KPSS Kümeler Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
Bir grupta A dergisini \(22\), B dergisini \(18\), C dergisini \(20\) kişi okuyor. A ve B'yi okuyan \(6\), A ve C'yi okuyan \(7\), B ve C'yi okuyan \(5\) kişi; üç dergiyi de okuyan \(3\) kişidir. Bu dergilerden yalnızca birini okuyan kaç kişi vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 22\), \(s(B) = 18\), \(s(C) = 20\)
- İkili kesişimler \(6\), \(7\), \(5\) (üçü dahil)
- Üçünün kesişimi \(3\)
Ne soruluyor?
Yalnızca bir dergi okuyanların sayısı.
Çözüm
- Yalnız A ve B: \(6 - 3 = 3\); yalnız A ve C: \(7 - 3 = 4\); yalnız B ve C: \(5 - 3 = 2\)
→ İkili kesişimlerden üçlüyü çıkar. - Yalnız A: \(22 - 3 - 4 - 3 = 12\); yalnız B: \(18 - 3 - 2 - 3 = 10\); yalnız C: \(20 - 4 - 2 - 3 = 11\)
→ Her kümeden diğer bölgeler çıkarılır. - \(12 + 10 + 11 = 33\)
→ Sonuç: \(33\).
Kontrol
Tüm bölgeler: \(33 + (3 + 4 + 2) + 3 = 45\) = \(22 + 18 + 20 - 6 - 7 - 5 + 3\) ✓
Sık yapılan hata
İkili kesişimlerden üçlüyü çıkarmayı unutup yalnız A'yı \(22 - 6 - 7 = 9\) gibi hesaplamak.
-
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}\) kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde \(1\) ya da \(2\) elemanlarından en az biri bulunur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) = 7\)
Ne soruluyor?
\(1\) ya da \(2\) içeren alt kümelerin sayısı.
Çözüm
- Tüm alt kümeler: \(2^7 = 128\)
→ Toplam. - İkisini de içermeyenler: \(\{3, 4, 5, 6, 7\}\)'nin alt kümeleri → \(2^5 = 32\)
→ Tümleyen sayım. - \(128 - 32 = 96\)
→ Sonuç: \(96\).
Kontrol
İçerme–dışarma: \(1\) içeren \(64\) + \(2\) içeren \(64\) − ikisini içeren \(32\) = \(96\) ✓
Sık yapılan hata
\(1\) içerenlerle \(2\) içerenleri toplayıp ortakları çıkarmamak (\(128\)) ya da yalnızca birini içerenleri saymak (\(64\)).
-
\(s(A) + s(B) = 15\) ve \(A \cup B\) kümesinin alt küme sayısı \(1024\) olduğuna göre \(s(A \cap B)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) + s(B) = 15\)
- \(A \cup B\)'nin alt küme sayısı \(1024\)
Ne soruluyor?
\(s(A \cap B)\).
Çözüm
- \(2^n = 1024 = 2^{10}\) → \(s(A \cup B) = 10\)
→ Alt küme sayısından eleman sayısı. - \(s(A \cup B) = s(A) + s(B) - s(A \cap B)\) → \(10 = 15 - s(A \cap B)\)
→ Birleşim formülü. - \(s(A \cap B) = 5\)
→ Sonuç: \(5\).
Kontrol
Örnek: \(s(A) = 8\), \(s(B) = 7\), kesişim \(5\) → birleşim \(10\), alt küme sayısı \(1024\) ✓
Sık yapılan hata
\(1024\)'ün üssünü (\(10\)) doğrudan cevap sanmak.
-
\(A\) kümesinin alt küme sayısı, \(B\) kümesinin alt küme sayısından \(56\) fazladır. Buna göre \(s(A) + s(B)\) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2^{s(A)} - 2^{s(B)} = 56\)
Ne soruluyor?
\(s(A) + s(B)\).
Çözüm
- \(2^a - 2^b = 2^b(2^{a - b} - 1) = 56 = 8 \cdot 7\)
→ Ortak çarpan parantezine al. - \(2^b = 8\) → \(b = 3\); \(2^{a - b} - 1 = 7\) → \(a - b = 3\) → \(a = 6\)
→ \(7\) tek sayı, \(8\) ikinin kuvveti. - \(s(A) + s(B) = 6 + 3 = 9\)
→ Sonuç: \(9\).
Kontrol
\(2^6 - 2^3 = 64 - 8 = 56\) ✓
Sık yapılan hata
\(56\)'yı \(64 - 8\) yerine başka ikinin kuvvetleriyle yazmaya çalışıp \(a - b\)'yi cevap sanmak (\(3\)).
-
\(s(A \times B) = 24\) ve \(s(B \times B) = 16\) olduğuna göre \(A\) kümesinin alt küme sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A) \cdot s(B) = 24\)
- \(s(B) \cdot s(B) = 16\)
Ne soruluyor?
\(A\)'nın alt küme sayısı.
Çözüm
- \(s(B)^2 = 16\) → \(s(B) = 4\)
→ Eleman sayısı negatif olamaz. - \(s(A) \cdot 4 = 24\) → \(s(A) = 6\)
→ Birinci eşitlik. - Alt küme sayısı \(2^6 = 64\)
→ Sonuç: \(64\).
Kontrol
\(6 \cdot 4 = 24\) ✓ \(4 \cdot 4 = 16\) ✓
Sık yapılan hata
\(s(A) = 6\)'yı bulup alt küme sayısı yerine \(s(A \times A) = 36\) ya da \(2^5 = 32\) yazmak.
-
Bir sınıftaki öğrencilerin \(\dfrac{3}{5}\)'i gözlüklü, \(\dfrac{1}{3}\)'ü kızdır. Gözlüklü kız öğrenci sayısı \(4\), gözlüksüz erkek öğrenci sayısı \(10\) olduğuna göre sınıfta kaç öğrenci vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sınıf mevcudu \(n\)
- Gözlüklü \(\dfrac{3n}{5}\), kız \(\dfrac{n}{3}\)
- Gözlüklü kız \(4\), gözlüksüz erkek \(10\)
Ne soruluyor?
Sınıf mevcudu \(n\).
Çözüm
- Gözlüklü ya da kız olanlar: \(\dfrac{3n}{5} + \dfrac{n}{3} - 4 = \dfrac{14n}{15} - 4\)
→ Birleşim formülü. - Bu gruba girmeyenler gözlüksüz erkeklerdir: \(n - \left(\dfrac{14n}{15} - 4\right) = \dfrac{n}{15} + 4 = 10\)
→ Tümleyen. - \(\dfrac{n}{15} = 6\) → \(n = 90\)
→ Sonuç: \(90\).
Kontrol
\(n = 90\): gözlüklü \(54\), kız \(30\), gözlüklü erkek \(50\), erkek \(60\), gözlüksüz erkek \(60 - 50 = 10\) ✓
Sık yapılan hata
Gözlüklü kızları çıkarmayı unutup \(\dfrac{n}{15} = 10\) → \(n = 150\) gibi bir sonuca gitmek ya da \(4\)'ü ters işaretle alıp \(\dfrac{n}{15} - 4 = 10\) → \(n = 210\) bulmak.
-
\(s(A \setminus B) = 3 \cdot s(A \cap B)\), \(s(B \setminus A) = 2 \cdot s(A \cap B)\) ve \(s(A \cup B) = 36\) olduğuna göre \(s(B)\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(s(A \cap B) = k\)
- \(s(A \setminus B) = 3k\), \(s(B \setminus A) = 2k\)
- \(s(A \cup B) = 36\)
Ne soruluyor?
\(s(B)\).
Çözüm
- Birleşim üç ayrık parçadan oluşur: \(3k + k + 2k = 6k = 36\)
→ Yalnız A, ortak, yalnız B. - \(k = 6\)
→ Kesişim. - \(s(B) = s(B \setminus A) + s(A \cap B) = 12 + 6 = 18\)
→ Sonuç: \(18\).
Kontrol
\(s(A) = 18 + 6 = 24\), \(s(B) = 18\): \(24 + 18 - 6 = 36\) ✓
Sık yapılan hata
\(s(B)\) yerine \(s(B \setminus A) = 12\)'yi cevap sanmak.
-
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinin elemanlarının toplamı \(10\)'dur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\)
- Elemanların toplamı \(10\)
Ne soruluyor?
Bu alt kümelerin sayısı.
Çözüm
- \(2\) elemanlı: \(\{4, 6\}\)
→ \(5 + 5\) olamaz, elemanlar farklı. - \(3\) elemanlı: \(\{1, 3, 6\}, \{1, 4, 5\}, \{2, 3, 5\}\)
→ Sistemli tarama. - \(4\) elemanlı: \(\{1, 2, 3, 4\}\); \(5\) elemanlı en küçük toplam \(15\) olduğundan yok
→ Üst sınır. - Toplam \(1 + 3 + 1 = 5\) alt küme
→ Sonuç: \(5\).
Kontrol
Her birinin toplamı: \(4 + 6\), \(1 + 3 + 6\), \(1 + 4 + 5\), \(2 + 3 + 5\), \(1 + 2 + 3 + 4\) → hepsi \(10\) ✓
Sık yapılan hata
\(4\) elemanlı \(\{1, 2, 3, 4\}\)'ü gözden kaçırıp \(4\) bulmak.
-
\(40\) öğrencinin her biri resim, müzik ve dans kurslarından en az birine gidiyor. Resim kursuna \(20\), müzik kursuna \(18\), dans kursuna \(16\) öğrenci gidiyor ve \(4\) öğrenci üç kursa da katılıyor. Tam olarak iki kursa giden kaç öğrenci vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Toplam \(40\), herkes en az bir kursta
- \(20 + 18 + 16 = 54\) kayıt
- Üç kursa giden \(4\)
Ne soruluyor?
Tam iki kursa gidenlerin sayısı.
Çözüm
- Tek kursa giden \(t_1\), iki kursa giden \(t_2\), üç kursa giden \(t_3 = 4\) olsun: \(t_1 + t_2 + 4 = 40\)
→ Kişi sayısı. - Kayıt sayısı: \(t_1 + 2t_2 + 3 \cdot 4 = 54\)
→ Her kişi gittiği kurs sayısı kadar sayılır. - Çıkarınca: \(t_2 + 2 \cdot 4 = 14\) → \(t_2 = 6\)
→ Sonuç: \(6\).
Kontrol
\(t_1 = 30\), \(t_2 = 6\), \(t_3 = 4\): \(30 + 12 + 12 = 54\) ✓ \(30 + 6 + 4 = 40\) ✓
Sık yapılan hata
Kayıt fazlasını (\(54 - 40 = 14\)) doğrudan iki kursa gidenler sanmak; üç kursa gidenler iki kez fazla sayılır.
-
\(A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) kümesinin alt kümelerinden kaç tanesinde en az bir tek sayı ve en az bir çift sayı bulunur?
Çözümü Göster
Verilenler
- Tekler \(\{1, 3, 5\}\)
- Çiftler \(\{2, 4, 6\}\)
Ne soruluyor?
Her iki türden de eleman içeren alt kümelerin sayısı.
Çözüm
- Tek sayılardan boş olmayan seçim: \(2^3 - 1 = 7\)
→ En az bir tek sayı. - Çift sayılardan boş olmayan seçim: \(2^3 - 1 = 7\)
→ En az bir çift sayı. - Seçimler bağımsız: \(7 \cdot 7 = 49\)
→ Sonuç: \(49\).
Kontrol
Tümleyenle: \(64 - \) (tek içermeyen \(8\)) \(-\) (çift içermeyen \(8\)) \(+\) (boş küme \(1\)) \(= 49\) ✓
Sık yapılan hata
Boş kümeyi iki kez çıkarıp \(64 - 8 - 8 = 48\) bulmak.