KPSS Köklü Sayılar Orta Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 20 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1}\) kesrinin paydası rasyonel yapılırsa aşağıdakilerden hangisi elde edilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1}\)
Ne soruluyor?
Paydası rasyonel eşiti.
Çözüm
- \(\dfrac{4}{\sqrt{5} - 1} \cdot \dfrac{\sqrt{5} + 1}{\sqrt{5} + 1}\)
→ Payda eşleniği \(\sqrt{5} + 1\) ile genişletilir. - Payda: \((\sqrt{5})^{2} - 1^{2} = 5 - 1 = 4\)
→ İki kare farkı. - \(\dfrac{4(\sqrt{5} + 1)}{4} = \sqrt{5} + 1\)
→ \(4\)'ler sadeleşir.
Kontrol
\((\sqrt{5} + 1)(\sqrt{5} - 1) = 5 - 1 = 4\) ✓
Sık yapılan hata
Eşlenik yerine \(\sqrt{5}\) ile genişletmek ya da paydayı \(5 + 1 = 6\) sanıp sadeleştirmeyi yanlış yapmak.
-
\(\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt{11 + 6\sqrt{2}}\)
Ne soruluyor?
İç içe kökün sade biçimi.
Çözüm
- \(6\sqrt{2} = 2 \cdot 3\sqrt{2} = 2\sqrt{18}\)
→ Kök içi \(a + b + 2\sqrt{ab}\) biçimine getirilir. - Toplamı \(11\), çarpımı \(18\) olan sayılar: \(9\) ve \(2\)
→ \(11 + 2\sqrt{18} = (\sqrt{9} + \sqrt{2})^{2}\). - \(\sqrt{11 + 6\sqrt{2}} = \sqrt{9} + \sqrt{2} = 3 + \sqrt{2}\)
→ Sonuç.
Kontrol
\((3 + \sqrt{2})^{2} = 9 + 6\sqrt{2} + 2 = 11 + 6\sqrt{2}\) ✓
Sık yapılan hata
\(6\sqrt{2}\)'yi \(2\sqrt{ab}\) biçimine getirmeden toplamı \(11\), çarpımı \(6\) olan sayılar aramak.
-
\(x\) pozitif bir sayı olmak üzere \(\sqrt{2x} + \sqrt{8x} = \sqrt{162}\) ise \(x\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt{2x} + \sqrt{8x} = \sqrt{162}\)
- \(x \gt 0\)
Ne soruluyor?
\(x\) değeri.
Çözüm
- \(\sqrt{8x} = \sqrt{4 \cdot 2x} = 2\sqrt{2x}\)
→ Tam kare çarpan dışarı çıkar. - \(\sqrt{2x} + 2\sqrt{2x} = 3\sqrt{2x}\), \(\sqrt{162} = 9\sqrt{2}\)
→ Benzer kökler toplanır. - \(3\sqrt{2x} = 9\sqrt{2}\) → \(\sqrt{2x} = 3\sqrt{2} = \sqrt{18}\) → \(2x = 18\) → \(x = 9\)
→ Sonuç \(9\).
Kontrol
\(\sqrt{18} + \sqrt{72} = 3\sqrt{2} + 6\sqrt{2} = 9\sqrt{2} = \sqrt{162}\) ✓
Sık yapılan hata
Kök içlerini toplayıp \(\sqrt{10x} = \sqrt{162}\) yazmak; bu eşitlik yanlıştır.
-
\(a = \sqrt[3]{3}\), \(b = \sqrt{2}\) ve \(c = \sqrt[6]{10}\) sayılarının küçükten büyüğe sıralanışı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = \sqrt[3]{3}\), \(b = \sqrt{2}\), \(c = \sqrt[6]{10}\)
Ne soruluyor?
Küçükten büyüğe sıralama.
Çözüm
- Kök dereceleri \(3\), \(2\), \(6\); ortak derece \(6\)
→ Dereceler EKOK'ta eşitlenir. - \(a = \sqrt[6]{3^{2}} = \sqrt[6]{9}\), \(b = \sqrt[6]{2^{3}} = \sqrt[6]{8}\), \(c = \sqrt[6]{10}\)
→ Kök içi, derecenin katsayısı kadar kuvvete yükselir. - \(8 \lt 9 \lt 10\) → \(b \lt a \lt c\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}442\), \(\sqrt[6]{10} \approx 1{,}468\) ✓
Sık yapılan hata
Dereceleri eşitlemeden, kök derecesi büyüdükçe sayının küçüleceğini düşünüp \(c \lt a \lt b\) demek; farklı dereceli kökler ancak dereceler eşitlendikten sonra karşılaştırılabilir.
-
\(x \lt 0\) olduğuna göre \(\sqrt{x^{2}} + \sqrt[3]{x^{3}}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x \lt 0\)
- \(\sqrt{x^{2}} + \sqrt[3]{x^{3}}\)
Ne soruluyor?
İfadenin eşiti.
Çözüm
- \(\sqrt{x^{2}} = |x|\); \(x \lt 0\) olduğundan \(|x| = -x\)
→ Çift dereceli kök her zaman negatif olmayan sonuç verir. - \(\sqrt[3]{x^{3}} = x\)
→ Tek dereceli kök işareti korur. - \(-x + x = 0\)
→ Sonuç \(0\).
Kontrol
\(x = -2\): \(\sqrt{4} + \sqrt[3]{-8} = 2 + (-2) = 0\) ✓
Sık yapılan hata
\(\sqrt{x^{2}}\)'yi doğrudan \(x\) alıp \(2x\) bulmak.
-
\(\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{8} + \sqrt{2})\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt{3}(\sqrt{12} - \sqrt{3}) + \sqrt{2}(\sqrt{8} + \sqrt{2})\)
Ne soruluyor?
İfadenin değeri.
Çözüm
- \(\sqrt{3} \cdot \sqrt{12} - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{36} - 3 = 6 - 3 = 3\)
→ Dağılma özelliği. - \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{8} + \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{16} + 2 = 4 + 2 = 6\)
→ Dağılma özelliği. - \(3 + 6 = 9\)
→ Sonuç \(9\).
Kontrol
\(\sqrt{12} - \sqrt{3} = \sqrt{3}\) ve \(\sqrt{8} + \sqrt{2} = 3\sqrt{2}\): \(3 + 6 = 9\) ✓
Sık yapılan hata
\(\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}\)'ü \(9\) ya da \(\sqrt{3}\) sanmak; \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a\)'dır.
-
\(a = \sqrt{3}\) ve \(b = \sqrt{2}\) olduğuna göre \(\sqrt{54}\) sayısının \(a\) ve \(b\) türünden eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a = \sqrt{3}\)
- \(b = \sqrt{2}\)
Ne soruluyor?
\(\sqrt{54}\)'ün \(a\), \(b\) türünden yazılışı.
Çözüm
- \(54 = 27 \cdot 2 = 3^{3} \cdot 2\)
→ Asal çarpanlar. - \(\sqrt{54} = (\sqrt{3})^{3} \cdot \sqrt{2}\)
→ Kök, çarpanlara ayrı ayrı dağıtılır. - \(= a^{3}b\)
→ Sonuç \(a^{3}b\).
Kontrol
\(a^{3}b = 3\sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{6}\) ve \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3\sqrt{6}\) ✓
Sık yapılan hata
\(3\) sayısını \(a\) sanmak; \(3 = (\sqrt{3})^{2} = a^{2}\)'dir. Bu yüzden \(3\sqrt{3}\) ifadesi \(a^{2} \cdot a\) olur.
-
\(\sqrt{2^{10} + 2^{8}}\) sayısının en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt{2^{10} + 2^{8}}\)
Ne soruluyor?
En sade biçim.
Çözüm
- \(2^{10} + 2^{8} = 2^{8}(2^{2} + 1) = 2^{8} \cdot 5\)
→ \(2^{8}\) ortak çarpan parantezine alınır. - \(\sqrt{2^{8} \cdot 5} = 2^{4}\sqrt{5} = 16\sqrt{5}\)
→ \(\sqrt{2^{8}} = 2^{4}\).
Kontrol
\(1024 + 256 = 1280 = 256 \cdot 5\) ve \(\sqrt{256} = 16\) ✓
Sık yapılan hata
Kökü terimlere dağıtıp \(2^{5} + 2^{4} = 48\) bulmak ya da \(\sqrt{2^{8}}\)'i \(2^{8}\) bırakmak.
-
\(\sqrt{50}\) ile \(\sqrt{150}\) arasında kaç tane tam sayı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\sqrt{50}\) ve \(\sqrt{150}\)
Ne soruluyor?
Aradaki tam sayıların sayısı.
Çözüm
- \(7^{2} = 49 \lt 50 \lt 64 = 8^{2}\) → \(7 \lt \sqrt{50} \lt 8\)
→ Komşu tam karelerle sıkıştırma. - \(12^{2} = 144 \lt 150 \lt 169 = 13^{2}\) → \(12 \lt \sqrt{150} \lt 13\)
→ Aynı yöntem. - Aradaki tam sayılar \(8, 9, 10, 11, 12\) → \(5\) tane
→ Sonuç \(5\).
Kontrol
\(8^{2} = 64 \gt 50\) ve \(12^{2} = 144 \lt 150\) ✓
Sık yapılan hata
\(\sqrt{50} \approx 7\) alıp \(7\)'yi de sayarak \(6\) bulmak ya da \(12\)'yi dışarıda bırakıp \(4\) bulmak.
-
\((\sqrt{7} - \sqrt{3})^{2} + \sqrt{84}\) ifadesinin değeri kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \((\sqrt{7} - \sqrt{3})^{2} + \sqrt{84}\)
Ne soruluyor?
İfadenin değeri.
Çözüm
- \((\sqrt{7} - \sqrt{3})^{2} = 7 - 2\sqrt{21} + 3 = 10 - 2\sqrt{21}\)
→ Tam kare açılımı: \((a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}\). - \(\sqrt{84} = \sqrt{4 \cdot 21} = 2\sqrt{21}\)
→ Kök dışına çıkarma. - \(10 - 2\sqrt{21} + 2\sqrt{21} = 10\)
→ Köklü terimler birbirini götürür; sonuç \(10\).
Kontrol
\(\sqrt{7} - \sqrt{3} \approx 0{,}914\), karesi \(\approx 0{,}835\); \(\sqrt{84} \approx 9{,}165\); toplam \(\approx 10\) ✓
Sık yapılan hata
\((\sqrt{7} - \sqrt{3})^{2}\)'yi \(7 - 3 = 4\) sanıp ortadaki \(-2\sqrt{21}\) terimini unutmak.