Hareket Problemleri Konu Anlatımı

Hareket problemleri nedir?

KPSS'de hareket problemleri; karşılaşan araçlar, birbirine yetişen araçlar, ortalama hız, akıntıdaki tekne, tünelden geçen tren ve dairesel pistte koşanlar gibi tiplerle gelir. Bütün bu soruların arkasında tek bir bağıntı vardır: yol = hız · zaman.

\[x = v \cdot t\]

\[v = \frac{x}{t}\]

\[t = \frac{x}{v}\]

Örnek: Saatte 80 km hızla giden bir araç 3 saatte \(80 \cdot 3 = 240\) km yol alır.
240 km'lik yolu saatte 60 km hızla giden araç \(240 \div 60 = 4\) saatte alır.

Temel kurallar ve formüller

Birim dönüşümleri

Soruda farklı birimler varsa önce hepsini aynı birime çevir. En sık karşılaşılan dönüşümler:

\[1 \text{ km/sa} = \frac{1000}{3600} \text{ m/sn} = \frac{5}{18} \text{ m/sn}\]

Karşılaşma (birbirine doğru hareket)

Aralarında x km bulunan iki araç birbirine doğru aynı anda hareket ederse aradaki uzaklık her saat \(v_1 + v_2\) kadar azalır. Hızlar toplanır.

\[t = \frac{x}{v_1 + v_2}\]

Örnek: Aralarında 300 km olan iki şehirden saatte 70 km ve 80 km hızla birbirine doğru çıkan araçlar \(300 \div (70 + 80) = 2\) saat sonra karşılaşır.

Aynı noktadan zıt yönlere giden araçlar da her saat \(v_1 + v_2\) kadar uzaklaşır. 50 km/sa ve 70 km/sa hızla zıt yönlere giden araçlar arasındaki uzaklık 3 saat sonra \((50 + 70) \cdot 3 = 360\) km olur.

Yetişme (aynı yönde hareket)

Aynı yönde giden iki araçtan hızlı olan, yavaş olana her saat \(v_1 - v_2\) kadar yaklaşır. Hızların farkı alınır.

\[t = \frac{x}{v_1 - v_2}\]

Örnek: Öndeki araç 40 km ileride ve 60 km/sa ile, arkadaki araç 80 km/sa ile gidiyor. Arkadaki araç her saat 20 km yaklaşır; \(40 \div 20 = 2\) saatte yetişir.

Ortalama hız

Ortalama hız, hızların ortalaması değildir; toplam yolun toplam zamana bölümüdür.

\[v_{ort} = \frac{\text{toplam yol}}{\text{toplam zaman}}\]

Yolun eşit iki parçası (örneğin gidiş ve dönüş) \(v_1\) ve \(v_2\) hızlarıyla gidiliyorsa kısayol kullanılabilir:

\[v_{ort} = \frac{2 \cdot v_1 \cdot v_2}{v_1 + v_2}\]

Örnek: Gidiş 40 km/sa, dönüş 60 km/sa ise ortalama hız 50 değil, \(\frac{2 \cdot 40 \cdot 60}{40 + 60} = \frac{4800}{100} = 48\) km/sa olur.

Akıntılı sularda hareket

Teknenin durgun sudaki hızı v, akıntının hızı a olsun.

• Akıntı yönünde (akıntıyla aynı yönde) hız: \(v + a\)
• Akıntıya karşı hız: \(v - a\)
• Motoru kapalı tekne akıntıyla sürüklenir; hızı a olur.

\[v = \frac{(v + a) + (v - a)}{2}\]

\[a = \frac{(v + a) - (v - a)}{2}\]

Tren, tünel ve köprü

Bir tren bir direğin önünden geçerken kendi boyu kadar yol alır. Bir tüneli veya köprüyü tamamen geçerken (lokomotif girdiği andan son vagon çıktığı ana kadar) tren boyu + tünel boyu kadar yol alır.

\[\text{Yol} = L_{\text{tren}} + L_{\text{tünel}}\]

Trenin tamamen tünelin içinde kaldığı süre sorulursa alınan yol \(L_{\text{tünel}} - L_{\text{tren}}\) olur.

Örnek: 180 m uzunluğundaki bir tren 54 km/sa hızla gidiyor. 54 km/sa = 15 m/sn olduğundan tren bir direğin önünden \(180 \div 15 = 12\) saniyede geçer.

Dairesel pist

Çevresi C olan pistte aynı noktadan aynı anda çıkan iki koşucu için:

• Zıt yönde koşuyorlarsa her karşılaşmada ikisinin aldığı yolların toplamı bir tur eder: \(t = \frac{C}{v_1 + v_2}\)
• Aynı yönde koşuyorlarsa hızlı olan, yavaş olanı her yakaladığında ondan bir tur fazla koşmuştur: \(t = \frac{C}{v_1 - v_2}\)

Uçlara varıp dönen araçlar

İki uçtan birbirine doğru çıkan araçlar, uçlara varıp geri dönmeye devam ederse:

• 1. karşılaşmaya kadar ikisinin toplam yolu x
• 2. karşılaşmaya kadar ikisinin toplam yolu 3x
• 3. karşılaşmaya kadar ikisinin toplam yolu 5x olur.

Akrep ve yelkovan

Yelkovan dakikada 6°, akrep dakikada 0,5° döner. Yelkovan akrebe her dakika 5,5° yaklaşır. Aradaki açı kapanacaksa (çakışma) süre, açının 5,5'e bölünmesiyle bulunur.

\[t = \frac{\text{açı}}{6 - 0{,}5} = \frac{\text{açı}}{5{,}5} \text{ dakika}\]

Soru tipleri ve yöntemler

1. Farklı saatlerde yola çıkma

Önce erken çıkan aracın tek başına aldığı yolu bul ve aradaki uzaklıktan düş (karşılaşmada) ya da aradaki mesafeye ekle (yetişmede). Sonra iki araç birlikte hareket ediyormuş gibi formülü uygula.

2. Hız değişince erken / geç varma

Yol aynıdır; değişen hız ve süredir. İki farklı hızla geçen süreleri x cinsinden yazıp aralarındaki farkı soruda verilen süre farkına eşitle.

3. Hız oranı ve yol oranı

Aynı sürede alınan yollar hızlarla doğru, aynı yolu alma süreleri hızlarla ters orantılıdır. Hızlar oranı 3 : 2 ise aynı sürede alınan yollar 3 : 2, aynı yolu alma süreleri 2 : 3 olur.

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Saatte 90 km sabit hızla giden bir otomobil 2 saat 40 dakikada kaç km yol alır?

Çözüm: Hız km/sa olduğu için süreyi saate çevirelim:
40 dakika \(= \frac{40}{60} = \frac{2}{3}\) saat, toplam süre \(2 + \frac{2}{3} = \frac{8}{3}\) saat

Yol: \(x = v \cdot t = 90 \cdot \frac{8}{3} = 240\) km

Kontrol: 2 saatte 180 km, 40 dakikada (saatin üçte ikisi) 60 km; toplam 240 km.
Cevap: 240 km

• Benzer soru: Sabit hızla giden otomobilin aldığı yol

Örnek 2. Saatte 18 km hızla giden bir bisikletli 1500 metrelik yolu kaç dakikada alır?

Çözüm: Cevap dakika istendiği için hızı m/dk'ya çevirelim:
\(18 \text{ km/sa} = \frac{18000 \text{ m}}{60 \text{ dk}} = 300\) m/dk

Süre: \(t = \frac{1500}{300} = 5\) dakika

Kontrol: 5 dakika saatin \(\frac{1}{12}\)'sidir; \(18 \cdot \frac{1}{12} = 1{,}5\) km = 1500 m.
Cevap: 5 dakika

• Benzer soru: Bisikletlinin kısa yolu dakika cinsinden alması

Örnek 3. Aralarında 420 km bulunan A ve B şehirlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. A'dan çıkan aracın hızı saatte 65 km, B'den çıkanın hızı saatte 75 km'dir. Araçlar karşılaştıkları noktada A şehrine kaç km uzaktadır?

Çözüm: Birbirine doğru gittikleri için hızlar toplanır: \(65 + 75 = 140\) km/sa
Karşılaşma süresi: \(t = \frac{420}{140} = 3\) saat

A'dan çıkan araç 3 saatte \(65 \cdot 3 = 195\) km yol alır. Karşılaşma noktası A'ya 195 km uzaktadır.

Kontrol: B'den çıkan araç \(75 \cdot 3 = 225\) km aldı; \(195 + 225 = 420\).
Cevap: 195 km

• Benzer soru: Karşılaşma noktasının şehirlerden birine uzaklığı

Örnek 4. Aralarında 480 km bulunan iki şehirden birinden saat 08.00'de saatte 60 km hızla bir araç, diğerinden saat 09.00'da saatte 80 km hızla başka bir araç birbirine doğru yola çıkıyor. Araçlar saat kaçta karşılaşır?

Çözüm: 08.00–09.00 arasında yalnızca birinci araç gider: 60 km.
Saat 09.00'da aradaki uzaklık: \(480 - 60 = 420\) km

Bundan sonra ikisi birlikte hareket eder; hızlar toplanır: \(60 + 80 = 140\) km/sa
Karşılaşma süresi: \(420 \div 140 = 3\) saat

Karşılaşma saati: \(09.00 + 3 \text{ saat} = 12.00\)

Kontrol: Birinci araç 4 saatte 240 km, ikinci araç 3 saatte 240 km aldı; \(240 + 240 = 480\).
Cevap: 12.00

• Benzer soru: Farklı saatlerde yola çıkan araçların karşılaşması

Örnek 5. Bir kamyon saatte 60 km hızla bir depodan yola çıkıyor. 2 saat sonra aynı depodan aynı yöne saatte 90 km hızla bir otomobil çıkıyor. Otomobil kamyona kaç saatte yetişir ve yetiştiği nokta depodan kaç km uzaktadır?

Çözüm: Otomobil yola çıktığında kamyon \(60 \cdot 2 = 120\) km öndedir.
Aynı yönde gittikleri için hızların farkı alınır: \(90 - 60 = 30\) km/sa
Yetişme süresi: \(t = \frac{120}{30} = 4\) saat

Otomobil 4 saatte \(90 \cdot 4 = 360\) km gider.

Kontrol: Kamyon toplam \(2 + 4 = 6\) saatte \(60 \cdot 6 = 360\) km gitti; ikisi aynı noktada.
Cevap: 4 saatte yetişir; depodan 360 km uzakta

• Benzer soru: Sonradan çıkan hızlı aracın yetişme süresi

Örnek 6. Bir sürücü iki şehir arasındaki yolu saatte 60 km hızla gidip saatte 90 km hızla dönüyor. Sürücünün gidiş-dönüş boyunca ortalama hızı saatte kaç km'dir?

Çözüm: Gidiş ve dönüş yolları eşit olduğu için kısayol kullanılabilir:
\(v_{ort} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 90}{60 + 90} = \frac{10800}{150} = 72\) km/sa

Sayı vererek kontrol edelim: Yol 180 km olsun. Gidiş \(180 \div 60 = 3\) saat, dönüş \(180 \div 90 = 2\) saat.
Toplam yol 360 km, toplam süre 5 saat; ortalama \(360 \div 5 = 72\) km/sa.

Dikkat: \(\frac{60 + 90}{2} = 75\) yazmak yanlıştır; yavaş gidilen kısımda daha çok zaman geçer.
Cevap: 72 km/sa

• Benzer soru: Gidişte ve dönüşte farklı hız, ortalama hız

Örnek 7. Durgun sudaki hızı saatte 20 km olan bir tekne, akıntı hızının saatte 4 km olduğu bir nehirde 96 km'lik yolu önce akıntı yönünde gidip sonra akıntıya karşı geri dönüyor. Gidiş-dönüş toplam kaç saat sürer?

Çözüm: Akıntı yönünde hız: \(20 + 4 = 24\) km/sa → gidiş süresi \(96 \div 24 = 4\) saat
Akıntıya karşı hız: \(20 - 4 = 16\) km/sa → dönüş süresi \(96 \div 16 = 6\) saat

Toplam süre: \(4 + 6 = 10\) saat

Kontrol: Akıntıya karşı gidiş daha uzun sürmeli; 6 saat, 4 saatten uzun.
Cevap: 10 saat

• Benzer soru: Gidiş-dönüşü 12 saat süren tekne

Örnek 8. Çevresi 400 m olan dairesel bir pistte iki koşucu aynı noktadan aynı anda, zıt yönlerde koşmaya başlıyor. Koşuculardan birinin hızı saniyede 3 m, diğerininki saniyede 5 m'dir. Koşucular ilk 6 dakika içinde kaç kez karşılaşır?

Çözüm: Zıt yönde koştukları için her karşılaşmada toplam bir tur (400 m) koşmuş olurlar.
Hızlar toplamı: \(3 + 5 = 8\) m/sn
İki karşılaşma arasındaki süre: \(400 \div 8 = 50\) saniye

6 dakika = 360 saniye
Karşılaşma anları: 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350. saniyeler. Bir sonraki karşılaşma 400. saniyede olur, bu 360'tan büyüktür.
Karşılaşma sayısı: \(360 \div 50 = 7{,}2\) olduğundan tam kısmı 7'dir.

Kontrol: 350. saniyede koşucular toplam \(8 \cdot 350 = 2800\) m, yani tam 7 tur koşmuştur.
Cevap: 7 kez

• Benzer soru: On dakikada pistte kaç kez karşılaşılır

Örnek 9. Sabit hızla giden bir tren, yol kenarındaki bir direğin önünden 12 saniyede, 360 m uzunluğundaki bir köprüyü ise 30 saniyede tamamen geçiyor. Trenin uzunluğu kaç metredir ve hızı saatte kaç km'dir?

Çözüm: Trenin uzunluğu L, hızı v m/sn olsun.
Direği geçerken yalnızca kendi boyu kadar yol alır: \(L = 12v\)
Köprüyü tamamen geçerken köprü + kendi boyu kadar yol alır: \(L + 360 = 30v\)

İkinci denklemden birinciyi çıkaralım:
\(360 = 18v \Rightarrow v = 20\) m/sn
\(L = 12 \cdot 20 = 240\) m

Hızı km/sa'e çevirelim: \(20 \cdot \frac{18}{5} = 72\) km/sa

Kontrol: Köprüyü geçerken alınan yol \(240 + 360 = 600\) m, süre \(600 \div 20 = 30\) sn.
Cevap: Tren 240 m uzunluğunda; hızı 72 km/sa

• Benzer soru: İki köprüyü geçiş sürelerinden trenin uzunluğu

Örnek 10. Bir araç bir yolun ilk yarısını saatte 60 km hızla gidiyor. Yolun tamamındaki ortalama hızının saatte 80 km olması için ikinci yarısını saatte kaç km hızla gitmelidir?

Çözüm: Yolun iki yarısı eşit uzunlukta olduğu için eşit yol formülü kullanılabilir. İkinci yarıdaki hız v olsun:
\(\frac{2 \cdot 60 \cdot v}{60 + v} = 80\)
\(120v = 80(60 + v)\)
\(120v = 4800 + 80v\)
\(40v = 4800 \Rightarrow v = 120\)

Kontrol: Yol 240 km olsun. İlk yarı 120 km, \(120 \div 60 = 2\) saat; ikinci yarı 120 km, \(120 \div 120 = 1\) saat. Ortalama \(240 \div 3 = 80\) km/sa.
Cevap: 120 km/sa

• Benzer soru: Ortalama hızın 72 olması için yolun ikinci yarısındaki hız

Örnek 11. Bir motorlu tekne 72 km'lik yolu akıntı yönünde 3 saatte, akıntıya karşı 4 saatte alıyor. Bu teknenin motoru kapatılırsa akıntıyla sürüklenerek aynı 72 km'yi kaç saatte alır?

Çözüm: Akıntı yönünde hız: \(v + a = 72 \div 3 = 24\) km/sa
Akıntıya karşı hız: \(v - a = 72 \div 4 = 18\) km/sa

İki denklemi taraf tarafa çıkaralım: \(2a = 6 \Rightarrow a = 3\) km/sa
(Toplarsak \(2v = 42\), teknenin durgun sudaki hızı \(v = 21\) km/sa bulunur.)

Motoru kapalı tekne akıntı hızıyla sürüklenir: \(72 \div 3 = 24\) saat

Kontrol: \(21 + 3 = 24\) ve \(21 - 3 = 18\); ikisi de verilen hızlarla uyumlu.
Cevap: 24 saat

• Benzer soru: Motoru kapalı teknenin akıntıyla sürüklenme süresi

Örnek 12. Bir sürücü iki şehir arasındaki yolu saatte 60 km hızla giderse planladığı saatten 1 saat geç, saatte 90 km hızla giderse 1 saat erken varıyor. İki şehir arası kaç km'dir?

Çözüm: Yol x km olsun. 60 km/sa ile süre \(\frac{x}{60}\), 90 km/sa ile süre \(\frac{x}{90}\) saattir.
Biri planlanandan 1 saat fazla, diğeri 1 saat az olduğu için aralarındaki fark 2 saattir:
\(\frac{x}{60} - \frac{x}{90} = 2\)

Paydaları 180'de eşitleyelim:
\(\frac{3x - 2x}{180} = 2 \Rightarrow x = 360\)

Kontrol: \(360 \div 60 = 6\) saat (planlanan 5 saatten 1 fazla), \(360 \div 90 = 4\) saat (5 saatten 1 az). Planlanan süre her iki durumda da 5 saat çıkıyor.
Cevap: 360 km

• Benzer soru: Hıza göre geç ve erken varış

Örnek 13. Aralarında 300 km bulunan A ve B şehirlerinden saatte 40 km ve 60 km hızla iki araç aynı anda birbirine doğru çıkıyor. Araçlar karşı şehre varınca hiç beklemeden geri dönüyor. İkinci karşılaşma kaçıncı saatte olur ve bu karşılaşma B şehrine kaç km uzaktadır?

Çözüm: İkinci karşılaşmaya kadar iki aracın aldığı toplam yol yolun 3 katıdır: \(3 \cdot 300 = 900\) km
Hızlar toplamı: \(40 + 60 = 100\) km/sa
İkinci karşılaşma süresi: \(900 \div 100 = 9\) saat

A'dan çıkan araç 9 saatte \(40 \cdot 9 = 360\) km gider: 300 km ile B'ye varır, sonra 60 km geri döner. Karşılaşma noktası B'ye 60 km uzaktadır.

Kontrol: B'den çıkan araç \(60 \cdot 9 = 540\) km gider: 300 km ile A'ya varır, 240 km geri döner; A'dan 240 km, yani B'den \(300 - 240 = 60\) km uzaktadır.
Cevap: 9. saatte; B şehrine 60 km uzakta

• Benzer soru: Uçlara varıp dönen araçların ikinci karşılaşması

Örnek 14. A ve B şehirlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru sabit hızlarla yola çıkıyor. Karşılaştıktan sonra A'dan çıkan araç 4 saatte B'ye, B'den çıkan araç 9 saatte A'ya varıyor. Araçlar yola çıktıktan kaç saat sonra karşılaşmıştır? A'dan çıkan aracın hızı saatte 60 km ise iki şehir arası kaç km'dir?

Çözüm: Karşılaşma süresi t, hızlar \(v_A\) ve \(v_B\) olsun.
Karşılaşmadan sonra A'dan çıkan aracın gittiği yolu, B'den çıkan araç karşılaşmaya kadar gitmişti:
\(v_A \cdot 4 = v_B \cdot t\)
Benzer şekilde: \(v_B \cdot 9 = v_A \cdot t\)

İki eşitliği taraf tarafa çarpalım:
\(v_A \cdot v_B \cdot 36 = v_A \cdot v_B \cdot t^2 \Rightarrow t^2 = 36 \Rightarrow t = 6\) saat

Hız oranı: \(v_A \cdot 6 = v_B \cdot 9 \Rightarrow \frac{v_A}{v_B} = \frac{3}{2}\). \(v_A = 60\) ise \(v_B = 40\) km/sa.
Yol: A'dan çıkan araç toplam \(6 + 4 = 10\) saat yol aldı: \(60 \cdot 10 = 600\) km

Kontrol: B'den çıkan araç toplam \(6 + 9 = 15\) saatte \(40 \cdot 15 = 600\) km gider. Karşılaşmada A'nın aracı 360 km, B'nin aracı 240 km almıştır; \(360 + 240 = 600\).
Cevap: 6 saat sonra; iki şehir arası 600 km

• Benzer soru: Karşılaştıktan sonra varış sürelerinden karşılaşma

Örnek 15. Saat 2 ile 3 arasında akrep ile yelkovan saat 2'yi kaç dakika geçe üst üste gelir?

Çözüm: Saat tam 2.00'de yelkovan 12'nin, akrep 2'nin üzerindedir. Aralarındaki açı \(2 \cdot 30 = 60\) derecedir (iki rakam arası 30°).

Yelkovan dakikada 6°, akrep 0,5° döner; yelkovan akrebe dakikada \(6 - 0{,}5 = 5{,}5\) derece yaklaşır.
Açının kapanma süresi: \(t = \frac{60}{5{,}5} = \frac{120}{11} = 10\frac{10}{11}\) dakika

Kontrol: \(\frac{120}{11}\) dakikada yelkovan \(6 \cdot \frac{120}{11} = \frac{720}{11}\) derece, akrep \(60 + 0{,}5 \cdot \frac{120}{11} = \frac{720}{11}\) derece konumundadır; ikisi aynı yerde.
Cevap: \(\frac{120}{11}\) dakika, yani 2'yi \(10\frac{10}{11}\) dakika geçe

• Benzer soru: Saat 4 ile 5 arasında akrep ve yelkovanın çakışması

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Hareket Problemleri soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Hareket Problemleri çözümlü testleri →