100 faktöriyelin 12 kuvvetine bölünmesi
\(100!\) sayısı \(12^n\) ile tam bölünebildiğine göre \(n\) doğal sayısının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(100! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 100\)
- \(12^n = 2^{2n} \cdot 3^n\)
Ne soruluyor?
\(n\) en fazla kaçtır?
Çözüm
- \(100!\) içindeki \(2\) çarpanı: \(50 + 25 + 12 + 6 + 3 + 1 = 97\)
→ \(\lfloor 100/2 \rfloor + \lfloor 100/4 \rfloor + \dots\) - \(3\) çarpanı: \(33 + 11 + 3 + 1 = 48\)
→ \(\lfloor 100/3 \rfloor + \lfloor 100/9 \rfloor + \lfloor 100/27 \rfloor + \lfloor 100/81 \rfloor\) - \(2^{2n}\) için \(2n \le 97\) → \(n \le 48\); \(3^n\) için \(n \le 48\)
→ İki koşul birlikte. - En büyük \(n = 48\)
→ İki sınırın küçüğü.
Kontrol
\(2^{96} \cdot 3^{48}\) sayısı \(100!\)'i böler, \(3^{49}\) bölmez ✓
Sık yapılan hata
\(12\)'yi asal sanıp \(\lfloor 100/12 \rfloor = 8\) demek ya da \(12 = 2^2 \cdot 3\) iken yalnızca \(2\)'lere bakıp \(97\) (ya da \(97/2\)) almak.