KPSS Rasyonel Sayılar Çok Zor Test 1

Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.

Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.

1. 1 Ardışık tek sayılarla kurulan kesir toplamı
   \(\dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{12}{25}\) olduğuna göre \(n\) kaçtır?
   1. A \(11\)
   2. B \(12\)
   3. C \(13\)
   4. D \(24\)
   5. E \(25\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Toplam \(\dfrac{12}{25}\)

   Ne soruluyor?

   \(n\) kaçtır?

   Çözüm

   1. \(\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)\)
      → Basit kesirlere ayırma; paydalar farkı \(2\).
   2. Toplamda ara terimler birbirini götürür: \(\dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}\)
      → Teleskopik toplam.
   3. \(\dfrac{n}{2n+1} = \dfrac{12}{25}\) → \(25n = 24n + 12\) → \(n = 12\)
      → İçler dışlar çarpımı.

   Kontrol

   \(n = 12\): \(\dfrac{12}{25}\) ✓ (\(2n + 1 = 25\))

   Sık yapılan hata

   \(\dfrac{1}{2}\) katsayısını unutup \(1 - \dfrac{1}{2n+1} = \dfrac{12}{25}\) yazmak; bu \(2n + 1 = \dfrac{25}{13}\) gibi anlamsız bir sonuç verir. Paydadaki \(25\)'i doğrudan \(n\) sanmak da sık görülür.

2. 2 İç içe kesirde bilinmeyeni bulma
   \(1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}} = \dfrac{13}{8}\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
   1. A \(\dfrac{3}{5}\)
   2. B \(\dfrac{2}{3}\)
   3. C \(\dfrac{3}{2}\)
   4. D \(\dfrac{5}{3}\)
   5. E \(2\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{x}}} = \dfrac{13}{8}\)

   Ne soruluyor?

   \(x\) kaçtır?

   Çözüm

   1. En dıştan başlayalım: \(\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \frac{1}{x}}} = \dfrac{13}{8} - 1 = \dfrac{5}{8}\)
      → \(1\) karşı tarafa atıldı.
   2. \(1 + \cfrac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \dfrac{8}{5}\) → \(\cfrac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \dfrac{3}{5}\)
      → Ters çevrildi.
   3. \(1 + \dfrac{1}{x} = \dfrac{5}{3}\) → \(\dfrac{1}{x} = \dfrac{2}{3}\) → \(x = \dfrac{3}{2}\)
      → Aynı adım bir kez daha.

   Kontrol

   \(x = \dfrac{3}{2}\): \(1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3}\), \(1 + \dfrac{3}{5} = \dfrac{8}{5}\), \(1 + \dfrac{5}{8} = \dfrac{13}{8}\) ✓

   Sık yapılan hata

   Ters çevirme adımında kesri ters çevirmeyi unutmak ya da \(1\)'i çıkarmadan ters çevirmek. Her katta önce \(1\) çıkarılır, sonra ters çevrilir.

3. 3 Devirli ondalık sayılarla bilinmeyen
   \(0{,}2\overline{7} \cdot x = 0{,}\overline{5}\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
   1. A \(\dfrac{3}{2}\)
   2. B \(2\)
   3. C \(\dfrac{55}{27}\)
   4. D \(\dfrac{5}{2}\)
   5. E \(3\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(0{,}2\overline{7} \cdot x = 0{,}\overline{5}\)

   Ne soruluyor?

   \(x\) kaçtır?

   Çözüm

   1. \(0{,}2\overline{7} = \dfrac{27 - 2}{90} = \dfrac{25}{90} = \dfrac{5}{18}\)
      → Devirli sayı: (tüm sayı \(-\) devretmeyen kısım) / (devreden basamak kadar 9, devretmeyen kadar 0).
   2. \(0{,}\overline{5} = \dfrac{5}{9}\)
      → Aynı kural.
   3. \(x = \dfrac{5}{9} \div \dfrac{5}{18} = \dfrac{5}{9} \cdot \dfrac{18}{5} = 2\)
      → Bölme, ters çevirip çarpma.

   Kontrol

   \(\dfrac{5}{18} \cdot 2 = \dfrac{5}{9} = 0{,}\overline{5}\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(0{,}2\overline{7}\)'yi \(\dfrac{27}{99}\) sanmak (devretmeyen \(2\)'yi atlamak). Bu, \(x = \dfrac{55}{27}\) gibi yanlış bir sonuç verir.

4. 4 Bir eksik kesirlerin çarpımı
   \(\left(1 - \dfrac{1}{4}\right)\left(1 - \dfrac{1}{9}\right)\left(1 - \dfrac{1}{16}\right) \cdots \left(1 - \dfrac{1}{100}\right)\) çarpımının sonucu kaçtır?
   1. A \(\dfrac{9}{20}\)
   2. B \(\dfrac{1}{2}\)
   3. C \(\dfrac{101}{200}\)
   4. D \(\dfrac{11}{20}\)
   5. E \(\dfrac{3}{5}\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Çarpanlar \(1 - \dfrac{1}{k^2}\), \(k = 2, 3, \dots, 10\)

   Ne soruluyor?

   Çarpımın sonucu?

   Çözüm

   1. \(1 - \dfrac{1}{k^2} = \dfrac{(k-1)(k+1)}{k \cdot k}\)
      → Kareler farkı.
   2. Çarpımı iki parçaya ayıralım: \(\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} \cdots \dfrac{9}{10}\) ve \(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdots \dfrac{11}{10}\)
      → Her çarpan iki kesre bölündü.
   3. İlk parça \(\dfrac{1}{10}\), ikinci parça \(\dfrac{11}{2}\)
      → Ardışık terimler sadeleşir.
   4. Sonuç \(\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{11}{2} = \dfrac{11}{20}\)
      → Çarpma.

   Kontrol

   \(k = 2, 3\) için: \(\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{8}{9} = \dfrac{2}{3}\) ve formül \(\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{2} = \dfrac{2}{3}\) ✓

   Sık yapılan hata

   Son çarpanı \(1 - \dfrac{1}{100}\) yerine \(1 - \dfrac{1}{10}\) sanıp \(k\)'yi \(100\)'e kadar götürmek; bu \(\dfrac{101}{200}\) verir.

5. 5 Birbirine yakın kesirlerden en büyüğü
   Aşağıdaki kesirlerden hangisi en büyüktür?
   1. A \(\dfrac{23}{29}\)
   2. B \(\dfrac{7}{9}\)
   3. C \(\dfrac{11}{14}\)
   4. D \(\dfrac{15}{19}\)
   5. E \(\dfrac{19}{24}\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(\dfrac{7}{9}, \dfrac{11}{14}, \dfrac{15}{19}, \dfrac{19}{24}, \dfrac{23}{29}\)

   Ne soruluyor?

   En büyük kesir hangisi?

   Çözüm

   1. Her kesri \(1\)'den çıkaralım: \(\dfrac{2}{9}, \dfrac{3}{14}, \dfrac{4}{19}, \dfrac{5}{24}, \dfrac{6}{29}\)
      → \(1\)'e uzaklık küçüldükçe kesir büyür.
   2. Bu farkları karşılaştırmak için pay/payda oranına bakalım: \(\dfrac{2}{9} \approx 0{,}222\), \(\dfrac{3}{14} \approx 0{,}214\), \(\dfrac{4}{19} \approx 0{,}211\), \(\dfrac{5}{24} \approx 0{,}208\), \(\dfrac{6}{29} \approx 0{,}207\)
      → Farklar giderek küçülüyor.
   3. En küçük fark \(\dfrac{6}{29}\) → en büyük kesir \(\dfrac{23}{29}\)
      → Sonuç.

   Kontrol

   İçler dışlar: \(\dfrac{23}{29}\) ile \(\dfrac{19}{24}\): \(23 \cdot 24 = 552 \gt 19 \cdot 29 = 551\) ✓

   Sık yapılan hata

   Payı ya da paydası en büyük olanı otomatik olarak en büyük kesir sanmak. Burada doğru sonuç verse de gerekçe yanlıştır; \(1\)'e uzaklık yöntemiyle kontrol edilmeli.

6. 6 Devirli sayıların toplamının farkına oranı
   \(a = 0{,}\overline{3}\) ve \(b = 0{,}1\overline{6}\) olduğuna göre \(\dfrac{a + b}{a - b}\) kaçtır?
   1. A \(2\)
   2. B \(\dfrac{5}{2}\)
   3. C \(3\)
   4. D \(4\)
   5. E \(5\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(a = 0{,}\overline{3}\)
   • \(b = 0{,}1\overline{6}\)

   Ne soruluyor?

   \(\dfrac{a + b}{a - b}\)?

   Çözüm

   1. \(a = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}\)
      → Devirli sayı kuralı.
   2. \(b = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac{1}{6}\)
      → Devretmeyen \(1\) çıkarıldı.
   3. \(\dfrac{\frac{1}{3} + \frac{1}{6}}{\frac{1}{3} - \frac{1}{6}} = \dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{6}} = 3\)
      → Hesap.

   Kontrol

   \(0{,}5 \div 0{,}1\overline{6} = 3\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(0{,}1\overline{6}\)'yı \(\dfrac{16}{99}\) ya da \(\dfrac{16}{90}\) almak; devretmeyen kısmı çıkarmayı unutmak.

7. 7 Devirli sayıya eşit kesirde bilinmeyen
   \(\dfrac{x}{x + 1} = 0{,}\overline{81}\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
   1. A \(\dfrac{2}{9}\)
   2. B \(\dfrac{9}{11}\)
   3. C \(\dfrac{7}{2}\)
   4. D \(4\)
   5. E \(\dfrac{9}{2}\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(\dfrac{x}{x+1} = 0{,}\overline{81}\)

   Ne soruluyor?

   \(x\) kaçtır?

   Çözüm

   1. \(0{,}\overline{81} = \dfrac{81}{99} = \dfrac{9}{11}\)
      → Sadeleştirme.
   2. \(11x = 9x + 9\) → \(x = \dfrac{9}{2}\)
      → İçler dışlar çarpımı.

   Kontrol

   \(\dfrac{4{,}5}{5{,}5} = \dfrac{9}{11} = 0{,}\overline{81}\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(0{,}\overline{81}\)'i \(\dfrac{81}{100}\) almak ya da sadeleştirmeden \(\dfrac{x}{x+1} = \dfrac{81}{99}\) yazıp \(x = 81\) sanmak.

8. 8 Bir fazla kesirlerin çarpımından terim sayısı
   \(\left(1 + \dfrac{1}{2}\right)\left(1 + \dfrac{1}{3}\right)\left(1 + \dfrac{1}{4}\right) \cdots \left(1 + \dfrac{1}{n}\right) = 12\) olduğuna göre \(n\) kaçtır?
   1. A \(11\)
   2. B \(12\)
   3. C \(22\)
   4. D \(23\)
   5. E \(24\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Çarpım \(12\)

   Ne soruluyor?

   \(n\) kaçtır?

   Çözüm

   1. \(1 + \dfrac{1}{k} = \dfrac{k + 1}{k}\)
      → Her çarpan tek kesir.
   2. \(\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \cdot \dfrac{5}{4} \cdots \dfrac{n+1}{n} = \dfrac{n + 1}{2}\)
      → Pay ve paydalar zincirleme sadeleşir.
   3. \(\dfrac{n + 1}{2} = 12\) → \(n = 23\)
      → Denklem.

   Kontrol

   \(n = 23\): \(\dfrac{24}{2} = 12\) ✓

   Sık yapılan hata

   Çarpımın ilk teriminin \(1 + \dfrac{1}{2}\) olduğunu unutup sonucu \(n + 1\) sanmak (\(n = 11\)) ya da \(\dfrac{n}{2} = 12\) yazıp \(24\) demek.

9. 9 İki kesir arasına giren kesirlerin sayısı
   \(x\) bir tam sayı olmak üzere \(\dfrac{3}{7} \lt \dfrac{x}{21} \lt \dfrac{5}{8}\) eşitsizliğini sağlayan kaç farklı \(x\) değeri vardır?
   1. A \(3\)
   2. B \(4\)
   3. C \(5\)
   4. D \(6\)
   5. E \(13\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(\dfrac{3}{7} \lt \dfrac{x}{21} \lt \dfrac{5}{8}\)

   Ne soruluyor?

   Kaç tam sayı \(x\) var?

   Çözüm

   1. Her tarafı \(21\) ile çarpalım: \(9 \lt x \lt \dfrac{105}{8}\)
      → \(21\) pozitif, yönler değişmez.
   2. \(\dfrac{105}{8} = 13{,}125\)
      → Ondalık.
   3. \(x \in \{10, 11, 12, 13\}\) → \(4\) değer
      → Kesin eşitsizlik: \(9\) dahil değil.

   Kontrol

   \(\dfrac{13}{21} \approx 0{,}619 \lt 0{,}625\) ✓ \(\dfrac{14}{21} \approx 0{,}667\) ✗

   Sık yapılan hata

   \(9\)'u da saymak ya da \(\dfrac{105}{8}\)'i \(13\) değil \(12\) sanıp \(13\)'ü dışarıda bırakmak.

10. 10 Devirli sayının sadeleşmiş kesrinde pay ve payda
    \(0{,}1\overline{36}\) sayısı sadeleşmiş \(\dfrac{a}{b}\) kesri biçiminde yazılırsa \(a + b\) kaç olur?
    1. A \(15\)
    2. B \(21\)
    3. C \(25\)
    4. D \(27\)
    5. E \(31\)
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • \(0{,}1\overline{36}\)

    Ne soruluyor?

    \(a + b\)?

    Çözüm

    1. Devirli sayı: \(\dfrac{136 - 1}{990} = \dfrac{135}{990}\)
       → Paydada devreden iki basamak için iki \(9\), devretmeyen bir basamak için bir \(0\).
    2. \(\dfrac{135}{990} = \dfrac{27}{198} = \dfrac{3}{22}\)
       → \(5\) ve \(9\) ile sadeleştirildi.
    3. \(a + b = 3 + 22 = 25\)
       → Toplam.

    Kontrol

    \(3 \div 22 = 0{,}13636\dots\) ✓

    Sık yapılan hata

    Sadeleştirmeden \(135 + 990 = 1125\) demek ya da paydayı \(999\) alıp \(\dfrac{136}{999}\) yazmak.

← Tüm testler