KPSS Temel Kavramlar Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) birbirinden farklı asal sayılardır. \(a \lt b \lt c\) ve \(a + b + c = 40\) olduğuna göre \(c\)'nin alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \lt b \lt c\) farklı asallar
- \(a + b + c = 40\)
Ne soruluyor?
\(c\) en fazla kaçtır?
Çözüm
- Üç tek sayının toplamı tektir; toplam \(40\) çift olduğuna göre asallardan biri çift, yani \(2\) olmalı.
→ Tek çift asal \(2\)'dir; \(a = 2\). - \(b + c = 38\), \(b \lt c\)
→ \(c\)'nin büyük olması için \(b\) küçük olmalı. - \(b = 3\) → \(c = 35\) (asal değil); \(b = 5\) → \(c = 33\) (asal değil); \(b = 7\) → \(c = 31\) (asal ✓)
→ İlk uygun durum. - En büyük \(c = 31\)
→
Kontrol
\(2 + 7 + 31 = 40\) ✓ Üçü de asal ve farklı ✓
Sık yapılan hata
\(b = 3\) alıp \(35\)'in asal olup olmadığına bakmamak ya da \(2\)'nin zorunlu olduğunu görmeden deneme yapmak.
-
\(20!\) sayısı asal çarpanlarına ayrıldığında \(2\) asal çarpanının üssü kaç olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(20! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 20\)
Ne soruluyor?
\(20!\) içinde kaç tane \(2\) çarpanı var?
Çözüm
- \(2\)'nin katları: \(\left\lfloor \dfrac{20}{2} \right\rfloor = 10\)
→ Her çift sayı en az bir \(2\) verir. - \(4\)'ün katları birer tane daha: \(\left\lfloor \dfrac{20}{4} \right\rfloor = 5\)
→ - \(8\)'in katları: \(2\); \(16\)'nın katları: \(1\)
→ \(16 = 2^4\) dört tane \(2\) içerir. - \(10 + 5 + 2 + 1 = 18\)
→ \(20! = 2^{18} \cdot \dots\) → üs \(18\).
Kontrol
\(32 \gt 20\), başka terim yok ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca çift sayıları sayıp \(10\) demek; \(4\), \(8\), \(16\) gibi sayılar birden fazla \(2\) çarpanı içerir.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(a^2 + b^3\) tek, \(b \cdot c\) çift ve \(a + c\) tek sayıdır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle tek sayıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a^2 + b^3\) tek
- \(b \cdot c\) çift
- \(a + c\) tek
Ne soruluyor?
Hangisi her zaman tektir?
Çözüm
- \(a^2\) ile \(a\), \(b^3\) ile \(b\) aynı tekliktedir → \(a\) ile \(b\)'den biri tek, diğeri çift.
→ Toplam tek ise teklikler farklıdır. - Durum 1: \(a\) çift, \(b\) tek. \(b \cdot c\) çift → \(c\) çift. Ama \(a + c\) = çift \(+\) çift = çift ✗
→ Bu durum üçüncü koşulla çelişir. - Durum 2: \(a\) tek, \(b\) çift. \(a + c\) tek → \(c\) çift. \(b \cdot c\) çift ✓
→ Tek geçerli durum: \(a\) tek, \(b\) çift, \(c\) çift. - \(a \cdot c\), \(b + c\), \(a \cdot b + c\), \(a + 1\) çift; \(a + b + c\) = tek \(+\) çift \(+\) çift = tek
→ Cevap \(a + b + c\).
Kontrol
\(a = 1\), \(b = 2\), \(c = 4\): \(1 + 8 = 9\) tek, \(8\) çift, \(5\) tek; \(a + b + c = 7\) tek ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca ilk iki koşula bakıp iki durumu da açık bırakmak; \(a + c\) tek koşulu durumlardan birini eler.
-
\(x\) ve \(y\) doğal sayılar olmak üzere \(x! - y! = 96\)'dır. Buna göre \(x + y\) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x! - y! = 96\)
- \(x, y\) doğal sayı
Ne soruluyor?
\(x + y\) kaçtır?
Çözüm
- Fark pozitif olduğundan \(x \gt y\); \(x!\) en az \(96\) olmalı → \(x \ge 5\).
→ \(4! = 24 \lt 96\). - \(x = 5\): \(120 - y! = 96\) → \(y! = 24\) → \(y = 4\) ✓
→ - \(x = 6\): \(720 - y! = 96\) → \(y! = 624\), faktöriyel değil. \(x \ge 6\) için fark çok büyür.
→ \(5! = 120\), \(6! = 720\) arasında faktöriyel yok. - \(x + y = 5 + 4 = 9\)
→ Sonuç \(9\).
Kontrol
\(5! - 4! = 120 - 24 = 96\) ✓
Sık yapılan hata
\(96\)'yı \(4 \cdot 24\) diye çarpanlara ayırıp \(x = 4\) gibi değerlere gitmek; eşitlik bir fark, çarpım değil.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(a \cdot b = 12\) ve \(b \cdot c = 20\)'dir. Buna göre \(a + b + c\) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \cdot b = 12\)
- \(b \cdot c = 20\)
Ne soruluyor?
\(a + b + c\) en az kaçtır?
Çözüm
- \(b\) hem \(12\)'yi hem \(20\)'yi böler → \(b \in \{1, 2, 4\}\)
→ \(12\) ile \(20\)'nin ortak bölenleri. - \(b = 1\): \(12 + 1 + 20 = 33\)
→ - \(b = 2\): \(6 + 2 + 10 = 18\)
→ - \(b = 4\): \(3 + 4 + 5 = 12\)
→ En küçük toplam \(12\).
Kontrol
\(3 \cdot 4 = 12\) ✓ \(4 \cdot 5 = 20\) ✓
Sık yapılan hata
\(b\)'yi rastgele bir değer (örneğin \(2\)) seçip tek sonuç bulmak; \(b\) büyüdükçe diğer iki sayı küçülür.
-
\(10^{20} - 7\) sayısının rakamları toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(10^{20}\): \(1\) ve ardından \(20\) sıfır
Ne soruluyor?
\(10^{20} - 7\)'nin rakamları toplamı?
Çözüm
- Küçük örnek: \(10^3 - 7 = 993\), \(10^4 - 7 = 9993\)
→ Sayı, sonunda \(3\) olan bir dizi \(9\)'dan oluşur. - \(10^n - 7\) sayısı \(n\) basamaklıdır: \(n - 1\) tane \(9\) ve sonda \(3\).
→ \(10^3 - 7 = 993\): iki \(9\), bir \(3\). - \(n = 20\): \(19\) tane \(9\) ve bir \(3\)
→ - \(19 \cdot 9 + 3 = 171 + 3 = 174\)
→ Sonuç \(174\).
Kontrol
\(10^3 - 7 = 993\) için \(9 + 9 + 3 = 21 = 2 \cdot 9 + 3\) ✓ (aynı kalıp)
Sık yapılan hata
\(9\) sayısını \(20\) tane alıp \(183\) bulmak; sayının \(20\) basamağından biri \(3\)'tür.
-
\(45\) sayısı, en az iki terimli ardışık pozitif tam sayıların toplamı biçiminde kaç farklı şekilde yazılabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam \(45\)
- En az iki terim, terimler ardışık pozitif tam sayı
Ne soruluyor?
Kaç farklı yazılış vardır?
Çözüm
- \(k\) terimli ardışık toplam \(=\) \(k \cdot\) ortalama. Ortalama ya tam sayı (k tek) ya da buçuklu (k çift) olur.
→ \(45 = k \cdot\) ortalama. - \(k = 2\): ortalama \(22{,}5\) → \(22 + 23\); \(k = 3\): ortalama \(15\) → \(14 + 15 + 16\)
→ - \(k = 5\): ortalama \(9\) → \(7 + \dots + 11\); \(k = 6\): ortalama \(7{,}5\) → \(5 + \dots + 10\)
→ - \(k = 9\): ortalama \(5\) → \(1 + 2 + \dots + 9\)
→ \(k = 10\) için ortalama \(4{,}5\) olur ama ilk terim \(0\) çıkar; pozitif değil. - Toplam \(5\) farklı yazılış
→ Cevap \(5\).
Kontrol
\(5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 45\) ✓ \(1 + 2 + \dots + 9 = 45\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca tek sayıda terimli toplamları (\(3, 5, 9\) terim) bulup \(3\) demek; çift terimli yazılışlar (\(22 + 23\) gibi) da vardır.
-
\(\dfrac{2n + 13}{n + 2}\) ifadesini tam sayı yapan \(n\) tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{2n + 13}{n + 2}\) tam sayı
- \(n\) tam sayı
Ne soruluyor?
Uygun \(n\) değerlerinin toplamı?
Çözüm
- \(2n + 13 = 2(n + 2) + 9\) → \(\dfrac{2n + 13}{n + 2} = 2 + \dfrac{9}{n + 2}\)
→ Pay, paydanın katı ile kalanına ayrıldı. - \(n + 2\), \(9\)'un tam sayı böleni olmalı: \(\pm 1, \pm 3, \pm 9\)
→ Altı bölen. - \(n = -1, -3, 1, -5, 7, -11\)
→ Her bölenden \(2\) çıkarıldı. - Toplam: \(-1 - 3 + 1 - 5 + 7 - 11 = -12\)
→ Sonuç \(-12\).
Kontrol
\(n = -11\): \(\dfrac{-9}{-9} = 1\) ✓ \(n = 7\): \(\dfrac{27}{9} = 3\) ✓
Sık yapılan hata
Negatif bölenleri unutup yalnızca \(-1, 1, 7\)'yi toplamak (\(7\)); ya da bölenleri toplayıp \(n\)'ye çevirmemek (\(0\)).
-
Çarpımları \(-30\) olan birbirinden farklı üç tam sayının toplamı en az kaç olabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a, b, c\) farklı tam sayılar
- \(a \cdot b \cdot c = -30\)
Ne soruluyor?
\(a + b + c\) en az kaçtır?
Çözüm
- Çarpım negatif → ya bir sayı negatif ya da üçü de negatif.
→ Toplamı küçültmek için negatif sayılar büyük mutlak değerli olmalı. - Bir sayıyı \(-30\) yapmak diğer ikisinin çarpımını \(1\) yapar: \(1 \cdot 1\) ya da \((-1)(-1)\) → sayılar farklı olmaz ✗
→ Farklılık şartı. - Üçü negatif: \((-15)(-2)(-1) = -30\) → toplam \(-18\); \((-10)(-3)(-1)\) → \(-14\); \((-6)(-5)(-1)\) → \(-12\)
→ - Bir negatif: \((-15) \cdot 1 \cdot 2\) → \(-12\); \((-10) \cdot 1 \cdot 3\) → \(-6\); diğerleri daha büyük.
→ En küçük toplam \(-18\).
Kontrol
\((-15) \cdot (-2) \cdot (-1) = -30\) ✓ Sayılar farklı ✓
Sık yapılan hata
\(-30, 1, 1\) üçlüsünü alıp \(-28\) demek; sayılar birbirinden farklı olmalı.
-
Ardışık \(20\) tam sayının küçükten büyüğe ilk \(10\) tanesinin toplamı \(45\)'tir. Buna göre son \(10\) tanesinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ardışık \(20\) tam sayı
- İlk \(10\) terimin toplamı \(45\)
Ne soruluyor?
Son \(10\) terimin toplamı?
Çözüm
- Son \(10\) sayının her biri, ilk \(10\) sayıdan karşılık gelenin \(10\) fazlasıdır.
→ \(1\). ile \(11\)., \(2\). ile \(12\). terim ... arasında fark \(10\). - Toplam fark: \(10 \cdot 10 = 100\)
→ On sayının her biri \(10\) arttı. - \(45 + 100 = 145\)
→ Sonuç \(145\).
Kontrol
İlk sayı \(x\): \(10x + 45 = 45\) → \(x = 0\). Sayılar \(0, \dots, 19\); \(10 + \dots + 19 = 145\) ✓
Sık yapılan hata
Her sayıyı \(1\) fazla sanıp \(55\) bulmak ya da farkı \(20 \cdot 10\) alıp \(245\) demek.