KPSS Köklü Sayılar Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
Ardışık doğal sayıların karekökleri arasındaki \(a = \sqrt{2} - 1\), \(b = \sqrt{3} - \sqrt{2}\), \(c = 2 - \sqrt{3}\) farkları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = \sqrt{2} - 1\), \(b = \sqrt{3} - \sqrt{2}\), \(c = 2 - \sqrt{3}\)
Ne soruluyor?
Küçükten büyüğe sıralama.
Çözüm
- \(a = \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}\), \(b = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\), \(c = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}}\)
→ Her fark eşleniğiyle çarpılıp bölünür: \((\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n}) = m - n = 1\). - Paydalar: \(\sqrt{2} + 1 \lt \sqrt{3} + \sqrt{2} \lt 2 + \sqrt{3}\)
→ Payları \(1\) olan kesirlerde paydası büyük olan küçüktür. - Sıralama \(c \lt b \lt a\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(a \approx 0{,}414\), \(b \approx 0{,}318\), \(c \approx 0{,}268\) ✓
Sık yapılan hata
Sayılar büyüdükçe farkların da büyüyeceğini düşünüp \(a \lt b \lt c\) demek.
-
\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\) farkı aşağıdakilerden hangisine eşittir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} - \sqrt{5 - 2\sqrt{6}}\)
Ne soruluyor?
Farkın eşiti.
Çözüm
- Toplamı \(5\), çarpımı \(6\) olan sayılar \(3\) ve \(2\)
→ \(5 \pm 2\sqrt{6} = (\sqrt{3} \pm \sqrt{2})^{2}\). - \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} + \sqrt{2}\), \(\sqrt{5 - 2\sqrt{6}} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)
→ İkincide büyük olan \(\sqrt{3}\) önce yazılır; karekök negatif olamaz. - \((\sqrt{3} + \sqrt{2}) - (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 2\sqrt{2}\)
→ Sonuç \(2\sqrt{2}\).
Kontrol
\((2\sqrt{2})^{2} = 8\) ve farkın karesi \(5 + 5 - 2\sqrt{25 - 24} = 10 - 2 = 8\) ✓
Sık yapılan hata
Parantezi açarken işareti dağıtmayıp \(2\sqrt{3}\) bulmak ya da ikinci kökü \(\sqrt{2} - \sqrt{3}\) yazmak.
-
\(x = 3 - \sqrt{2}\) olduğuna göre \(x + \dfrac{7}{x}\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x = 3 - \sqrt{2}\)
Ne soruluyor?
\(x + \dfrac{7}{x}\) değeri.
Çözüm
- \(\dfrac{7}{3 - \sqrt{2}} \cdot \dfrac{3 + \sqrt{2}}{3 + \sqrt{2}} = \dfrac{7(3 + \sqrt{2})}{9 - 2}\)
→ Eşlenikle genişletme. - \(\dfrac{7(3 + \sqrt{2})}{7} = 3 + \sqrt{2}\)
→ \(7\)'ler sadeleşir. - \((3 - \sqrt{2}) + (3 + \sqrt{2}) = 6\)
→ Köklü terimler götürür; sonuç \(6\).
Kontrol
\(x \cdot (6 - x) = (3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2}) = 7\), yani \(\dfrac{7}{x} = 6 - x\) ✓
Sık yapılan hata
Paydayı \(9 + 2 = 11\) alıp sadeleşmeyi kaçırmak ya da yalnızca \(\dfrac{7}{x}\)'i hesaplayıp cevabı \(3\) sanmak.
-
\(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} - \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}\) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} - 1} - \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1}\)
Ne soruluyor?
Farkın eşiti.
Çözüm
- Ortak payda: \((\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1) = 3 - 1 = 2\)
→ Paydalar birbirinin eşleniği. - Pay: \(\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) - \sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = (3 + \sqrt{3}) - (3 - \sqrt{3}) = 2\sqrt{3}\)
→ Genişletip çıkarma. - \(\dfrac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)
→ Sonuç \(\sqrt{3}\).
Kontrol
\(\dfrac{\sqrt{3}}{0{,}732} \approx 2{,}366\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2{,}732} \approx 0{,}634\); fark \(\approx 1{,}732 = \sqrt{3}\) ✓
Sık yapılan hata
Payı bulup \(2\)'ye bölmeyi unutarak \(2\sqrt{3}\) demek ya da çıkarmada işaret hatasıyla \(2\) bulmak.
-
\(\sqrt{x + 7} = x - 5\) denklemini sağlayan \(x\) gerçek sayısı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt{x + 7} = x - 5\)
Ne soruluyor?
\(x\) değeri.
Çözüm
- İki tarafın karesi: \(x + 7 = x^{2} - 10x + 25\) → \(x^{2} - 11x + 18 = 0\)
→ Kare alma. - \((x - 2)(x - 9) = 0\) → \(x = 2\) ya da \(x = 9\)
→ Çarpanlara ayırma. - Karekök negatif olamaz, \(x - 5 \ge 0\) olmalı: \(x = 2\) elenir, \(x = 9\)
→ Kare alırken eklenen yabancı kök atılır.
Kontrol
\(x = 9\): \(\sqrt{16} = 4 = 9 - 5\) ✓; \(x = 2\): \(\sqrt{9} = 3 \ne -3\) ✗
Sık yapılan hata
Kare aldıktan sonra bulunan iki kökü de kabul edip \(x = 2\)'yi seçmek ya da kökler toplamını (\(11\)) vermek.
-
\(\sqrt[3]{\dfrac{4^{5} + 4^{5} + 4^{5} + 4^{5}}{2^{3}}}\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt[3]{\dfrac{4^{5} + 4^{5} + 4^{5} + 4^{5}}{2^{3}}}\)
Ne soruluyor?
İfadenin değeri.
Çözüm
- \(4^{5} + 4^{5} + 4^{5} + 4^{5} = 4 \cdot 4^{5} = 4^{6} = 2^{12}\)
→ Dört eş terim. - \(\dfrac{2^{12}}{2^{3}} = 2^{9}\)
→ Üsler çıkarılır. - \(\sqrt[3]{2^{9}} = 2^{3} = 8\)
→ Küpkök, üssü \(3\)'e böler; sonuç \(8\).
Kontrol
\(8^{3} = 512\) ve \(\dfrac{4 \cdot 1024}{8} = 512\) ✓
Sık yapılan hata
Dört terimin toplamını \(4^{20}\) sanmak ya da küpkök yerine karekök alır gibi üssü \(2\)'ye bölmek.
-
\(n\) bir tam sayı olmak üzere \(n \lt \sqrt{45} + \sqrt{80} \lt n + 1\) olduğuna göre \(n\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt{45} + \sqrt{80}\)
Ne soruluyor?
Sayının tam kısmı.
Çözüm
- \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\), \(\sqrt{80} = 4\sqrt{5}\) → toplam \(7\sqrt{5}\)
→ Benzer köklere çevirme. - \(7\sqrt{5} = \sqrt{49 \cdot 5} = \sqrt{245}\)
→ Katsayı kök içine alınır. - \(15^{2} = 225 \lt 245 \lt 256 = 16^{2}\) → \(15 \lt \sqrt{245} \lt 16\)
→ Tam kısım \(15\).
Kontrol
\(\sqrt{45} \approx 6{,}71\), \(\sqrt{80} \approx 8{,}94\); toplam \(\approx 15{,}65\) ✓
Sık yapılan hata
Her kökün tam kısmını ayrı alıp \(6 + 8 = 14\) bulmak; ondalık kısımlar toplanınca \(1\)'i geçer.
-
\((\sqrt{5} + 2)^{11} \cdot (\sqrt{5} - 2)^{12}\) çarpımının eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \((\sqrt{5} + 2)^{11} \cdot (\sqrt{5} - 2)^{12}\)
Ne soruluyor?
Çarpımın eşiti.
Çözüm
- \((\sqrt{5} - 2)^{12} = (\sqrt{5} - 2)^{11} \cdot (\sqrt{5} - 2)\)
→ Üsleri eşitlemek için bir çarpan ayrılır. - \([(\sqrt{5} + 2)(\sqrt{5} - 2)]^{11} = (5 - 4)^{11} = 1\)
→ Aynı üslü çarpımlar birleştirilir; eşlenik çarpımı \(1\). - \(1 \cdot (\sqrt{5} - 2) = \sqrt{5} - 2\)
→ Sonuç \(\sqrt{5} - 2\).
Kontrol
\(\sqrt{5} \approx 2{,}236\) olduğundan \(\sqrt{5} - 2 \approx 0{,}236 \gt 0\); çarpım da pozitif olmalı ✓
Sık yapılan hata
Eşlenik çarpımını \(5 - 2 = 3\) sanmak ya da artan çarpanı unutup sonucu \(1\) vermek.
-
\(a = \sqrt{3} + \sqrt{2}\) ve \(b = \sqrt{3} - \sqrt{2}\) olduğuna göre \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = \sqrt{3} + \sqrt{2}\)
- \(b = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)
Ne soruluyor?
\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a}\) değeri.
Çözüm
- \(\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{a^{2} + b^{2}}{ab}\)
→ Payda eşitleme. - \(ab = 3 - 2 = 1\)
→ Eşleniklerin çarpımı. - \(a^{2} = 5 + 2\sqrt{6}\), \(b^{2} = 5 - 2\sqrt{6}\) → \(a^{2} + b^{2} = 10\)
→ Köklü terimler götürür. - \(\dfrac{10}{1} = 10\)
→ Sonuç \(10\).
Kontrol
\(\dfrac{a}{b} = (\sqrt{3} + \sqrt{2})^{2} = 5 + 2\sqrt{6}\), \(\dfrac{b}{a} = 5 - 2\sqrt{6}\); toplam \(10\) ✓
Sık yapılan hata
Eşleniklerin çarpımını \(ab = 3 + 2 = 5\) sanıp \(\dfrac{10}{5} = 2\) bulmak ya da \(\dfrac{a}{b}\) ile \(\dfrac{b}{a}\)'yı birbirinin tersi diye toplamı \(2\) sanmak.
-
Kenar uzunlukları \(\sqrt{20}\) cm ve \(\sqrt{45}\) cm olan bir dikdörtgenin alanı, bir karenin alanına eşittir. Bu karenin çevresi kaç cm'dir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Dikdörtgenin kenarları \(\sqrt{20}\) cm ve \(\sqrt{45}\) cm
- Karenin alanı dikdörtgeninkine eşit
Ne soruluyor?
Karenin çevresi.
Çözüm
- Alan: \(\sqrt{20} \cdot \sqrt{45} = \sqrt{900} = 30\) cm²
→ Kök içleri çarpılır. - Karenin kenarı: \(\sqrt{30}\) cm
→ Kenar², alana eşittir. - Çevre: \(4 \cdot \sqrt{30} = 4\sqrt{30}\) cm
→ Sonuç \(4\sqrt{30}\).
Kontrol
\((\sqrt{30})^{2} = 30 = 2\sqrt{5} \cdot 3\sqrt{5}\) ✓
Sık yapılan hata
Dikdörtgenin çevresini (\(2(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}) = 10\sqrt{5}\)) hesaplamak ya da alanı \(4\) ile çarpıp \(120\) bulmak.