KPSS Temel Kavramlar Çok Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 30 dk
- Zorluk
- Çok zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) birbirinden farklı asal sayılardır. \(a \cdot b + c = 55\) olduğuna göre \(a + b + c\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a, b, c\) farklı asal sayılar
- \(a \cdot b + c = 55\)
Ne soruluyor?
\(a + b + c\) en fazla kaçtır?
Çözüm
- \(55\) tek sayıdır. Tek \(=\) tek \(+\) çift olduğundan \(a \cdot b\) ile \(c\)'den biri çift olmalı.
→ Tek-çift analizi her şeyi belirliyor. - Çift olan tek asal \(2\)'dir. \(c = 2\) olsaydı \(a \cdot b = 53\) olurdu; \(53\) asal olduğu için iki asalın çarpımı olamaz.
→ Bu durum elenir. - O hâlde \(a\) ya da \(b\) \(2\)'dir: \(2b + c = 55\)
→ \(a = 2\) alındı. - \(b\) ve \(c\) asal: \((b, c) = (7, 41),\ (13, 29),\ (19, 17)\) → toplamlar \(2 + 7 + 41 = 50\), \(44\), \(38\)
→ \(b = 3 \Rightarrow c = 49\), \(b = 5 \Rightarrow c = 45\), \(b = 11 \Rightarrow c = 33\), \(b = 17 \Rightarrow c = 21\), \(b = 23 \Rightarrow c = 9\) asal değil. - En büyük toplam \(50\)
→ \(c\) büyüdükçe toplam büyür.
Kontrol
\(2 \cdot 7 + 41 = 55\) ✓ \(2\), \(7\), \(41\) farklı asallar ✓
Sık yapılan hata
Tek-çift analizini yapmadan deneme yanılmaya girip ilk bulunan \(38\) ya da \(44\)'te durmak. \(1\)'i asal sayıp \(1 \cdot 2 + 53\) gibi bir çözüm kurmak da sık görülür.
-
\(a\), \(b\) ve \(c\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(a \gt b \gt c \gt 1\) ve \(a! = b! \cdot c!\) eşitliği sağlanıyor. Buna göre \(a\)'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \gt b \gt c \gt 1\)
- \(a! = b! \cdot c!\)
Ne soruluyor?
\(a\) en az kaçtır?
Çözüm
- \(a! = a \cdot (a-1)!\) yazılabilir. \(b = a - 1\) seçilirse eşitlik \(a = c!\) olur.
→ Bir faktöriyeli bir öncekiyle yazmak, eşitliği tek bir koşula indirir. - \(c = 2\) için \(a = 2! = 2\), \(b = 1\): \(b \gt c\) koşulu bozulur ✗
→ En küçük \(c\) denendi. - \(c = 3\) için \(a = 3! = 6\), \(b = 5\): \(6 \gt 5 \gt 3 \gt 1\) ✓
→ Koşullar sağlandı. - Daha küçük \(a\) var mı? \(a = 4\) ya da \(5\) için \(b, c\) ikilileri tek tek denendiğinde eşitlik sağlanmaz.
→ Örneğin \(5! = 120\); \(4! \cdot 3! = 144\), \(3! \cdot 2! = 12\). - Cevap \(a = 6\)
→ En küçük değer.
Kontrol
\(6! = 720\), \(5! \cdot 3! = 120 \cdot 6 = 720\) ✓
Sık yapılan hata
Bilinen \(10! = 7! \cdot 6!\) örneğini hatırlayıp \(10\) demek. Bu da bir çözümdür ama en küçüğü değildir.
-
\(x\) ve \(y\) tam sayılar olmak üzere \(x^2 - y^2 = 45\) eşitliği sağlanıyor. Buna göre \(x + y\) toplamı kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x, y \in \mathbb{Z}\)
- \(x^2 - y^2 = 45\)
Ne soruluyor?
\(x + y\) kaç farklı değer alır?
Çözüm
- \((x - y)(x + y) = 45\)
→ Kareler farkı. - \(x + y = m\), \(x - y = n\) dersek \(m \cdot n = 45\) ve \(x = \dfrac{m + n}{2}\) tam sayı olmalı.
→ \(m\) ile \(n\) aynı teklikte olmalı. - \(45\) tek olduğu için bütün bölenleri tektir; her bölen çifti uygun.
→ Teklik şartı kendiliğinden sağlanıyor. - \(45\)'in bölenleri: \(\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45\) → \(12\) tane
→ Negatif bölenler de sayılır: \(x, y\) tam sayı. - \(x + y\) bu \(12\) değerin her birini alabilir.
→ Örneğin \(m = -3, n = -15 \Rightarrow x = -9, y = 6\).
Kontrol
\(m = 5, n = 9 \Rightarrow x = 7, y = -2\): \(49 - 4 = 45\) ✓ Negatif örnek: \(x = -9, y = 6\): \(81 - 36 = 45\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca pozitif bölenleri sayıp \(6\) demek. \(x\) ve \(y\) doğal sayı değil tam sayı olduğu için negatif bölenler de çözüm verir.
-
Ardışık üç pozitif tek sayının karelerinin toplamı \(251\)'dir. Bu sayılardan en büyüğü kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ardışık pozitif tek sayılar: \(x - 2,\ x,\ x + 2\)
- Kareler toplamı \(251\)
Ne soruluyor?
En büyük sayı?
Çözüm
- \((x-2)^2 + x^2 + (x+2)^2 = 3x^2 + 8\)
→ Ortadaki sayıya \(x\) demek hesabı kısaltır: \(\pm 4x\) terimleri birbirini götürür. - \(3x^2 + 8 = 251\) → \(x^2 = 81\) → \(x = 9\)
→ Sayılar pozitif. - Sayılar \(7, 9, 11\) → en büyüğü \(11\)
→ Soru en büyüğü istiyor.
Kontrol
\(49 + 81 + 121 = 251\) ✓
Sık yapılan hata
Ortadaki sayıyı (\(9\)) cevap sanmak ya da sayıları \(x, x+1, x+2\) alıp tek olma şartını kaybetmek.
-
\(a\) ve \(b\) doğal sayılar olmak üzere \(a \cdot b = 72\) ve \(a + b\) bir tek sayıdır. Buna göre \(a + b\) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \cdot b = 72\)
- \(a + b\) tek
Ne soruluyor?
\(a + b\) en az kaçtır?
Çözüm
- Toplam tek ise sayılardan biri tek, diğeri çift olmalı.
→ Tek \(+\) çift \(=\) tek. - \(72 = 2^3 \cdot 3^2\); tek olan çarpan \(72\)'nin tek böleni olmalı: \(1, 3, 9\)
→ Tek bölenler \(2\) içermez. - İkililer: \((1, 72)\) → \(73\); \((3, 24)\) → \(27\); \((9, 8)\) → \(17\)
→ Diğer çarpan \(72\)'nin tek bölene bölümü. - En küçük toplam \(17\)
→ Sayılar birbirine en yakınken toplam küçülür.
Kontrol
\(9 \cdot 8 = 72\) ✓ \(9 + 8 = 17\) tek ✓
Sık yapılan hata
Tek şartını unutup \(8 \cdot 9\) yerine \(6 \cdot 12\) (toplam \(18\)) ya da \(\sqrt{72}\) civarını aramak; \(18\) çift olduğu için geçersiz.
-
\(x\), \(y\) ve \(z\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(x \cdot y = 15\), \(y \cdot z = 35\) ve \(x \cdot z = 21\)'dir. Buna göre \(x + y + z\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(xy = 15\)
- \(yz = 35\)
- \(xz = 21\)
Ne soruluyor?
\(x + y + z\) kaçtır?
Çözüm
- Üç eşitliği çarpalım: \((xyz)^2 = 15 \cdot 35 \cdot 21 = 11025\)
→ Her bilinmeyen iki kez geçiyor. - \(xyz = 105\)
→ Pozitif karekök. - \(z = \dfrac{105}{15} = 7\), \(x = \dfrac{105}{35} = 3\), \(y = \dfrac{105}{21} = 5\)
→ Her birini \(xyz\)'yi bir çarpıma bölerek bulduk. - \(x + y + z = 3 + 5 + 7 = 15\)
→ Toplam.
Kontrol
\(3 \cdot 5 = 15\) ✓ \(5 \cdot 7 = 35\) ✓ \(3 \cdot 7 = 21\) ✓
Sık yapılan hata
Çarpımları toplamak (\(71\)) ya da \(xyz\)'yi (\(105\)) cevap sanmak.
-
\(n!\) sayısının sonunda tam olarak \(12\) tane sıfır bulunmaktadır. Buna göre \(n\) kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n!\) sonunda tam \(12\) sıfır
Ne soruluyor?
\(n\) kaç değer alır?
Çözüm
- Sondaki sıfır sayısı, \(n!\) içindeki \(5\) çarpanı sayısıdır: \(\left\lfloor \dfrac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{25} \right\rfloor + \dots\)
→ Her \(5\), bir \(2\) ile eşleşip \(10\) yapar; \(2\) her zaman daha bol. - \(n = 49\): \(9 + 1 = 10\) sıfır. \(n = 50\): \(10 + 2 = 12\) sıfır
→ \(50 = 2 \cdot 25\), iki tane \(5\) çarpanı birden ekliyor; \(11\) sıfır hiç oluşmuyor. - \(n = 50, 51, 52, 53, 54\) → \(12\) sıfır; \(n = 55\) → \(13\)
→ Bir sonraki \(5\)'in katına kadar sayı değişmez. - Cevap \(5\)
→ Beş değer.
Kontrol
\(54!\): \(10 + 2 = 12\) ✓ \(55!\): \(11 + 2 = 13\) ✓
Sık yapılan hata
\(\left\lfloor \dfrac{n}{25} \right\rfloor\) terimini unutup \(n = 60\) civarında aramak ya da yalnızca en küçük \(n\)'yi bulup \(1\) demek.
-
\(x\) ve \(y\) tam sayılar olmak üzere \(x^2 + 3y\) bir tek sayı ve \(x \cdot y\) bir çift sayıdır. Buna göre aşağıdakilerden hangisi kesinlikle tek sayıdır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^2 + 3y\) tek
- \(x \cdot y\) çift
Ne soruluyor?
Hangisi her durumda tektir?
Çözüm
- \(x^2\) ile \(x\) aynı teklikte, \(3y\) ile \(y\) aynı teklikte.
→ Tek sayının karesi tek, çiftinki çift; \(3\) ile çarpmak tekliği değiştirmez. - \(x^2 + 3y\) tek → \(x\) ile \(y\)'den biri tek, diğeri çift.
→ Toplamın tek olması farklı teklik ister. - Bu durumda \(x \cdot y\) zaten çift; ikinci bilgi yeni bir şey söylemiyor ama hangisinin tek olduğunu da belirlemiyor.
→ Tuzak: ikinci koşul seçim yaptırmıyor. - \(x + y\) her durumda tek ✓. \(x\), \(y\), \(2x + y\) duruma göre değişir; \(x^2 + y^2 + 1\) her zaman çift.
→ Cevap \(x + y\).
Kontrol
\((x, y) = (1, 2)\): \(1 + 6 = 7\) tek, \(xy = 2\) çift, \(x + y = 3\) tek ✓ \((x, y) = (2, 1)\): \(4 + 3 = 7\), \(x + y = 3\) ✓
Sık yapılan hata
\(x \cdot y\) çift bilgisinden \(x\)'in çift olduğunu varsaymak. Çarpımın çift olması için sayılardan birinin çift olması yeter; hangisi olduğu belli değil.
-
\(100!\) sayısı \(12^n\) ile tam bölünebildiğine göre \(n\) doğal sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 100\)
- \(12^n = 2^{2n} \cdot 3^n\)
Ne soruluyor?
\(n\) en fazla kaçtır?
Çözüm
- \(100!\) içindeki \(2\) çarpanı: \(50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97\)
→ \(\lfloor 100/2 \rfloor + \lfloor 100/4 \rfloor + \dots\) - \(3\) çarpanı: \(33 + 11 + 3 + 1 = 48\)
→ \(\lfloor 100/3 \rfloor + \lfloor 100/9 \rfloor + \lfloor 100/27 \rfloor + \lfloor 100/81 \rfloor\) - \(2^{2n}\) için \(2n \le 97\) → \(n \le 48\); \(3^n\) için \(n \le 48\)
→ İki koşul birlikte. - En büyük \(n = 48\)
→ İki sınırın küçüğü.
Kontrol
\(2^{96} \cdot 3^{48}\) sayısı \(100!\)'i böler, \(3^{49}\) bölmez ✓
Sık yapılan hata
\(12\)'yi asal sanıp \(\lfloor 100/12 \rfloor = 8\) demek ya da \(12 = 2^2 \cdot 3\) iken yalnızca \(2\)'lere bakıp \(97\) (ya da \(97/2\)) almak.
-
\(a\) bir tam sayı ve \(-3 \lt a \lt 2\)'dir. \(b = a^2 - 2a\) olduğuna göre \(b\)'nin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \in \mathbb{Z}\), \(-3 \lt a \lt 2\)
- \(b = a^2 - 2a\)
Ne soruluyor?
\(b\)'nin farklı değerlerinin toplamı?
Çözüm
- \(a \in \{-2, -1, 0, 1\}\)
→ Uç değerler dahil değil. - \(a = -2\): \(4 + 4 = 8\); \(a = -1\): \(1 + 2 = 3\); \(a = 0\): \(0\); \(a = 1\): \(1 - 2 = -1\)
→ Negatif sayının karesi pozitif, \(-2a\) de pozitif olur. - Farklı değerler \(\{8, 3, 0, -1\}\) → toplam \(10\)
→ Hepsi farklı.
Kontrol
\(8 + 3 + 0 - 1 = 10\) ✓
Sık yapılan hata
\(-2a\) teriminde işaret hatası yapıp \(a = -2\) için \(0\) bulmak ya da \(-3\) ve \(2\)'yi de aralığa katmak.