Denklemler Konu Anlatımı

Denklem nedir?

KPSS matematiğinde denklemler, hemen hemen her konunun içinde kullanılan temel araçtır. Problemlerin büyük kısmı "bilinmeyene harf ver, denklemi kur, çöz" mantığıyla çözülür. Bu yüzden denklem kurma ve çözme hızın doğrudan sınav puanına yansır.

Örnek: \(4x - 5 = 11\) denkleminde \(x = 4\) yazılırsa \(16 - 5 = 11\) olur, eşitlik doğrudur. O hâlde 4 bu denklemin köküdür ve Ç.K. = {4} olur.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler

\(a\) ve \(b\) gerçek sayı olmak üzere \(ax + b = 0\) biçimindeki denklemlere birinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Çözerken iki temel kural kullanılır:

• Eşitliğin iki tarafına aynı sayı eklenebilir veya iki taraftan aynı sayı çıkarılabilir (terim karşıya geçerken işaret değiştirir).
• Eşitliğin iki tarafı sıfırdan farklı aynı sayıyla çarpılabilir veya bölünebilir.

\[ax + b = 0 \quad (a \neq 0) \Rightarrow x = -\frac{b}{a}\]

Çözüm adımları

1. Parantez varsa dağıtarak aç.
2. Paydalı terim varsa paydaların EKOK'u ile bütün terimleri çarparak paydalardan kurtul.
3. Bilinmeyenli terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa topla.
4. Bilinmeyenin katsayısına bölerek kökü bul.
5. Bulduğun değeri ilk denklemde yerine yazarak kontrol et.

Çözüm kümesinin üç durumu

Denklem düzenlenip \(ax = b\) biçimine getirildiğinde üç durum vardır:

Örnek: \(2x + 3 = 2x + 3\) denkleminde \(0 \cdot x = 0\) olur; Ç.K. = \(\mathbb{R}\).
\(2x + 3 = 2x + 5\) denkleminde \(0 \cdot x = 2\) olur; Ç.K. = \(\emptyset\).

Parametreli sorularda ("m'nin hangi değeri için çözüm kümesi boştur?") önce bütün bilinmeyenli terimler bir tarafa toplanır, \(x\) parantezine alınır ve yukarıdaki koşullar uygulanır.

Kesirli denklemler

Paydasında bilinmeyen bulunan denklemlerde iki kural önemlidir:

• Paydayı sıfır yapan değerler hiçbir zaman çözüm olamaz. Bu değerler en başta not edilir.
• Paydalar eşitlenip içler–dışlar çarpımı yapıldıktan sonra bulunan kök, paydayı sıfır yapıyorsa elenir.

\[\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c \quad (b \neq 0, \ d \neq 0)\]

İki bilinmeyenli denklem sistemleri

İki bilinmeyen için genellikle iki denklem gerekir. KPSS'de en çok kullanılan iki yöntem vardır.

1. yol: Yok etme (toplama–çıkarma) yöntemi

Denklemlerden biri ya da ikisi uygun sayılarla çarpılarak bir bilinmeyenin katsayıları zıt işaretli yapılır, sonra denklemler taraf tarafa toplanır. Böylece o bilinmeyen yok olur.

Örnek: \(x + y = 10\) ve \(x - y = 4\) denklemleri taraf tarafa toplanırsa \(2x = 14\), yani \(x = 7\) bulunur. Buradan \(y = 3\) olur.

2. yol: Yerine koyma yöntemi

Denklemlerden birinde bir bilinmeyen yalnız bırakılır (ör. \(y = 2x - 1\)) ve diğer denklemde yerine yazılır. Katsayısı 1 olan bir bilinmeyen varsa bu yöntem çok hızlıdır.

Sistemin çözüm durumları

\[ax + by = c\]

\[dx + ey = f\]

Değişken değiştirme

\(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2\) gibi bilinmeyenlerin paydada olduğu sistemlerde \(a = \frac{1}{x}\), \(b = \frac{1}{y}\) yazılırsa sistem sıradan bir doğrusal sisteme dönüşür. Sonunda \(x = \frac{1}{a}\) ile asıl bilinmeyene dönmeyi unutma.

Sözel ifadeden denklem kurma

Problemlerde neyin bilinmeyen olacağına iyi karar ver. Genellikle sorulan şeye ya da en küçük parçaya harf vermek denklemi kısaltır. Denklemi kurduktan sonra bulduğun değerin problemdeki şartları (pozitif olma, tam sayı olma vb.) sağladığını kontrol et.

Tam sayı çözümleri

\(ax + by = c\) denkleminin pozitif tam sayı çözümleri sorulduğunda, katsayısı büyük olan bilinmeyene 1'den başlayarak değer verilir ve diğer bilinmeyenin tam sayı çıkıp çıkmadığına bakılır. Bir çözüm bulunduktan sonra öteki çözümler düzenli adımlarla gelir: \(x\) değeri \(b\) kadar, \(y\) değeri \(a\) kadar değişir (a ile b aralarında asal ise).

Çözümlü örnekler

Örnek 1. \(3(x - 2) - 2(x + 1) = 4 - x\) denkleminin kökü kaçtır?

Çözüm: Önce parantezleri dağıtalım:
\(3x - 6 - 2x - 2 = 4 - x\)

Sol taraftaki benzer terimleri toplayalım:
\(x - 8 = 4 - x\)

Bilinmeyenleri sola, sabitleri sağa toplayalım:
\(x + x = 4 + 8 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6\)

Kontrol: Sol taraf \(3 \cdot 4 - 2 \cdot 7 = 12 - 14 = -2\), sağ taraf \(4 - 6 = -2\). Eşitlik sağlanıyor.
Cevap: 6

• Benzer soru: Parantezli birinci dereceden denklem

Örnek 2. \(\frac{x + 1}{3} - \frac{x - 2}{4} = 2\) denklemini sağlayan x değeri kaçtır?

Çözüm: Paydaların EKOK'u 12'dir. Her terimi 12 ile çarpalım (sağdaki 2 de çarpılır):
\(4(x + 1) - 3(x - 2) = 24\)

Parantezleri açarken ikinci kesrin önündeki eksiye dikkat edelim:
\(4x + 4 - 3x + 6 = 24\)
\(x + 10 = 24 \Rightarrow x = 14\)

Kontrol: \(\frac{15}{3} - \frac{12}{4} = 5 - 3 = 2\)
Cevap: 14

• Benzer soru: Payları iki terimli kesirli denklem

Örnek 3. \(2x + a = 3(a - x) + 4\) denkleminin kökü 2 olduğuna göre a kaçtır?

Çözüm: Kök 2 ise \(x = 2\) denklemi sağlar. x yerine 2 yazalım:
\(2 \cdot 2 + a = 3(a - 2) + 4\)
\(4 + a = 3a - 6 + 4\)
\(4 + a = 3a - 2\)

a'lı terimleri bir tarafa toplayalım:
\(4 + 2 = 3a - a \Rightarrow 2a = 6 \Rightarrow a = 3\)

Kontrol: \(a = 3\) için denklem \(2x + 3 = 3(3 - x) + 4\), yani \(2x + 3 = 13 - 3x\) olur; \(5x = 10\), \(x = 2\). Doğru.
Cevap: 3

• Benzer soru: Kökü verilen denklemde katsayıyı bulma

Örnek 4. \((m - 2)x + 3 = 4x + m - 1\) denkleminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre m kaçtır?

Çözüm: Bilinmeyenli terimleri sola, sabitleri sağa toplayıp \(ax = b\) biçimine getirelim:
\((m - 2)x - 4x = m - 1 - 3\)
\((m - 6)x = m - 4\)

Çözüm kümesinin boş olması için x'in katsayısı 0, sağ taraf 0'dan farklı olmalıdır:
\(m - 6 = 0 \Rightarrow m = 6\)
\(m - 4 = 6 - 4 = 2 \neq 0\) (koşul sağlanıyor)

Kontrol: \(m = 6\) için denklem \(4x + 3 = 4x + 5\) olur; bu da \(3 = 5\) gibi hiçbir zaman doğru olmayan bir eşitliğe dönüşür.
Cevap: 6

• Benzer soru: Çözüm kümesi boş olan parametreli denklem

Örnek 5. \(3x + 2y = 18\) ve \(5x - 2y = 14\) olduğuna göre \(\frac{x}{y}\) oranı kaçtır?

Çözüm: y'lerin katsayıları zıt işaretli olduğu için denklemleri taraf tarafa toplayalım (yok etme yöntemi):
\(3x + 5x + 2y - 2y = 18 + 14\)
\(8x = 32 \Rightarrow x = 4\)

Birinci denklemde yerine yazalım:
\(3 \cdot 4 + 2y = 18 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3\)

Oran: \(\frac{x}{y} = \frac{4}{3}\)

Kontrol: İkinci denklem \(5 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 20 - 6 = 14\). Doğru.
Cevap: 4/3

• Benzer soru: Toplama ve çıkarmayla çözülen sistemde oran

Örnek 6. Bir otoparkta yalnızca otomobil ve motosiklet bulunmaktadır. Otoparktaki araç sayısı 25, bu araçların toplam tekerlek sayısı 76'dır. Otoparkta kaç otomobil vardır?

Çözüm: Otomobil sayısına o, motosiklet sayısına m diyelim. Otomobilin 4, motosikletin 2 tekerleği vardır.
\(o + m = 25\)
\(4o + 2m = 76\)

Birinci denklemi 2 ile çarpıp ikinciden çıkaralım:
\(4o + 2m - (2o + 2m) = 76 - 50\)
\(2o = 26 \Rightarrow o = 13\)

Motosiklet sayısı \(m = 25 - 13 = 12\) olur.
Kontrol: \(13 \cdot 4 + 12 \cdot 2 = 52 + 24 = 76\). Doğru.
Cevap: 13

• Benzer soru: Araç ve tekerlek sayısından denklem sistemi

Örnek 7. Bir sınıftaki öğrenciler sıralara ikişer oturursa 5 öğrenci ayakta kalıyor; üçer oturursa 4 sıra tamamen boş kalıyor. Bu sınıfta kaç öğrenci vardır?

Çözüm: İki durumda da değişmeyen şey sıra sayısıdır. Sıra sayısına s diyelim ve öğrenci sayısını iki farklı yoldan yazalım:

• İkişer oturunca: öğrenci sayısı \(2s + 5\)
• Üçer oturunca 4 sıra boş kalıyor, yani \(s - 4\) sıra dolu: öğrenci sayısı \(3(s - 4)\)

Öğrenci sayısı aynı olduğu için:
\(2s + 5 = 3(s - 4)\)
\(2s + 5 = 3s - 12 \Rightarrow s = 17\)

Öğrenci sayısı: \(2 \cdot 17 + 5 = 39\)
Kontrol: \(3 \cdot (17 - 4) = 3 \cdot 13 = 39\). Doğru.
Cevap: 39

• Benzer soru: Sıralara oturan öğrenci sayısı

Örnek 8. \(ax + 6y = 4\) ve \(2x + 3y = b\) denklem sisteminin sonsuz çözümü olduğuna göre \(a + b\) toplamı kaçtır?

Çözüm: Sonsuz çözüm için katsayıların ve sabit terimlerin oranları eşit olmalıdır:
\(\frac{a}{2} = \frac{6}{3} = \frac{4}{b}\)

Ortadaki oran \(\frac{6}{3} = 2\) olduğundan:
\(\frac{a}{2} = 2 \Rightarrow a = 4\)
\(\frac{4}{b} = 2 \Rightarrow b = 2\)

\(a + b = 4 + 2 = 6\)

Kontrol: \(a = 4\), \(b = 2\) için ilk denklem \(4x + 6y = 4\), ikinci denklemin 2 katı olan \(4x + 6y = 4\) ile aynıdır; iki denklem aynı doğruyu gösterir.
Cevap: 6

• Benzer soru: Sonsuz çözümlü sistemde katsayılar

Örnek 9. \(\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2\) ve \(\frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 1\) olduğuna göre \(x + y\) toplamı kaçtır?

Çözüm: Değişken değiştirelim: \(a = \frac{1}{x}\), \(b = \frac{1}{y}\). Sistem şu hâle gelir:
\(2a + 3b = 2\)
\(4a - 3b = 1\)

Taraf tarafa toplayalım:
\(6a = 3 \Rightarrow a = \frac{1}{2}\)

Birinci denklemde yerine yazalım:
\(1 + 3b = 2 \Rightarrow b = \frac{1}{3}\)

Asıl bilinmeyenlere dönelim: \(x = \frac{1}{a} = 2\), \(y = \frac{1}{b} = 3\)
\(x + y = 5\)

Kontrol: \(\frac{2}{2} + \frac{3}{3} = 2\) ve \(\frac{4}{2} - \frac{3}{3} = 1\). İkisi de doğru.
Cevap: 5

• Benzer soru: Terslerle kurulan denklem sistemi

Örnek 10. 40 soruluk bir sınavda her doğru cevap 4 puan kazandırıyor, her yanlış cevap 1 puan götürüyor. Bütün soruları cevaplayan bir öğrenci 110 puan aldığına göre kaç soruyu yanlış cevaplamıştır?

Çözüm: Doğru sayısına d, yanlış sayısına y diyelim. Bütün sorular cevaplandığı için:
\(d + y = 40\)
Puan denklemi:
\(4d - y = 110\)

İki denklemi taraf tarafa toplayalım:
\(5d = 150 \Rightarrow d = 30\)
\(y = 40 - 30 = 10\)

Kontrol: \(30 \cdot 4 - 10 \cdot 1 = 120 - 10 = 110\). Doğru.
Cevap: 10

• Benzer soru: Yanlışların puan götürdüğü sınavda yanlış sayısı

Örnek 11. x ve y pozitif tam sayılar olmak üzere \(3x + 5y = 47\) denklemini sağlayan kaç farklı (x, y) ikilisi vardır?

Çözüm: Katsayısı büyük olan y'ye değer verelim. x pozitif olacağı için \(5y\) değeri 47'den küçük olmalı ve \(47 - 5y\) sayısı 3'e tam bölünmelidir:

• \(y = 1\): \(47 - 5 = 42\), \(x = 14\) ✓
• \(y = 2\): \(47 - 10 = 37\), 3'e bölünmez
• \(y = 3\): \(47 - 15 = 32\), 3'e bölünmez
• \(y = 4\): \(47 - 20 = 27\), \(x = 9\) ✓
• \(y = 7\): \(47 - 35 = 12\), \(x = 4\) ✓
• \(y = 10\): \(47 - 50 = -3\), x negatif olur, durulur.

Çözümler düzenli ilerliyor: y her seferinde 3 artarken x 5 azalıyor. Çözüm ikilileri (14, 1), (9, 4) ve (4, 7)'dir.
Kontrol: \(3 \cdot 4 + 5 \cdot 7 = 12 + 35 = 47\)
Cevap: 3

• Benzer soru: Pozitif tam sayı çözümleri sayma

Örnek 12. \(x + y = 7\), \(y + z = 9\) ve \(x + z = 10\) olduğuna göre \(x \cdot y \cdot z\) çarpımı kaçtır?

Çözüm: Üç denklemi taraf tarafa toplayalım:
\(2x + 2y + 2z = 26 \Rightarrow x + y + z = 13\)

Şimdi toplamdan her ikili toplamı çıkararak tek tek bilinmeyenleri bulalım:
\(z = 13 - (x + y) = 13 - 7 = 6\)
\(x = 13 - (y + z) = 13 - 9 = 4\)
\(y = 13 - (x + z) = 13 - 10 = 3\)

Çarpım: \(4 \cdot 3 \cdot 6 = 72\)
Kontrol: \(4 + 3 = 7\), \(3 + 6 = 9\), \(4 + 6 = 10\). Hepsi doğru.
Cevap: 72

• Benzer soru: İkişer toplamları verilen üç sayının çarpımı

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Denklemler soruları (sitemizde tüm sorular)

Kendini dene: Denklemler çözümlü testleri →