KPSS Eşitsizlikler Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(x\) ve \(y\) reel sayılar olmak üzere \(2 \le x \le 5\) ve \(-4 \le y \le -1\)'dir. \(x^2 - y^2\) ifadesinin alabileceği en büyük değer ile en küçük değerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2 \le x \le 5\) → \(4 \le x^2 \le 25\)
- \(-4 \le y \le -1\) → \(1 \le y^2 \le 16\)
Ne soruluyor?
En büyük ve en küçük değerin toplamı.
Çözüm
- En büyük: \(x^2\) en büyük, \(y^2\) en küçük → \(25 - 1 = 24\)
→ \(x = 5\), \(y = -1\). - En küçük: \(x^2\) en küçük, \(y^2\) en büyük → \(4 - 16 = -12\)
→ \(x = 2\), \(y = -4\). - Toplam \(24 + (-12) = 12\)
→ Sonuç: \(12\).
Kontrol
Negatif \(y\) için \(y^2\), \(|y|\) büyüdükçe büyür: \((-4)^2 = 16 \gt (-1)^2 = 1\) ✓
Sık yapılan hata
\(y^2\)'nin aralığını \(16 \le y^2 \le 1\) gibi ters yazmak ya da \(y^2\) yerine \(y\) ile işlem yapmak.
-
\(2x - a \lt 3x + 1\) eşitsizliğinin çözüm kümesi \(x \gt 4\) olduğuna göre \(a\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2x - a \lt 3x + 1\)
- Çözüm kümesi: \(x \gt 4\)
Ne soruluyor?
\(a\) değeri.
Çözüm
- \(2x - 3x \lt 1 + a\) → \(-x \lt a + 1\)
→ Bilinmeyenler sola. - \(-1\) ile çarp, yön döner: \(x \gt -a - 1\)
→ Çözüm kümesinin sınırı \(-a - 1\). - \(-a - 1 = 4\) → \(a = -5\)
→ Sonuç: \(-5\).
Kontrol
\(a = -5\): \(2x + 5 \lt 3x + 1\) → \(4 \lt x\) ✓
Sık yapılan hata
\(-1\) ile çarparken yönü çevirmeyip \(x \lt -a - 1\) yazmak ya da \(a + 1 = 4\) alıp \(3\) bulmak.
-
Bir öğretmen elindeki kalemleri öğrencilerine dağıtacaktır. Her öğrenciye \(5\)'er kalem verirse \(8\) kalem artıyor. Her öğrenciye \(6\)'şar kalem verirse yine kalem artıyor, \(7\)'şer kalem vermek isterse kalemler yetmiyor. Buna göre öğretmenin elinde en fazla kaç kalem vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Öğrenci sayısı \(n\), kalem sayısı \(5n + 8\)
- \(6\)'şar verince artıyor
- \(7\)'şer verince yetmiyor
Ne soruluyor?
Kalem sayısının en büyük değeri.
Çözüm
- \(6n \lt 5n + 8\) → \(n \lt 8\)
→ \(6\)'şar verince kalem artıyor. - \(7n \gt 5n + 8\) → \(2n \gt 8\) → \(n \gt 4\)
→ \(7\)'şer verince yetmiyor. - \(n \in \{5, 6, 7\}\); en fazla kalem \(n = 7\) için \(5 \cdot 7 + 8 = 43\)
→ Sonuç: \(43\).
Kontrol
\(43\) kalem, \(7\) öğrenci: \(6 \cdot 7 = 42 \lt 43\) (\(1\) artar) ✓ \(7 \cdot 7 = 49 \gt 43\) (yetmez) ✓
Sık yapılan hata
\(n = 8\)'i de alıp \(48\) bulmak; \(8\) öğrenciye \(6\)'şar verince \(48\) kalemin tamamı biter, artmaz.
-
Bir reel sayı \(-2\) ile \(3\) arasından (uçlar dahil), diğeri \(-4\) ile \(1\) arasından (uçlar dahil) seçilip çarpılıyor. Elde edilebilecek en büyük çarpım ile en küçük çarpım arasındaki fark kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(-2 \le x \le 3\)
- \(-4 \le y \le 1\)
Ne soruluyor?
En büyük ve en küçük çarpımın farkı.
Çözüm
- Uç çarpımlar: \((-2)(-4) = 8\), \((-2)(1) = -2\), \(3 \cdot (-4) = -12\), \(3 \cdot 1 = 3\)
→ Doğrusal çarpım uç noktalarda en büyük/en küçük olur. - En büyük \(8\), en küçük \(-12\)
→ Dört değerin en büyüğü ve en küçüğü. - Fark \(8 - (-12) = 20\)
→ Sonuç: \(20\).
Kontrol
\(x = -2\), \(y = -4\): \(8\) ✓ \(x = 3\), \(y = -4\): \(-12\) ✓
Sık yapılan hata
En büyük çarpımı \(3 \cdot 1 = 3\) sanıp \(3 - (-12) = 15\) bulmak; iki negatifin çarpımı daha büyük.
-
\(x \lt y \lt 0\) olduğuna göre
I. \(x \cdot y \gt y^2\)
II. \(\dfrac{x}{y} \gt 1\)
III. \(x + y \lt 2y\)
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?Çözümü Göster
Verilenler
- \(x \lt y \lt 0\)
Ne soruluyor?
Her zaman doğru olan öncüller.
Çözüm
- I: \(x \lt y\) eşitsizliğini negatif \(y\) ile çarp, yön döner: \(xy \gt y^2\) ✓
→ Negatifle çarpma. - II: \(x \lt y\) eşitsizliğini negatif \(y\)'ye böl, yön döner: \(\dfrac{x}{y} \gt 1\) ✓
→ Negatife bölme. - III: \(x + y \lt 2y\) ⇔ \(x \lt y\) ✓
→ Her iki taraftan \(y\) çıkar. - Cevap: I, II ve III
→ Üçü de her zaman doğru.
Kontrol
\(x = -6\), \(y = -2\): \(12 \gt 4\) ✓, \(3 \gt 1\) ✓, \(-8 \lt -4\) ✓
Sık yapılan hata
Negatif sayıyla çarpıp bölerken yönü çevirmeyi unutup I ve II'yi yanlış sanmak.
-
\(x\) ve \(y\) reel sayılar olmak üzere \(2 \lt x \lt 6\) ve \(1 \lt y \lt 3\)'tür. \(\dfrac{x}{y}\) ifadesi kaç farklı tam sayı değeri alabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2 \lt x \lt 6\)
- \(1 \lt y \lt 3\)
Ne soruluyor?
\(\dfrac{x}{y}\)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin sayısı.
Çözüm
- En küçük bölüm: pay en küçük, payda en büyük → \(\dfrac{2}{3}\)
→ Uç değerler dahil değil. - En büyük bölüm: pay en büyük, payda en küçük → \(\dfrac{6}{1} = 6\)
→ Aralık: \(\dfrac{2}{3} \lt \dfrac{x}{y} \lt 6\). - Tam sayılar \(1, 2, 3, 4, 5\) → \(5\) tane
→ Sonuç: \(5\).
Kontrol
\(\dfrac{x}{y} = 5\): \(x = 5{,}5\), \(y = 1{,}1\) ✓ \(\dfrac{x}{y} = 1\): \(x = y = 2{,}5\) ✓
Sık yapılan hata
Uçları kendi aralarında bölüp \(\dfrac{2}{1} \lt \dfrac{x}{y} \lt \dfrac{6}{3}\) yazmak ya da \(6\)'yı da saymak.
-
\(x = 2\) değeri, \(4x - m \lt 3\) ve \(m - 2x \lt 9\) eşitsizliklerinin ikisini de sağlamaktadır. \(m\) bir tam sayı olduğuna göre \(m\)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x = 2\)
- \(4x - m \lt 3\)
- \(m - 2x \lt 9\)
Ne soruluyor?
\(m\)'nin tam sayı değerlerinin toplamı.
Çözüm
- \(x = 2\) yaz: \(8 - m \lt 3\) → \(m \gt 5\)
→ Birinci eşitsizlik. - \(m - 4 \lt 9\) → \(m \lt 13\)
→ İkinci eşitsizlik. - \(m \in \{6, 7, \dots, 12\}\) → toplam \(\dfrac{(6 + 12) \cdot 7}{2} = 63\)
→ Sonuç: \(63\).
Kontrol
\(m = 12\): \(8 - 12 = -4 \lt 3\) ✓, \(12 - 4 = 8 \lt 9\) ✓ \(m = 13\): \(9 \lt 9\) ✗
Sık yapılan hata
\(8 - m \lt 3\)'ten \(m \lt 5\) çıkarmak (yön hatası) ya da \(13\)'ü de toplamak (\(76\)).
-
\(x\) ve \(y\) tam sayılar olmak üzere \(-3 \lt x \lt 4\) ve \(-5 \lt y \lt 2\)'dir. Buna göre \(x - 2y\) ifadesi kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x \in \{-2, \dots, 3\}\)
- \(y \in \{-4, \dots, 1\}\)
Ne soruluyor?
\(x - 2y\)'nin farklı değerlerinin sayısı.
Çözüm
- En küçük: \(x = -2\), \(y = 1\) → \(-2 - 2 = -4\)
→ \(-2y\) en küçük olsun diye \(y\) en büyük. - En büyük: \(x = 3\), \(y = -4\) → \(3 + 8 = 11\)
→ \(y\) en küçük. - \(x\) art arda \(6\) değer aldığı ve \(2y\) ikişer değiştiği için aradaki her tam sayı elde edilir
→ Boşluk kalmaz. - \(-4\)'ten \(11\)'e kadar \(11 - (-4) + 1 = 16\) değer
→ Sonuç: \(16\).
Kontrol
Örnek: \(x - 2y = 10\) → \(x = 2\), \(y = -4\) ✓; \(x - 2y = -3\) → \(x = -1\), \(y = 1\) ✓
Sık yapılan hata
Uç değerleri dahil edip \(x\)'i \(-3\) ile \(4\), \(y\)'yi \(-5\) ile \(2\) arasında almak ya da \(6 \cdot 6 = 36\) demek.
-
\(x\) ve \(y\) reel sayılar olmak üzere \(3x - 2y = 5\) ve \(-2 \lt x \lt 3\)'tür. Buna göre \(y\)'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(3x - 2y = 5\)
- \(-2 \lt x \lt 3\)
Ne soruluyor?
\(y\)'nin tam sayı değerlerinin toplamı.
Çözüm
- \(y = \dfrac{3x - 5}{2}\)
→ \(y\) yalnız bırakıldı. - \(-6 \lt 3x \lt 9\) → \(-11 \lt 3x - 5 \lt 4\) → \(-5{,}5 \lt y \lt 2\)
→ Önce \(3\) ile çarp, \(5\) çıkar, \(2\)'ye böl. - \(y \in \{-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1\}\) → toplam \(-14\)
→ Sonuç: \(-14\).
Kontrol
\(y = -5\): \(x = -\dfrac{5}{3}\) (aralıkta) ✓ \(y = 2\): \(x = 3\) ✗
Sık yapılan hata
\(-5{,}5\) sınırını \(-6\)'ya yuvarlayıp \(-6\)'yı da toplamak ya da \(2\)'yi dahil edip \(-12\) bulmak.
-
\(-7 \lt 3 - 2x \le 9\) eşitsizliğini sağlayan \(x\) tam sayıları için \(x^2\) ifadesinin alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(-7 \lt 3 - 2x \le 9\)
- \(x\) tam sayı
Ne soruluyor?
\(x^2\)'nin farklı değerlerinin toplamı.
Çözüm
- \(3\) çıkar: \(-10 \lt -2x \le 6\); \(-2\)'ye böl: \(5 \gt x \ge -3\)
→ Yönler döner: \(-3 \le x \lt 5\). - \(x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4\}\) → \(x^2 \in \{9, 4, 1, 0, 16\}\)
→ Aynı kareler bir kez sayılır. - \(0 + 1 + 4 + 9 + 16 = 30\)
→ Sonuç: \(30\).
Kontrol
\(x = -3\): \(3 + 6 = 9 \le 9\) ✓ \(x = 5\): \(-7 \lt -7\) ✗
Sık yapılan hata
Tekrar eden kareleri de toplayıp \(44\) bulmak.