Bir eksik kesirlerin çarpımı
\(\left(1 - \dfrac{1}{4}\right)\left(1 - \dfrac{1}{9}\right)\left(1 - \dfrac{1}{16}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{1}{100}\right)\) çarpımının sonucu kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Çarpanlar \(1 - \dfrac{1}{k^2}\), \(k = 2, 3, \dots, 10\)
Ne soruluyor?
Çarpımın sonucu?
Çözüm
- \(1 - \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{(k-1)(k+1)}{k \cdot k}\)
→ Kareler farkı. - Çarpımı iki parçaya ayıralım: \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdots \dfrac{9}{10}\) ve \(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdots \dfrac{11}{10}\)
→ Her çarpan iki kesre bölündü. - İlk parça \(\dfrac{1}{10}\), ikinci parça \(\dfrac{11}{2}\)
→ Ardışık terimler sadeleşir. - Sonuç \(\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{11}{2} = \dfrac{11}{20}\)
→ Çarpma.
Kontrol
\(k = 2, 3\) için: \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{2}{3}\) ve formül \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{3}\) ✓
Sık yapılan hata
Son çarpanı \(1 - \dfrac{1}{100}\) yerine \(1 - \dfrac{1}{10}\) sanıp \(k\)'yi \(100\)'e kadar götürmek; bu \(\dfrac{101}{200}\) verir.