Ardışık tek sayılarla kurulan kesir toplamı
\(\dfrac{1}{1 \cdot 3} + \dfrac{1}{3 \cdot 5} + \dfrac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \dfrac{12}{25}\) olduğuna göre \(n\) kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam \(\dfrac{12}{25}\)
Ne soruluyor?
\(n\) kaçtır?
Çözüm
- \(\dfrac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{2k-1} - \dfrac{1}{2k+1}\right)\)
→ Basit kesirlere ayırma; paydalar farkı \(2\). - Toplamda ara terimler birbirini götürür: \(\dfrac{1}{2}\left(1 - \dfrac{1}{2n+1}\right) = \dfrac{n}{2n+1}\)
→ Teleskopik toplam. - \(\dfrac{n}{2n+1} = \dfrac{12}{25}\) → \(25n = 24n + 12\) → \(n = 12\)
→ İçler dışlar çarpımı.
Kontrol
\(n = 12\): \(\dfrac{12}{25}\) ✓ (\(2n + 1 = 25\))
Sık yapılan hata
\(\dfrac{1}{2}\) katsayısını unutup \(1 - \dfrac{1}{2n+1} = \dfrac{12}{25}\) yazmak; bu \(2n + 1 = \dfrac{25}{13}\) gibi anlamsız bir sonuç verir. Paydadaki \(25\)'i doğrudan \(n\) sanmak da sık görülür.