Faktöriyellerle kurulan üçlü eşitlik
\(a\), \(b\) ve \(c\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(a \gt b \gt c \gt 1\) ve \(a! = b! \cdot c!\) eşitliği sağlanıyor. Buna göre \(a\)'nın alabileceği en küçük değer kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \gt b \gt c \gt 1\)
- \(a! = b! \cdot c!\)
Ne soruluyor?
\(a\) en az kaçtır?
Çözüm
- \(a! = a \cdot (a-1)!\) yazılabilir. \(b = a - 1\) seçilirse eşitlik \(a = c!\) olur.
→ Bir faktöriyeli bir öncekiyle yazmak, eşitliği tek bir koşula indirir. - \(c = 2\) için \(a = 2! = 2\), \(b = 1\): \(b \gt c\) koşulu bozulur ✗
→ En küçük \(c\) denendi. - \(c = 3\) için \(a = 3! = 6\), \(b = 5\): \(6 \gt 5 \gt 3 \gt 1\) ✓
→ Koşullar sağlandı. - Daha küçük \(a\) var mı? \(a = 4\) ya da \(5\) için \(b, c\) ikilileri tek tek denendiğinde eşitlik sağlanmaz.
→ Örneğin \(5! = 120\); \(4! \cdot 3! = 144\), \(3! \cdot 2! = 12\). - Cevap \(a = 6\)
→ En küçük değer.
Kontrol
\(6! = 720\), \(5! \cdot 3! = 120 \cdot 6 = 720\) ✓
Sık yapılan hata
Bilinen \(10! = 7! \cdot 6!\) örneğini hatırlayıp \(10\) demek. Bu da bir çözümdür ama en küçüğü değildir.