Ardışık kök farklarının sıralanması
Ardışık doğal sayıların karekökleri arasındaki \(a = \sqrt{2} - 1\), \(b = \sqrt{3} - \sqrt{2}\), \(c = 2 - \sqrt{3}\) farkları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = \sqrt{2} - 1\), \(b = \sqrt{3} - \sqrt{2}\), \(c = 2 - \sqrt{3}\)
Ne soruluyor?
Küçükten büyüğe sıralama.
Çözüm
- \(a = \dfrac{1}{\sqrt{2} + 1}\), \(b = \dfrac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\), \(c = \dfrac{1}{2 + \sqrt{3}}\)
→ Her fark eşleniğiyle çarpılıp bölünür: \((\sqrt{m} - \sqrt{n})(\sqrt{m} + \sqrt{n}) = m - n = 1\). - Paydalar: \(\sqrt{2} + 1 \lt \sqrt{3} + \sqrt{2} \lt 2 + \sqrt{3}\)
→ Payları \(1\) olan kesirlerde paydası büyük olan küçüktür. - Sıralama \(c \lt b \lt a\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(a \approx 0{,}414\), \(b \approx 0{,}318\), \(c \approx 0{,}268\) ✓
Sık yapılan hata
Sayılar büyüdükçe farkların da büyüyeceğini düşünüp \(a \lt b \lt c\) demek.