KPSS Üslü Sayılar Test 4 Temel Kurallar
Üslü sayıların temel kuralları: çarpma, bölme, kuvvetin kuvveti, sıfırıncı kuvvet ve negatif üs. Konuya yeni başlayanlar için.
- Soru sayısı
- 20
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Kolay
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\( 2^5 \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^5 \) ifadesi
Ne soruluyor?
İfadenin sayı değeri.
Çözüm
- \( 2^5 \) demek, 2'yi 5 kez kendisiyle çarpmak demektir.
→ Üs, tabanın kaç kez çarpıldığını söyler; 5 burada çarpma sayısıdır. - \( 2 \cdot 2 = 4 \)
→ İlk iki 2'yi çarptık, 3 tane 2 kaldı. - \( 4 \cdot 2 = 8 \)
→ Üçüncü 2 de çarpıldı, 2 tane kaldı. - \( 8 \cdot 2 = 16 \)
→ Dördüncü 2 çarpıldı, 1 tane kaldı. - \( 16 \cdot 2 = 32 \)
→ Beşinci ve son 2 de çarpıldı.
Kontrol
2'nin kuvvetleri sırayla 2, 4, 8, 16, 32; beşincisi 32 ✓
Sık yapılan hata
\( 2^5 \) ile \( 2 \cdot 5 = 10 \) karıştırılıyor. Üs çarpan değil, çarpma sayısıdır.
-
\( 3^2 + 4^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 3^2 \) ve \( 4^2 \) terimleri
Ne soruluyor?
Toplamın değeri.
Çözüm
- \( 3^2 = 3 \cdot 3 = 9 \)
→ Üs 2 olduğu için taban iki kez çarpılır. - \( 4^2 = 4 \cdot 4 = 16 \)
→ Aynı kural, taban 4 için. - \( 9 + 16 = 25 \)
→ İki sonucu topladık.
Sık yapılan hata
\( 3^2 + 4^2 \) ile \( (3+4)^2 = 49 \) aynı şey değildir. Üs, toplamın üstüne dağılmaz.
-
\( 2^3 \cdot 2^4 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Tabanları aynı (\( 2 \)) iki üslü sayı: \( 2^3 \) ve \( 2^4 \)
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Tabanlar aynı olduğu için üsler toplanır: \( 2^{3+4} \)
→ \( 2^3 \) üç tane 2, \( 2^4 \) dört tane 2 demek; yan yana yazınca toplam yedi tane 2 olur. - \( 2^{3+4} = 2^7 \)
→ Üsleri topladık: \( 3+4 = 7 \). - \( 2^7 = 128 \)
→ 2'nin 7. kuvveti: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128.
Kullanılan kural
Aynı tabanlı üslüler çarpılırken üsler toplanır: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Bölünürken çıkarılır: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).
Sık yapılan hata
Üsleri çarpmak (\( 2^{12} \)) en sık yapılan hatadır. Üsler ancak \( (2^3)^4 \) gibi kuvvetin kuvveti alınırken çarpılır.
-
\( \dfrac{5^6}{5^4} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay: \( 5^6 \) Payda: \( 5^4 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- Tabanlar aynı olduğu için üsler çıkarılır: \( 5^{6-4} \)
→ Payda 6 tane 5, paydada 4 tane 5 var; 4 tanesi sadeleşir, geriye 2 tane 5 kalır. - \( 5^{6-4} = 5^2 \)
→ Üsleri çıkardık: \( 6-4 = 2 \). - \( 5^2 = 25 \)
→ 5'i iki kez çarptık.
Kullanılan kural
Aynı tabanlı üslüler çarpılırken üsler toplanır: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \). Bölünürken çıkarılır: \( a^m : a^n = a^{m-n} \).
-
\( (2^3)^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^3 \) ifadesinin karesi
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Kuvvetin kuvveti alınırken üsler çarpılır: \( 2^{3 \cdot 2} \)
→ \( (2^3)^2 = 2^3 \cdot 2^3 \) demek; aynı tabanda üsler toplanır → \( 3+3 = 6 \), bu da \( 3 \cdot 2 \) ile aynı şey. - \( 2^{3 \cdot 2} = 2^6 \)
→ Üsleri çarptık. - \( 2^6 = 64 \)
→ 2, 4, 8, 16, 32, 64.
Sık yapılan hata
\( (2^3)^2 \) ile \( 2^{3^2} = 2^9 \) farklıdır. Parantez neredeyse o önce yapılır.
-
\( 7^0 + 3^0 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 7^0 \) ve \( 3^0 \) terimleri
Ne soruluyor?
Toplamın değeri.
Çözüm
- Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
→ \( a^0 = a^{n-n} = \dfrac{a^n}{a^n} = 1 \) — bir sayının kendisine bölümü 1'dir. - \( 7^0 = 1 \) ve \( 3^0 = 1 \)
→ Kural her iki taban için de geçerli. - \( 1 + 1 = 2 \)
→ İki sonucu topladık.
Sık yapılan hata
\( 7^0 = 0 \) sanmak yaygın bir hatadır. Üs sıfır, tabanı sıfır yapmaz.
-
\( (-2)^4 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Taban \( -2 \), üs \( 4 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri ve işareti.
Çözüm
- \( (-2)^4 = (-2)(-2)(-2)(-2) \)
→ Parantez içindeki tabanın tamamı 4 kez çarpılıyor. - \( (-2)(-2) = 4 \)
→ İki negatifin çarpımı pozitiftir. - \( 4 \cdot (-2) = -8 \)
→ Pozitif × negatif = negatif. - \( -8 \cdot (-2) = 16 \)
→ Negatif × negatif = pozitif.
Kural
Negatif tabanın çift kuvveti pozitif, tek kuvveti negatiftir.
Sık yapılan hata
\( (-2)^4 \) ile \( -2^4 \) farklıdır! İkincisinde üs yalnızca 2'ye ait olduğu için sonuç \( -16 \) olur.
-
\( -2^4 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Parantezi olmayan \( -2^4 \) ifadesi
Ne soruluyor?
Sonucun değeri ve işareti.
Çözüm
- Üs, önündeki eksiyi kapsamaz; yalnızca 2'ye aittir.
→ İşlem önceliğinde kuvvet alma, işaret değiştirmeden (negatifle çarpmadan) önce gelir. - Önce \( 2^4 = 16 \) hesaplanır.
→ Üs yalnızca 2'ye uygulandı. - Sonra başa eksi gelir: \( -16 \)
→ İfade aslında \( -(2^4) \) demektir.
Karşılaştır
\( (-2)^4 = 16 \) · \( -2^4 = -16 \). Tek fark parantez.
-
\( \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Taban \( \dfrac{2}{3} \), üs \( 2 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Üs, hem paya hem paydaya uygulanır: \( \left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \)
→ Çünkü \( \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{2}{3} \) çarpımında paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. - \( \dfrac{2^2}{3^2} \)
→ Üs iki tarafa da dağıtıldı. - \( = \dfrac{4}{9} \)
→ \( 2^2 = 4 \), \( 3^2 = 9 \).
Sık yapılan hata
Yalnızca payı üslendirip \( \dfrac{4}{3} \) demek yaygın hatadır.
-
\( 10^3 \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 10^3 \) ifadesi
Ne soruluyor?
Sayı değeri.
Çözüm
- \( 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 \)
→ Üs 3, yani 10 üç kez çarpılır. - \( 10 \cdot 10 = 100 \)
→ İlk iki 10 çarpıldı. - \( 100 \cdot 10 = 1000 \)
→ Üçüncü 10 da çarpıldı.
Pratik
\( 10^n \), 1'in yanına n tane sıfır yazmaktır. \( 10^3 \) → 1 ve 3 sıfır → 1000.
-
\( 2^3 + 2^3 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Birbirinin aynısı iki terim: \( 2^3 \) ve \( 2^3 \)
Ne soruluyor?
Toplamın değeri.
Çözüm
- Toplama işleminde üsler toplanmaz; ortak çarpan parantezine alınır.
→ \( 2^3 + 2^3 \), "iki tane \( 2^3 \)" demektir. - \( 2^3 + 2^3 = 2 \cdot 2^3 \)
→ Aynı şeyden iki tane var. - \( 2 \cdot 2^3 = 2^1 \cdot 2^3 = 2^4 \)
→ Şimdi çarpım var; tabanlar aynı, üsler toplanır. - \( 2^4 = 16 \)
→ 2'nin 4. kuvveti.
Kontrol
\( 8 + 8 = 16 \) ✓
Sık yapılan hata
\( 2^3 + 2^3 = 2^6 \) demek çok yaygın bir hatadır. Üs toplama kuralı çarpmada geçerlidir, toplamada değil.
-
\( 3^4 \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 3^4 \) ifadesi
Ne soruluyor?
Sayı değeri.
Çözüm
- \( 3 \cdot 3 = 9 \)
→ İlk iki 3 çarpıldı (bu \( 3^2 \)). - \( 9 \cdot 3 = 27 \)
→ Üçüncü 3 çarpıldı (bu \( 3^3 \)). - \( 27 \cdot 3 = 81 \)
→ Dördüncü 3 çarpıldı (bu \( 3^4 \)).
Ezberlenmesi iyi olur
3'ün kuvvetleri: 3, 9, 27, 81, 243, 729
-
13 Negatif üs
\( 2^{-3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Taban \( 2 \), üs \( -3 \)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri.
Çözüm
- Negatif üs, sayıyı ters çevirmek demektir: \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \)
→ \( 2^{-3} = 2^{0-3} = \dfrac{2^0}{2^3} = \dfrac{1}{2^3} \) — bölme kuralından çıkar. - \( 2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} \)
→ Üssü pozitif yapıp kesrin paydasına attık. - \( = \dfrac{1}{8} \)
→ \( 2^3 = 8 \).
Sık yapılan hata
Negatif üs, sonucu negatif yapmaz. \( 2^{-3} = -8 \) demek en sık yapılan hatadır.
-
\( \dfrac{5^3}{5^3} \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay ve payda birebir aynı: \( 5^3 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- Tabanlar aynı → üsler çıkarılır: \( 5^{3-3} \)
→ Bölme kuralı. - \( 5^{3-3} = 5^0 \)
→ \( 3-3 = 0 \). - \( 5^0 = 1 \)
→ Sıfırdan farklı her sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir.
Kontrol
\( \dfrac{125}{125} = 1 \) ✓
-
\( 4^3 \) ifadesi aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 4^3 \) ifadesi
Ne soruluyor?
2 tabanında eşiti.
Çözüm
- \( 4 \)'ü 2'nin kuvveti olarak yaz: \( 4 = 2^2 \)
→ Soruda 2 tabanlı şıklar var; ortak tabana geçmek gerekiyor. - \( 4^3 = (2^2)^3 \)
→ 4 yerine \( 2^2 \) yazdık. - \( (2^2)^3 = 2^{2 \cdot 3} = 2^6 \)
→ Kuvvetin kuvvetinde üsler çarpılır.
Kontrol
\( 4^3 = 64 \) ve \( 2^6 = 64 \) ✓
Genel yöntem
Farklı tabanlı üslüleri karşılaştırmak için hepsini aynı tabana çevir.
-
\( 2^2 \cdot 3^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Üsleri aynı (2), tabanları farklı iki çarpan
Ne soruluyor?
Çarpımın değeri.
Çözüm
- Üsler aynıysa tabanlar çarpılır: \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \)
→ \( 2^2 \cdot 3^2 = (2\cdot2)(3\cdot3) = (2\cdot3)(2\cdot3) \) — çarpanları yeniden gruplayabiliriz. - \( (2 \cdot 3)^2 = 6^2 \)
→ Tabanları çarptık, üs aynı kaldı. - \( 6^2 = 36 \)
→ 6'yı iki kez çarptık.
Kontrol
\( 4 \cdot 9 = 36 \) ✓
-
\( 2^{10} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 2^{10} \) ifadesi
Ne soruluyor?
Sayı değeri.
Çözüm
- \( 2^{10} = 2^5 \cdot 2^5 \)
→ Üssü ikiye bölmek hesabı kolaylaştırır: \( 5+5 = 10 \). - \( 2^5 = 32 \)
→ 2, 4, 8, 16, 32. - \( 32 \cdot 32 = 1024 \)
→ İki parçayı çarptık.
Ezberlenmesi iyi olur
2'nin kuvvetleri: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
-
\( \dfrac{10^5}{10^2} \) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Pay \( 10^5 \), payda \( 10^2 \)
Ne soruluyor?
Bölümün değeri.
Çözüm
- Tabanlar aynı → üsler çıkarılır: \( 10^{5-2} \)
→ Bölme kuralı. - \( 10^{5-2} = 10^3 \)
→ \( 5-2 = 3 \). - \( 10^3 = 1000 \)
→ 1'in yanına 3 sıfır.
Kontrol
\( \dfrac{100000}{100} = 1000 \) ✓
-
\( (-3)^3 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Taban \( -3 \), üs \( 3 \) (tek sayı)
Ne soruluyor?
Sonucun değeri ve işareti.
Çözüm
- \( (-3)(-3) = 9 \)
→ İki negatifin çarpımı pozitif. - \( 9 \cdot (-3) = -27 \)
→ Pozitif × negatif = negatif.
Kural
Negatif tabanın tek kuvveti negatiftir; çünkü eşleşemeyen bir negatif kalır.
-
\( 6^2 - 4^2 \) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \( 6^2 \) ve \( 4^2 \) terimleri
Ne soruluyor?
Farkın değeri.
Çözüm
- \( 6^2 = 36 \)
→ 6'yı iki kez çarptık. - \( 4^2 = 16 \)
→ 4'ü iki kez çarptık. - \( 36 - 16 = 20 \)
→ Farkı aldık.
Kısa yol
\( a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) \) → \( (6-4)(6+4) = 2 \cdot 10 = 20 \). Büyük sayılarda bu yol çok daha hızlıdır.
Sık yapılan hata
\( 6^2 - 4^2 = (6-4)^2 = 4 \) demek hatalıdır.