KPSS Rasyonel Sayılar Zor Test 1

Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.

Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.

1. 1 Rakamları yer değiştiren iki devirli sayı
   \(a\) ve \(b\) sıfırdan farklı rakamlar olmak üzere \(0{,}\overline{ab} + 0{,}\overline{ba} = 1{,}\overline{2}\) olduğuna göre \(a + b\) kaçtır?
   1. A \(2\)
   2. B \(9\)
   3. C \(10\)
   4. D \(11\)
   5. E \(12\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(0{,}\overline{ab} + 0{,}\overline{ba} = 1{,}\overline{2}\)
   • \(a, b \neq 0\) rakam

   Ne soruluyor?

   \(a + b\) kaçtır?

   Çözüm

   1. \(0{,}\overline{ab} = \dfrac{10a + b}{99}\), \(0{,}\overline{ba} = \dfrac{10b + a}{99}\)
      → İki basamak devrediyor.
   2. Toplam: \(\dfrac{11a + 11b}{99} = \dfrac{a + b}{9}\)
      → \(11\) ile sadeleşti.
   3. \(1{,}\overline{2} = \dfrac{12 - 1}{9} = \dfrac{11}{9}\)
      → Sağ taraf kesre çevrildi.
   4. \(\dfrac{a + b}{9} = \dfrac{11}{9}\) → \(a + b = 11\)
      → Sonuç.

   Kontrol

   \(a = 4\), \(b = 7\): \(\dfrac{47 + 74}{99} = \dfrac{121}{99} = \dfrac{11}{9}\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(1{,}\overline{2}\)'yi \(\dfrac{12}{9}\) alıp \(a + b = 12\) bulmak; tam kısım ile devretmeyen kısım çıkarılmalıdır.

2. 2 İki kesir arasına eşit aralıkla sayı yerleştirme
   Sayı doğrusunda \(\dfrac{1}{4}\) ile \(\dfrac{2}{3}\) arasına, ardışık iki sayı arasındaki uzaklıklar eşit olacak şekilde \(4\) sayı yerleştiriliyor. Yerleştirilen sayılardan küçükten büyüğe doğru üçüncüsü kaçtır?
   1. A \(\dfrac{5}{12}\)
   2. B \(\dfrac{1}{2}\)
   3. C \(\dfrac{11}{20}\)
   4. D \(\dfrac{7}{12}\)
   5. E \(\dfrac{3}{5}\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Uçlar \(\dfrac{1}{4}\) ve \(\dfrac{2}{3}\)
   • Araya \(4\) sayı, eşit aralıklı

   Ne soruluyor?

   Yerleştirilen üçüncü sayı kaçtır?

   Çözüm

   1. \(4\) sayı yerleştirilince uçlar arasında \(5\) eşit aralık oluşur.
      → Aralık sayısı \(=\) ara sayı \(+ 1\).
   2. Uzunluk: \(\dfrac{2}{3} - \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{12}\) → bir aralık \(\dfrac{5}{12} : 5 = \dfrac{1}{12}\)
      → Eşit bölme.
   3. Üçüncü sayı: \(\dfrac{1}{4} + 3 \cdot \dfrac{1}{12} = \dfrac{3}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\)
      → Başlangıçtan üç aralık ilerlenir.

   Kontrol

   Sayılar: \(\dfrac{4}{12}, \dfrac{5}{12}, \dfrac{6}{12}, \dfrac{7}{12}\); sonra \(\dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}\) ✓

   Sık yapılan hata

   Aralık sayısını \(4\) alıp bir aralığı \(\dfrac{5}{48}\) bulmak ya da uç noktayı da sayarak \(\dfrac{5}{12}\)'yi üçüncü sanmak.

3. 3 Tam sayı değerli kesirde pozitif n değerleri
   \(n\) pozitif tam sayı olmak üzere \(\dfrac{3n + 22}{n + 2}\) ifadesinin değeri bir tam sayıdır. Buna göre \(n\)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
   1. A \(20\)
   2. B \(21\)
   3. C \(22\)
   4. D \(24\)
   5. E \(28\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(\dfrac{3n + 22}{n + 2}\) tam sayı
   • \(n\) pozitif tam sayı

   Ne soruluyor?

   \(n\) değerlerinin toplamı kaçtır?

   Çözüm

   1. \(3n + 22 = 3(n + 2) + 16\) → \(\dfrac{3n + 22}{n + 2} = 3 + \dfrac{16}{n + 2}\)
      → Pay, paydanın katı ile bir sabitin toplamı olarak yazıldı.
   2. \(n + 2\), \(16\)'nın bir böleni olmalı: \(1, 2, 4, 8, 16\)
      → Kesir tam sayı olmalı.
   3. \(n \geq 1\) → \(n + 2 \geq 3\) → \(n + 2 \in \{4, 8, 16\}\) → \(n \in \{2, 6, 14\}\)
      → \(n + 2 = 1\) ve \(2\) pozitif \(n\) vermez.
   4. Toplam: \(2 + 6 + 14 = 22\)
      → Sonuç.

   Kontrol

   \(n = 2\): \(\dfrac{28}{4} = 7\); \(n = 6\): \(\dfrac{40}{8} = 5\); \(n = 14\): \(\dfrac{64}{16} = 4\) ✓

   Sık yapılan hata

   Bölenleri bulup \(2\) çıkarmayı unutmak (\(4 + 8 + 16 = 28\)) ya da \(n = -1\) gibi pozitif olmayan değerleri de toplamak.

4. 4 Yarıma çok yakın kesirleri sıralama
   Aşağıdakilerden hangisi \(x = \dfrac{7}{13}\), \(y = \dfrac{11}{21}\) ve \(z = \dfrac{13}{25}\) kesirlerinin küçükten büyüğe doğru yazılışıdır?
   1. A \(x \lt y \lt z\)
   2. B \(z \lt y \lt x\)
   3. C \(y \lt z \lt x\)
   4. D \(z \lt x \lt y\)
   5. E \(x \lt z \lt y\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(x = \dfrac{7}{13}\), \(y = \dfrac{11}{21}\), \(z = \dfrac{13}{25}\)

   Ne soruluyor?

   Sayıların doğru sıralanışı nedir?

   Çözüm

   1. Üç kesir de \(\dfrac{1}{2}\)'ye çok yakın; her birinden \(\dfrac{1}{2}\) çıkaralım.
      → Payda büyük olduğu için ortak payda zahmetli.
   2. \(x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{14 - 13}{26} = \dfrac{1}{26}\), \(y - \dfrac{1}{2} = \dfrac{22 - 21}{42} = \dfrac{1}{42}\), \(z - \dfrac{1}{2} = \dfrac{26 - 25}{50} = \dfrac{1}{50}\)
      → Farklar pozitif; hepsi \(\dfrac{1}{2}\)'den büyük.
   3. \(\dfrac{1}{50} \lt \dfrac{1}{42} \lt \dfrac{1}{26}\)
      → Payı \(1\) olan kesirlerde paydası büyük olan küçüktür.
   4. Buna göre \(z \lt y \lt x\)
      → Sonuç.

   Kontrol

   İçler dışlar: \(13 \cdot 21 = 273 \lt 11 \cdot 25 = 275\) → \(z \lt y\); \(11 \cdot 13 = 143 \lt 7 \cdot 21 = 147\) → \(y \lt x\) ✓

   Sık yapılan hata

   Payı ya da paydası büyük olan kesri büyük sanıp \(x \lt y \lt z\) demek.

5. 5 Üç devirli ondalık sayının toplamı
   \(0{,}1\overline{2} + 0{,}2\overline{3} + 0{,}3\overline{4}\) toplamının sonucu kaçtır?
   1. A \(\dfrac{2}{3}\)
   2. B \(\dfrac{17}{25}\)
   3. C \(\dfrac{69}{100}\)
   4. D \(\dfrac{7}{10}\)
   5. E \(\dfrac{23}{30}\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(0{,}1\overline{2}\), \(0{,}2\overline{3}\), \(0{,}3\overline{4}\)

   Ne soruluyor?

   Toplamın sonucu kaçtır?

   Çözüm

   1. \(0{,}1\overline{2} = \dfrac{12 - 1}{90} = \dfrac{11}{90}\)
      → Bir devretmeyen, bir devreden basamak.
   2. \(0{,}2\overline{3} = \dfrac{23 - 2}{90} = \dfrac{21}{90}\), \(0{,}3\overline{4} = \dfrac{34 - 3}{90} = \dfrac{31}{90}\)
      → Aynı kural.
   3. Toplam: \(\dfrac{11 + 21 + 31}{90} = \dfrac{63}{90} = \dfrac{7}{10}\)
      → \(9\) ile sadeleşti.

   Kontrol

   Basamak basamak: \(0{,}1222\ldots + 0{,}2333\ldots + 0{,}3444\ldots = 0{,}6999\ldots = 0{,}7\) ✓

   Sık yapılan hata

   Devreden kısımları yok sayıp \(0{,}12 + 0{,}23 + 0{,}34 = 0{,}69\) bulmak; \(0{,}69\overline{9}\) aslında \(0{,}7\)'ye eşittir.

6. 6 Paydası 24 olan sadeleşmeyen ara kesirler
   \(\dfrac{1}{3}\) ile \(\dfrac{3}{4}\) arasında bulunan, paydası \(24\) olan ve sadeleştirilemeyen kaç kesir vardır?
   1. A \(1\)
   2. B \(2\)
   3. C \(3\)
   4. D \(4\)
   5. E \(5\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Kesir \(\dfrac{x}{24}\)
   • \(\dfrac{1}{3} \lt \dfrac{x}{24} \lt \dfrac{3}{4}\)
   • Sadeleşmiyor

   Ne soruluyor?

   Kaç tane \(x\) vardır?

   Çözüm

   1. \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{8}{24}\), \(\dfrac{3}{4} = \dfrac{18}{24}\) → \(8 \lt x \lt 18\)
      → Paydalar \(24\) yapıldı.
   2. Adaylar: \(9, 10, 11, \dots, 17\) (\(9\) sayı)
      → Sınırlar dahil değil.
   3. \(24 = 2^3 \cdot 3\) → \(x\) tek olmalı ve \(3\)'e bölünmemeli.
      → Sadeleşmeme şartı.
   4. Tek olanlar \(9, 11, 13, 15, 17\); \(3\)'ün katları \(9\) ve \(15\) atılınca \(11, 13, 17\) → \(3\) kesir
      → Sonuç.

   Kontrol

   \(\dfrac{11}{24} \approx 0{,}46\), \(\dfrac{13}{24} \approx 0{,}54\), \(\dfrac{17}{24} \approx 0{,}71\); hepsi \(0{,}33\) ile \(0{,}75\) arasında ✓

   Sık yapılan hata

   Sadeleşme şartını unutup \(9\) demek ya da yalnızca çiftleri atıp \(5\) demek.

7. 7 Farklı rakamlarla iki kesrin en küçük toplamı
   \(a\), \(b\), \(c\) ve \(d\) sıfırdan ve birbirinden farklı rakamlardır. Buna göre \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\) toplamının alabileceği en küçük değer kaçtır?
   1. A \(\dfrac{3}{17}\)
   2. B \(\dfrac{5}{18}\)
   3. C \(\dfrac{7}{24}\)
   4. D \(\dfrac{1}{3}\)
   5. E \(\dfrac{25}{72}\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(a, b, c, d \in \{1, 2, \dots, 9\}\), hepsi farklı

   Ne soruluyor?

   \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{d}\) en az kaçtır?

   Çözüm

   1. Toplamın küçük olması için paylar en küçük (\(1\) ve \(2\)), paydalar en büyük (\(8\) ve \(9\)) seçilmeli.
      → Pay küçüldükçe, payda büyüdükçe kesir küçülür.
   2. İki yerleşim var: \(\dfrac{1}{8} + \dfrac{2}{9} = \dfrac{9 + 16}{72} = \dfrac{25}{72}\) ve \(\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{8 + 18}{72} = \dfrac{26}{72}\)
      → Hangisinin küçük olduğu hesaplanmalı.
   3. En küçük değer \(\dfrac{25}{72}\)
      → Büyük pay, büyük paydaya yazılınca toplam küçülür.

   Kontrol

   \(\dfrac{25}{72} \approx 0{,}347 \lt \dfrac{26}{72} \approx 0{,}361\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(1\)'i en büyük paydaya yazmak gerektiğini düşünüp \(\dfrac{1}{9} + \dfrac{2}{8} = \dfrac{13}{36}\) bulmak.

8. 8 Ondalık açılımı sonlu olan kesirleri sayma
   \(a\) pozitif tam sayı ve \(a \lt 60\) olmak üzere, \(\dfrac{a}{60}\) kesrinin ondalık açılımı sonlu (devirsiz) olacak şekilde kaç farklı \(a\) değeri vardır?
   1. A \(19\)
   2. B \(20\)
   3. C \(21\)
   4. D \(23\)
   5. E \(29\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(\dfrac{a}{60}\)
   • \(1 \leq a \leq 59\)

   Ne soruluyor?

   Kaç \(a\) için ondalık açılım sonludur?

   Çözüm

   1. En sade kesrin paydasında \(2\) ve \(5\)'ten başka asal çarpan yoksa açılım sonludur.
      → Çünkü payda \(10\)'un bir kuvvetine genişletilebilir.
   2. \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\) → paydadaki \(3\) sadeleşerek gitmeli.
      → Yani \(a\), \(3\)'ün katı olmalı.
   3. \(a \in \{3, 6, 9, \dots, 57\}\) → \(\dfrac{57}{3} = 19\) değer
      → Sayma.

   Kontrol

   \(\dfrac{3}{60} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05\) ✓; \(\dfrac{1}{60} = 0{,}01\overline{6}\) devirli ✓

   Sık yapılan hata

   Paydada \(3\) olduğu için hiçbir kesrin sonlu olmayacağını sanmak ya da \(60\)'la aralarında asal \(a\) değerlerini saymak.

9. 9 İki devirli sayıyla çarpımı tam sayı yapan sayı
   \(0{,}1\overline{6} \cdot x\) ve \(0{,}\overline{27} \cdot x\) ifadelerinin ikisinin de tam sayı olmasını sağlayan en küçük pozitif tam sayı \(x\) kaçtır?
   1. A \(33\)
   2. B \(66\)
   3. C \(73\)
   4. D \(99\)
   5. E \(132\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(0{,}1\overline{6} \cdot x\) tam sayı
   • \(0{,}\overline{27} \cdot x\) tam sayı

   Ne soruluyor?

   En küçük pozitif \(x\) kaçtır?

   Çözüm

   1. \(0{,}1\overline{6} = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}\)
      → Devirli sayı kesre çevrildi.
   2. \(0{,}\overline{27} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}\)
      → İki basamak devrediyor.
   3. \(\dfrac{x}{6}\) tam sayı → \(6 \mid x\); \(\dfrac{3x}{11}\) tam sayı → \(11 \mid x\)
      → \(3\) ile \(11\) aralarında asal.
   4. En küçük \(x = \) EKOK\((6, 11) = 66\)
      → Sonuç.

   Kontrol

   \(\dfrac{66}{6} = 11\) ✓ ve \(\dfrac{3 \cdot 66}{11} = 18\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(0{,}1\overline{6}\)'yı \(\dfrac{16}{99}\) alıp paydadaki \(99\)'u aramak ya da sadeleştirmeden \(90\) ile \(99\)'un EKOK'unu almak.

10. 10 Basit kesrin değişimiyle ilgili öncüller
    \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar ve \(a \lt b\) olmak üzere,
    I. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a + 1}{b + 1}\)
    II. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a}{b + 1}\)
    III. \(\dfrac{a}{b} \lt \dfrac{a + b}{2b}\)
    ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
    1. A I ve III
    2. B Yalnız I
    3. C Yalnız II
    4. D I ve II
    5. E I, II ve III
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(0 \lt a \lt b\), yani \(\dfrac{a}{b}\) basit kesir

    Ne soruluyor?

    Hangi eşitsizlikler her zaman doğru?

    Çözüm

    1. I: \(\dfrac{a + 1}{b + 1} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{b(a + 1) - a(b + 1)}{b(b + 1)} = \dfrac{b - a}{b(b + 1)} \gt 0\)
       → Basit kesrin payına ve paydasına aynı pozitif sayı eklenirse kesir büyür. Doğru.
    2. II: Pay aynı, payda büyüdü → \(\dfrac{a}{b + 1} \lt \dfrac{a}{b}\)
       → Eşitsizlik ters yönde. Yanlış.
    3. III: \(\dfrac{a + b}{2b} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{a + b - 2a}{2b} = \dfrac{b - a}{2b} \gt 0\)
       → \(\dfrac{a + b}{2b}\), \(\dfrac{a}{b}\) ile \(1\)'in ortalamasıdır. Doğru.
    4. Her zaman doğru olanlar: I ve III
       → Sonuç.

    Kontrol

    \(a = 1\), \(b = 2\): I. \(\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{2}{3}\) ✓, II. \(\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{1}{3}\) ✗, III. \(\dfrac{1}{2} \lt \dfrac{3}{4}\) ✓

    Sık yapılan hata

    I. ifadede pay ve paydaya aynı sayı eklenince kesrin değişmeyeceğini sanmak; bu yalnızca genişletmede (çarpmada) geçerlidir.

← Tüm testler