Asal sayılarla kurulan eşitlikte en büyük toplam
\(a\), \(b\) ve \(c\) birbirinden farklı asal sayılardır. \(a \cdot b + c = 55\) olduğuna göre \(a + b + c\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a, b, c\) farklı asal sayılar
- \(a \cdot b + c = 55\)
Ne soruluyor?
\(a + b + c\) en fazla kaçtır?
Çözüm
- \(55\) tek sayıdır. Tek \(=\) tek \(+\) çift olduğundan \(a \cdot b\) ile \(c\)'den biri çift olmalı.
→ Tek-çift analizi her şeyi belirliyor. - Çift olan tek asal \(2\)'dir. \(c = 2\) olsaydı \(a \cdot b = 53\) olurdu; \(53\) asal olduğu için iki asalın çarpımı olamaz.
→ Bu durum elenir. - O hâlde \(a\) ya da \(b\) \(2\)'dir: \(2b + c = 55\)
→ \(a = 2\) alındı. - \(b\) ve \(c\) asal: \((b, c) = (7, 41),\ (13, 29),\ (19, 17)\) → toplamlar \(2 + 7 + 41 = 50\), \(44\), \(38\)
→ \(b = 3 \Rightarrow c = 49\), \(b = 5 \Rightarrow c = 45\), \(b = 11 \Rightarrow c = 33\), \(b = 17 \Rightarrow c = 21\), \(b = 23 \Rightarrow c = 9\) asal değil. - En büyük toplam \(50\)
→ \(c\) büyüdükçe toplam büyür.
Kontrol
\(2 \cdot 7 + 41 = 55\) ✓ \(2\), \(7\), \(41\) farklı asallar ✓
Sık yapılan hata
Tek-çift analizini yapmadan deneme yanılmaya girip ilk bulunan \(38\) ya da \(44\)'te durmak. \(1\)'i asal sayıp \(1 \cdot 2 + 53\) gibi bir çözüm kurmak da sık görülür.