KPSS Üslü Sayılar Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(9^{x} + 27 = 12 \cdot 3^{x}\) eşitliğini sağlayan \(x\) değerlerinin çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(9^{x} + 27 = 12 \cdot 3^{x}\)
Ne soruluyor?
Çözümlerin çarpımı.
Çözüm
- \(3^{x} = t\) dersek \(9^{x} = t^{2}\): \(t^{2} - 12t + 27 = 0\)
→ Değişken değiştirme. - \((t - 3)(t - 9) = 0\) → \(t = 3\) ya da \(t = 9\)
→ Çarpanlara ayırma. - \(3^{x} = 3\) → \(x = 1\); \(3^{x} = 9\) → \(x = 2\)
→ Geri dönüş. - Çarpım \(1 \cdot 2 = 2\)
→ Sonuç \(2\).
Kontrol
\(x = 2\): \(81 + 27 = 108 = 12 \cdot 9\) ✓; \(x = 1\): \(9 + 27 = 36 = 12 \cdot 3\) ✓
Sık yapılan hata
\(t\) değerlerinin çarpımını (\(27\)) cevap sanmak; soru \(x\) değerlerini istiyor.
-
\(3^{23} + 7^{42}\) toplamının birler basamağındaki rakam kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(3^{23} + 7^{42}\)
Ne soruluyor?
Toplamın birler basamağı.
Çözüm
- \(3\)'ün kuvvetleri: \(3, 9, 7, 1\); \(23 = 4 \cdot 5 + 3\) → \(3^{23}\) \(7\) ile biter
→ Dörtlü devir. - \(7\)'nin kuvvetleri: \(7, 9, 3, 1\); \(42 = 4 \cdot 10 + 2\) → \(7^{42}\) \(9\) ile biter
→ Dörtlü devir. - \(7 + 9 = 16\) → birler basamağı \(6\)
→ Yalnızca birler basamakları toplanır.
Kontrol
\(3^{3} = 27\) (birler \(7\)), \(7^{2} = 49\) (birler \(9\)) ✓
Sık yapılan hata
Kalanları karıştırıp iki devirde de aynı sırayı kullanmak (\(3^{23}\)'ü \(3\) ile biter sanmak) ve \(3 + 9 = 12\) → \(2\) bulmak.
-
\(\dfrac{2^{20} + 2^{18}}{2^{19} - 2^{17}}\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{2^{20} + 2^{18}}{2^{19} - 2^{17}}\)
Ne soruluyor?
Kesrin değeri.
Çözüm
- Pay: \(2^{18}(2^{2} + 1) = 5 \cdot 2^{18}\)
→ En küçük kuvvet ortak çarpan olarak alınır. - Payda: \(2^{17}(2^{2} - 1) = 3 \cdot 2^{17}\)
→ Aynı yöntem. - \(\dfrac{5 \cdot 2^{18}}{3 \cdot 2^{17}} = \dfrac{5 \cdot 2}{3} = \dfrac{10}{3}\)
→ \(2^{18} \div 2^{17} = 2\).
Kontrol
\(\dfrac{1310720}{393216} = \dfrac{10}{3}\) ✓
Sık yapılan hata
\(2^{18}\) ile \(2^{17}\)'yi aynı sanıp \(\dfrac{5}{3}\) bulmak.
-
Üsleri negatif olan \(a = 2^{-45}\), \(b = 3^{-30}\), \(c = 5^{-15}\) sayıları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = 2^{-45}\), \(b = 3^{-30}\), \(c = 5^{-15}\)
Ne soruluyor?
Küçükten büyüğe sıralama.
Çözüm
- Üsleri \(-15\)'te eşitleyelim: \(a = (2^{3})^{-15} = 8^{-15}\), \(b = (3^{2})^{-15} = 9^{-15}\), \(c = 5^{-15}\)
→ Ortak üs. - \(a = \dfrac{1}{8^{15}}\), \(b = \dfrac{1}{9^{15}}\), \(c = \dfrac{1}{5^{15}}\): payda büyüdükçe kesir küçülür
→ Negatif üs sıralamayı tersine çevirir. - \(9^{15} \gt 8^{15} \gt 5^{15}\) olduğundan sıralama \(b \lt a \lt c\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(2^{-45} \approx 2{,}8 \cdot 10^{-14}\), \(3^{-30} \approx 4{,}9 \cdot 10^{-15}\), \(5^{-15} \approx 3{,}3 \cdot 10^{-11}\) ✓
Sık yapılan hata
Ortak üsse getirdikten sonra tabanı büyük olanı büyük sanıp \(c \lt a \lt b\) demek; üs negatif olduğu için sıra tersine döner.
-
\(2^{x} = a\) ve \(3^{x} = b\) olduğuna göre \(\dfrac{12^{x} + 18^{x}}{6^{x}}\) ifadesinin \(a\) ve \(b\) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2^{x} = a\)
- \(3^{x} = b\)
Ne soruluyor?
\(\dfrac{12^{x} + 18^{x}}{6^{x}}\) ifadesinin \(a\), \(b\) türünden yazılışı.
Çözüm
- \(12^{x} = (2^{2} \cdot 3)^{x} = a^{2}b\), \(18^{x} = (2 \cdot 3^{2})^{x} = ab^{2}\)
→ Tabanlar asal çarpanlarına ayrılır. - \(6^{x} = (2 \cdot 3)^{x} = ab\)
→ Aynı yöntem. - \(\dfrac{a^{2}b + ab^{2}}{ab} = \dfrac{ab(a + b)}{ab} = a + b\)
→ \(ab\) ortak çarpanı sadeleşir.
Kontrol
\(x = 1\): \(\dfrac{12 + 18}{6} = 5\) ve \(a + b = 2 + 3 = 5\) ✓
Sık yapılan hata
Payı \(a^{2}b + ab^{2}\) bulup paydaya bölmeyi unutmak.
-
\(2^{x + 1} \cdot 3^{x - 1} = 24\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2^{x + 1} \cdot 3^{x - 1} = 24\)
Ne soruluyor?
\(x\) değeri.
Çözüm
- \(2^{x + 1} \cdot 3^{x - 1} = 2 \cdot 2^{x} \cdot \dfrac{3^{x}}{3} = \dfrac{2}{3} \cdot 6^{x}\)
→ Üsleri aynı olan \(2^{x}\) ve \(3^{x}\) birleştirilir. - \(\dfrac{2}{3} \cdot 6^{x} = 24\) → \(6^{x} = 36\)
→ Her iki taraf \(\dfrac{3}{2}\) ile çarpılır. - \(6^{x} = 6^{2}\) → \(x = 2\)
→ Sonuç \(2\).
Kontrol
\(2^{3} \cdot 3^{1} = 8 \cdot 3 = 24\) ✓
Sık yapılan hata
Farklı tabanlı kuvvetleri çarparken üsleri toplayıp \(6^{2x}\) yazmak ya da \(3^{x - 1}\) içindeki \(\dfrac{1}{3}\) çarpanını unutup \(2 \cdot 6^{x} = 24\) → \(6^{x} = 12\) gibi tam sayı çözümü olmayan bir denkleme ulaşmak.
-
\(\dfrac{1}{8} \le 4^{n} \lt 128\) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \(n\) tam sayısı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{1}{8} \le 4^{n} \lt 128\)
- \(n\) tam sayı
Ne soruluyor?
Uygun \(n\) tam sayılarının sayısı.
Çözüm
- \(2^{-3} \le 2^{2n} \lt 2^{7}\)
→ Hepsi \(2\) tabanında yazılır. - \(-3 \le 2n \lt 7\) → \(-1{,}5 \le n \lt 3{,}5\)
→ Taban \(1\)'den büyük; eşitsizlik yön değiştirmez. - \(n \in \{-1, 0, 1, 2, 3\}\) → \(5\) tam sayı
→ Sonuç \(5\).
Kontrol
\(4^{-1} = \dfrac{1}{4} \ge \dfrac{1}{8}\), \(4^{3} = 64 \lt 128\); \(4^{-2} = \dfrac{1}{16}\) ve \(4^{4} = 256\) dışarıda ✓
Sık yapılan hata
\(2n\) yerine \(n\) yazıp \(-3 \le n \lt 7\) aralığından \(10\) tam sayı saymak.
-
Rasyonel üslü \(\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}\) ifadesi aşağıdaki kesirlerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}}\)
Ne soruluyor?
Sayının değeri.
Çözüm
- \(\left(\dfrac{27}{8}\right)^{-\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{8}{27}\right)^{\frac{2}{3}}\)
→ Negatif üs kesri ters çevirir. - \(\dfrac{8}{27} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\)
→ Pay ve payda küptür. - \(\left(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{3}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{2} = \dfrac{4}{9}\)
→ Üsler çarpılır: \(3 \cdot \dfrac{2}{3} = 2\).
Kontrol
\(\left(\dfrac{4}{9}\right)^{3} = \dfrac{64}{729} = \left(\dfrac{8}{27}\right)^{2}\) ✓
Sık yapılan hata
Kesri ters çevirmeyi unutup \(\dfrac{9}{4}\) bulmak ya da kesirli üssü çarpan gibi kullanıp \(\dfrac{27}{8} \cdot \dfrac{2}{3}\) hesaplamak.
-
\(a = 2^{100}\) olduğuna göre \(2^{101} + 2^{99}\) toplamının \(a\) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = 2^{100}\)
Ne soruluyor?
\(2^{101} + 2^{99}\) toplamının \(a\) türünden yazılışı.
Çözüm
- \(2^{101} = 2 \cdot 2^{100} = 2a\)
→ Üs bir fazla: \(2\) ile çarpılır. - \(2^{99} = \dfrac{2^{100}}{2} = \dfrac{a}{2}\)
→ Üs bir eksik: \(2\)'ye bölünür. - \(2a + \dfrac{a}{2} = \dfrac{4a + a}{2} = \dfrac{5a}{2}\)
→ Payda eşitlenerek toplanır.
Kontrol
\(a = 2^{100}\) için \(\dfrac{5a}{2} = 5 \cdot 2^{99}\) ve \(2^{101} + 2^{99} = 2^{99}(4 + 1) = 5 \cdot 2^{99}\) ✓
Sık yapılan hata
\(2^{99}\)'u \(a - 1\) ya da \(a\) gibi düşünüp \(3a\) bulmak.
-
\(2^{x} = 3\) olduğuna göre \(\dfrac{8^{x} + 4^{x + 1}}{2^{x - 1}}\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2^{x} = 3\)
Ne soruluyor?
İfadenin değeri.
Çözüm
- \(8^{x} = (2^{x})^{3} = 27\)
→ \(8 = 2^{3}\). - \(4^{x + 1} = 4 \cdot (2^{x})^{2} = 4 \cdot 9 = 36\)
→ \(4^{x} = (2^{x})^{2}\). - \(2^{x - 1} = \dfrac{2^{x}}{2} = \dfrac{3}{2}\)
→ Üs bir eksik: \(2\)'ye bölünür. - \(\dfrac{27 + 36}{\frac{3}{2}} = 63 \cdot \dfrac{2}{3} = 42\)
→ Sonuç \(42\).
Kontrol
\(42 \cdot \dfrac{3}{2} = 63 = 27 + 36\) ✓
Sık yapılan hata
\(2^{x - 1}\)'i \(3 - 1 = 2\) sanıp \(\dfrac{63}{2}\) bulmak ya da paydayı \(6\) alıp \(\dfrac{63}{6}\) hesaplamak.