Havuz Problemleri Konu Anlatımı

Havuz problemleri nedir?

Havuz problemleri, işçi problemlerinin "musluklu" hâlidir. İşçinin yerini musluk, işin yerini havuz alır. Tek önemli fark şudur: havuzu dolduran muslukların yanında boşaltan musluklar (ve delikler) de vardır. Dolduranlar havuza su ekler, boşaltanlar su eksiltir.

Bir musluk boş havuzu a saatte dolduruyorsa her saat havuzun \(\frac{1}{a}\)'sını doldurur. Havuzun tamamı 1 birim kabul edilir.

Örnek: Boş havuzu 10 saatte dolduran musluk 4 saatte havuzun \(\frac{4}{10} = \frac{2}{5}\)'ini doldurur. Havuzun \(1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}\)'i boş kalır.

Temel kurallar ve formüller

İki veya daha çok dolduran musluk

A musluğu havuzu a saatte, B musluğu b saatte dolduruyorsa ikisi birlikte t saatte doldurur:

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}\]

\[t = \frac{a \cdot b}{a + b}\]

Üç musluk için saatlik dolum miktarları tek tek toplanır: \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{t}\)

Dolduran ve boşaltan musluk birlikte

Boş havuzu a saatte dolduran musluk ile dolu havuzu b saatte boşaltan musluk birlikte açılırsa her saat havuzda \(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\) kadar su birikir.

\[\frac{1}{a} - \frac{1}{b} = \frac{1}{t}\]

Litre ile verilen sorular

Bazı sorularda musluğun akış hızı (dakikada / saatte kaç litre) ve havuzun hacmi verilir. O zaman doğrudan yol = hız · zaman benzeri bağıntı kullanılır:

\[\text{Hacim} = \text{Akış hızı} \cdot \text{Zaman}\]

Birlikte açık musluklarda akış hızları toplanır, boşaltan musluğun akış hızı çıkarılır.

Pratik yol: Havuzu EKOK kadar birim almak

Kesirlerden kurtulmak için havuzun hacmini sürelerin EKOK'u kadar litre kabul edebilirsin. A havuzu 4 saatte, B 6 saatte dolduruyorsa havuz \(\text{EKOK}(4, 6) = 12\) litre olsun: A saatte 3, B saatte 2 litre akıtır.

Özdeş musluklar

Özdeş muslukların sayısı ile dolum süresi ters orantılıdır: musluk sayısı · süre sabittir.

Örnek: Özdeş 3 musluk havuzu 12 saatte dolduruyorsa havuz \(3 \cdot 12 = 36\) "musluk-saat"lik iştir. Bu musluklardan 2'si havuzu \(36 \div 2 = 18\) saatte doldurur.

Soru tiplerine göre yöntemler

1. Kısmen dolu havuz

"Havuzun \(\frac{1}{3}\)'ü dolu" deniyorsa doldurulacak kısım 1 değil, \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)'tür. Süre = doldurulacak kısım ÷ saatlik net dolum.

2. Sonradan açılan veya kapatılan musluk

İşçi problemlerindeki gibi: her musluğun kaç saat açık kaldığını bul, doldurduğu kısmı yaz, hepsini topla (boşaltanları çıkar) ve doldurulan kısma eşitle.

\[\frac{x_A}{a} + \frac{x_B}{b} - \frac{x_C}{c} = 1\]

3. Dönüşümlü açılan musluklar

Musluklar birer saat sırayla açılıyorsa iki saatlik bir "tur"da dolan kısım bulunur. Tam turlar sayılır; son saatte musluğun bir saatlik dolumu kalan kısımdan fazlaysa havuz saat dolmadan dolar.

4. Delikli havuzlar

Havuzun yan yüzündeki delik, ancak su seviyesi deliğin üstüne çıktığında su akıtmaya başlar. Bu yüzden havuz iki bölümde incelenir:

• Deliğe kadar olan kısım: yalnızca musluk(lar) çalışır.
• Deliğin üstündeki kısım: musluk doldururken delik de boşaltır.

Dipteki delik ise baştan sona su akıtır; boşaltan musluk gibi düşünülür.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Boş bir havuzu A musluğu tek başına 6 saatte, B musluğu tek başına 12 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte açılırsa boş havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: A saatte havuzun \(\frac{1}{6}\)'sını, B \(\frac{1}{12}\)'sini doldurur. Birlikte bir saatte:
\(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)

Her saat havuzun \(\frac{1}{4}\)'ü dolduğuna göre havuz 4 saatte dolar.
Kısayolla: \(t = \frac{6 \cdot 12}{6 + 12} = \frac{72}{18} = 4\)

Kontrol: 4 saatte A \(\frac{4}{6} = \frac{2}{3}\), B \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\) doldurur; toplam 1.
Cevap: 4 saat

• Benzer soru: İki musluğun birlikte doldurma süresi

Örnek 2. Bir havuzu A musluğu 8 saatte dolduruyor, B musluğu ise dolu havuzu 12 saatte boşaltıyor. Havuz boşken iki musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: A dolduran, B boşaltan olduğu için B'nin payı çıkarılır:
\(\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24} = \frac{1}{24}\)

Her saat havuzun \(\frac{1}{24}\)'ü net olarak dolar; havuz 24 saatte dolar.

Kontrol: 24 saatte A \(\frac{24}{8} = 3\) havuz su akıtır, B \(\frac{24}{12} = 2\) havuz su boşaltır; geriye \(3 - 2 = 1\) havuz kalır.
Cevap: 24 saat

• Benzer soru: Dolduran ve boşaltan musluk birlikte açılınca

Örnek 3. Boş bir havuzu A musluğu 6 saatte, B musluğu 10 saatte, C musluğu 15 saatte dolduruyor. Üç musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: Havuzu \(\text{EKOK}(6, 10, 15) = 30\) birim alalım.
A saatte \(30 \div 6 = 5\), B \(30 \div 10 = 3\), C \(30 \div 15 = 2\) birim doldurur.
Birlikte saatte: \(5 + 3 + 2 = 10\) birim

Süre: \(30 \div 10 = 3\) saat

Kontrol (kesirlerle): \(\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{5 + 3 + 2}{30} = \frac{1}{3}\)
Cevap: 3 saat

• Benzer soru: Üç musluğun birlikte doldurma süresi

Örnek 4. 2400 litrelik boş bir havuza dakikada 40 litre su akıtan bir musluk açılıyor. Havuzun \(\frac{3}{4}\)'ü kaç dakikada dolar?

Çözüm: Havuzun \(\frac{3}{4}\)'ü: \(2400 \cdot \frac{3}{4} = 1800\) litre
Süre: \(1800 \div 40 = 45\) dakika

Kontrol: Havuzun tamamı \(2400 \div 40 = 60\) dakikada dolar; \(\frac{3}{4}\)'ü \(60 \cdot \frac{3}{4} = 45\) dakika.
Cevap: 45 dakika

• Benzer soru: Litre cinsinden havuzun dörtte üçünün dolması

Örnek 5. Bir havuzun \(\frac{1}{3}\)'ü doludur. Boş havuzu A musluğu 9 saatte, B musluğu 18 saatte doldurabildiğine göre iki musluk birlikte açılırsa havuzun kalan kısmı kaç saatte dolar?

Çözüm: Doldurulacak kısım: \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)
Birlikte saatlik dolum: \(\frac{1}{9} + \frac{1}{18} = \frac{2}{18} + \frac{1}{18} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\)

Süre: \(\frac{2}{3} \div \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4\) saat

Kontrol: Boş havuz birlikte 6 saatte dolar; \(\frac{2}{3}\)'ü \(6 \cdot \frac{2}{3} = 4\) saatte dolar.
Cevap: 4 saat

• Benzer soru: Dörtte biri dolu havuzun tamamlanması

Örnek 6. A musluğu, B musluğunun 3 katı kadar su akıtmaktadır. İki musluk birlikte boş bir havuzu 6 saatte dolduruyor. B musluğu bu havuzu tek başına kaç saatte doldurur?

Çözüm: B saatte havuzun k kadarını doldursun; A saatte 3k doldurur.
Birlikte: \(3k + k = 4k = \frac{1}{6} \Rightarrow k = \frac{1}{24}\)

B saatte havuzun \(\frac{1}{24}\)'ünü doldurduğuna göre havuzu 24 saatte doldurur. (A ise \(3k = \frac{1}{8}\), yani 8 saatte doldurur.)

Kontrol: \(\frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{3}{24} + \frac{1}{24} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}\). 3 kat hızlı A'nın süresi B'nin süresinin \(\frac{1}{3}\)'ü: \(24 \div 3 = 8\).
Cevap: 24 saat

• Benzer soru: Diğerinin üç katı su akıtan musluk

Örnek 7. Boş bir havuzu A musluğu 10 saatte, B musluğu 15 saatte dolduruyor. İki musluk birlikte 3 saat açık kalıyor, sonra A kapatılıyor. Havuzun kalanını B kaç saatte doldurur?

Çözüm: Birlikte saatlik dolum: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{1}{6}\)
3 saatte dolan kısım: \(3 \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{2}\)
Kalan kısım: \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)

B'nin kalan kısmı doldurma süresi: \(\frac{1}{2} \div \frac{1}{15} = \frac{15}{2} = 7{,}5\) saat

Kontrol: A 3 saat açık kaldı: \(\frac{3}{10}\). B \(3 + 7{,}5 = 10{,}5\) saat açık kaldı: \(\frac{10{,}5}{15} = \frac{7}{10}\). Toplam \(\frac{3}{10} + \frac{7}{10} = 1\).
Cevap: 7,5 saat (7 saat 30 dakika)

• Benzer soru: A kapatıldıktan sonra B'nin tamamlaması

Örnek 8. 1400 litrelik boş bir havuza dakikada 30 litre ve 20 litre su akıtan iki musluk ile dakikada 15 litre su boşaltan bir gider aynı anda açılıyor. Havuz kaç dakikada dolar?

Çözüm: Dakikalık net akış: \(30 + 20 - 15 = 35\) litre
Süre: \(1400 \div 35 = 40\) dakika

Kontrol: 40 dakikada musluklar \(50 \cdot 40 = 2000\) litre akıtır, gider \(15 \cdot 40 = 600\) litre boşaltır; \(2000 - 600 = 1400\).
Cevap: 40 dakika

• Benzer soru: Akış hızlarından birlikte dolma süresi

Örnek 9. Boş bir havuzu A musluğu 6 saatte, B musluğu 9 saatte dolduruyor. A musluğu saatte B musluğundan 50 litre fazla su akıttığına göre havuz kaç litredir?

Çözüm: Havuzun hacmi V litre olsun. A saatte \(\frac{V}{6}\), B saatte \(\frac{V}{9}\) litre akıtır.
\(\frac{V}{6} - \frac{V}{9} = 50\)

Paydaları 18'de eşitleyelim:
\(\frac{3V - 2V}{18} = 50 \Rightarrow \frac{V}{18} = 50 \Rightarrow V = 900\)

Kontrol: A saatte \(900 \div 6 = 150\), B saatte \(900 \div 9 = 100\) litre akıtır; fark 50 litre.
Cevap: 900 litre

• Benzer soru: Akış farkından havuzun hacmi

Örnek 10. Boş bir havuzu A musluğu 4 saatte, B musluğu 6 saatte dolduruyor. Önce A musluğu 1 saat açılıp kapatılıyor, sonra B musluğu 1 saat açılıp kapatılıyor ve bu biçimde musluklar birer saat dönüşümlü açılıyor. Havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: Havuzu \(\text{EKOK}(4, 6) = 12\) birim alalım. A saatte 3, B saatte 2 birim doldurur.
Bir tur (2 saat): \(3 + 2 = 5\) birim

2 tur (4 saat) sonunda \(2 \cdot 5 = 10\) birim dolmuş, 2 birim kalmıştır.
5. saatte A açılır. A saatte 3 birim doldurduğu için 2 birimi \(\frac{2}{3}\) saatte doldurur.

Toplam süre: \(4 + \frac{2}{3}\) saat, yani 4 saat 40 dakika

Dikkat: Kalan 2 birim için 3 tur demek (6 saat) yanlış olur; havuz son tur bitmeden dolar.
Kontrol: A toplam \(2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) saat açık kaldı: \(3 \cdot \frac{8}{3} = 8\) birim. B 2 saat açık kaldı: 4 birim. \(8 + 4 = 12\).
Cevap: 4 saat 40 dakika

• Benzer soru: Birer saat dönüşümlü açılan iki musluk

Örnek 11. Boş bir havuzu A musluğu 10 saatte, B musluğu 15 saatte dolduruyor. Önce A açılıyor; bir süre sonra B de açılıyor ve havuz, A açıldıktan 7 saat sonra doluyor. B açıldıktan kaç saat sonra havuz dolmuştur?

Çözüm: A baştan sona 7 saat açık kaldı: \(\frac{7}{10}\)'unu doldurdu.
B'nin açık kaldığı süre x olsun: \(\frac{x}{15}\)

\(\frac{7}{10} + \frac{x}{15} = 1\)
\(\frac{x}{15} = \frac{3}{10}\)
\(x = \frac{45}{10} = 4{,}5\) saat

Yani B, A'dan \(7 - 4{,}5 = 2{,}5\) saat sonra açılmış ve havuz B açıldıktan 4 saat 30 dakika sonra dolmuştur.

Kontrol: \(\frac{7}{10} + \frac{4{,}5}{15} = \frac{7}{10} + \frac{3}{10} = 1\)
Cevap: 4,5 saat (4 saat 30 dakika)

• Benzer soru: Sonradan açılan musluktan sonra geçen dakika

Örnek 12. Bir havuzu A musluğu 6 saatte dolduruyor, B musluğu ise dolu havuzu 9 saatte boşaltıyor. Havuz boşken iki musluk birlikte açılıyor; 6 saat sonra B musluğu kapatılıyor. Havuz, musluklar açıldıktan toplam kaç saat sonra dolar?

Çözüm: İlk 6 saatte net dolum: \(\frac{1}{6} - \frac{1}{9} = \frac{3}{18} - \frac{2}{18} = \frac{1}{18}\) (saatte)
6 saatte dolan kısım: \(6 \cdot \frac{1}{18} = \frac{1}{3}\)
Kalan kısım: \(1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\)

B kapandıktan sonra yalnızca A çalışır: \(\frac{2}{3} \div \frac{1}{6} = 4\) saat
Toplam süre: \(6 + 4 = 10\) saat

Kontrol: A 10 saat açık kaldı: \(\frac{10}{6}\). B 6 saat açık kaldı: \(\frac{6}{9} = \frac{4}{6}\). Net: \(\frac{10}{6} - \frac{4}{6} = 1\).
Cevap: 10 saat

• Benzer soru: Boşaltma musluğu kapatılınca dolma süresi

Örnek 13. Bir havuzu A musluğu, B musluğundan 5 saat daha kısa sürede dolduruyor. İki musluk birlikte boş havuzu 6 saatte dolduruyor. A musluğu boş havuzu tek başına kaç saatte doldurur?

Çözüm: A'nın süresi x saat olsun; B'nin süresi \(x + 5\) saat olur.
\(\frac{1}{x} + \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{6}\)
\(\frac{2x + 5}{x(x + 5)} = \frac{1}{6}\)
\(6(2x + 5) = x^2 + 5x\)
\(x^2 - 7x - 30 = 0\)
\((x - 10)(x + 3) = 0\)

Süre negatif olamaz; \(x = 10\). A 10 saatte, B 15 saatte doldurur.

Kontrol: \(\frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{3}{30} + \frac{2}{30} = \frac{1}{6}\)
Cevap: 10 saat

• Benzer soru: Süre farkı ve birlikte süreden hızlı musluğun süresi

Örnek 14. Boş bir havuzu A ve B muslukları birlikte 6 saatte, A ve C muslukları birlikte 8 saatte, B ve C muslukları birlikte 12 saatte dolduruyor. Üç musluk birlikte açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: Havuzu \(\text{EKOK}(6, 8, 12) = 48\) birim alalım. Saatlik dolumlar:
A + B = \(48 \div 6 = 8\), A + C = \(48 \div 8 = 6\), B + C = \(48 \div 12 = 4\) birim

Üç eşitliği toplayalım: her musluk iki kez sayılır.
\(2(A + B + C) = 8 + 6 + 4 = 18 \Rightarrow A + B + C = 9\) birim (saatte)

Süre: \(48 \div 9 = \frac{16}{3}\) saat \(= 5\) saat 20 dakika

Kontrol: Tek tek A = \(9 - 4 = 5\), B = \(9 - 6 = 3\), C = \(9 - 8 = 1\) birim bulunur. \(5 + 3 = 8\), \(5 + 1 = 6\), \(3 + 1 = 4\); hepsi tutuyor.
Cevap: \(\frac{16}{3}\) saat (5 saat 20 dakika)

• Benzer soru: İkişer musluk sürelerinden üçünün birlikte süresi

Örnek 15. Bir havuzun yan yüzünde, yüksekliğin tam ortasında bir delik vardır. Musluk, delik kapalıyken boş havuzu 8 saatte dolduruyor. Su seviyesi deliğin üstündeyken delik, saatte havuzun \(\frac{1}{12}\)'si kadar su akıtıyor. Delik açıkken boş havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: Havuzu iki yarıya ayıralım.

Alt yarı: Su deliğe ulaşana kadar delikten su akmaz, yalnızca musluk çalışır.
\(\frac{1}{2} \div \frac{1}{8} = 4\) saat

Üst yarı: Musluk doldururken delik de boşaltır.
Net dolum: \(\frac{1}{8} - \frac{1}{12} = \frac{3}{24} - \frac{2}{24} = \frac{1}{24}\) (saatte)
\(\frac{1}{2} \div \frac{1}{24} = 12\) saat

Toplam: \(4 + 12 = 16\) saat

Dikkat: Deliği baştan itibaren çalışıyor saymak yanlıştır; o zaman \(1 \div \frac{1}{24} = 24\) saat bulunurdu.
Cevap: 16 saat

• Benzer soru: Ortasında delik olan havuzun dolması

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Havuz Problemleri soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Havuz Problemleri çözümlü testleri →