Ardışık çarpımlı paydalarla kesir toplamı
\(\dfrac{1}{2 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 4} + \dfrac{1}{4 \cdot 5} + \cdots + \dfrac{1}{9 \cdot 10}\) toplamının sonucu kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Terimler \(\dfrac{1}{k(k + 1)}\), \(k = 2, 3, \dots, 9\)
Ne soruluyor?
Toplam kaçtır?
Çözüm
- \(\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}\)
→ Ardışık iki sayının çarpımı paydada ise kesir farka ayrılır. - \(\left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{10}\right)\)
→ Ortadaki terimler birbirini götürür. - \(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5}\)
→ İlk ve son terim kalır.
Kontrol
İlk iki terim: \(\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{12} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}\) ✓ (kural tutuyor)
Sık yapılan hata
Toplamı \(\dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{10} = \dfrac{9}{10}\) sanmak; ilk terim \(\dfrac{1}{2}\) ile başlar.