)}{b(b + 1)} = \dfrac{b - a}{b(b + 1)} \gt 0\)
→ Basit kesrin payına ve paydasına aynı pozitif sayı eklenirse kesir büyür. Doğru. - II: Pay aynı, payda büyüdü → \(\dfrac{a}{b + 1} \lt \dfrac{a}{b}\)
→ Eşitsizlik ters yönde. Yanlış. - III: \(\dfrac{a + b}{2b} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{a + b - 2a}{2b} = \dfrac{b - a}{2b} \gt 0\)
→ \(\dfrac{a + b}{2b}\), \(\dfrac{a}{b}\) ile \(1\)'in ortalamasıdır. Doğru. - Her zaman doğru olanlar: I ve III
→ Sonuç.
Kontrol
\(a = 1\), \(b = 2\): I. \(\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{2}{3}\) ✓, II. \(\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{1}{3}\) ✗, III. \(\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{3}{4}\) ✓
Sık yapılan hata
I. ifadede pay ve paydaya aynı sayı eklenince kesrin değişmeyeceğini sanmak; bu yalnızca genişletmede (çarpmada) geçerlidir.