Faktöriyelin sonundaki sıfırlar
\(n!\) sayısının sonunda tam olarak \(12\) tane sıfır bulunmaktadır. Buna göre \(n\) kaç farklı değer alabilir?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n!\) sonunda tam \(12\) sıfır
Ne soruluyor?
\(n\) kaç değer alır?
Çözüm
- Sondaki sıfır sayısı, \(n!\) içindeki \(5\) çarpanı sayısıdır: \(\left\lfloor \dfrac{n}{5} \right\rfloor + \left\lfloor \dfrac{n}{25} \right\rfloor + \dots\)
→ Her \(5\), bir \(2\) ile eşleşip \(10\) yapar; \(2\) her zaman daha bol. - \(n = 49\): \(9 + 1 = 10\) sıfır. \(n = 50\): \(10 + 2 = 12\) sıfır
→ \(50 = 2 \cdot 25\), iki tane \(5\) çarpanı birden ekliyor; \(11\) sıfır hiç oluşmuyor. - \(n = 50, 51, 52, 53, 54\) → \(12\) sıfır; \(n = 55\) → \(13\)
→ Bir sonraki \(5\)'in katına kadar sayı değişmez. - Cevap \(5\)
→ Beş değer.
Kontrol
\(54!\): \(10 + 2 = 12\) ✓ \(55!\): \(11 + 2 = 13\) ✓
Sık yapılan hata
\(\left\lfloor \dfrac{n}{25} \right\rfloor\) terimini unutup \(n = 60\) civarında aramak ya da yalnızca en küçük \(n\)'yi bulup \(1\) demek.