KPSS EBOB - EKOK Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
İki pozitif tam sayının çarpımı \(1728\)'dir. Bu sayıların EKOK'u, EBOB'larının \(12\) katı olduğuna göre sayıların toplamı en çok kaç olabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a \cdot b = 1728\)
- EKOK \(= 12 \cdot\) EBOB
Ne soruluyor?
\(a + b\) en çok kaçtır?
Çözüm
- EBOB \(= g\) dersek EKOK \(= 12g\); \(a \cdot b = g \cdot 12g = 12g^2 = 1728\)
→ Çarpım \(=\) EBOB \(\cdot\) EKOK. - \(g^2 = 144\) → \(g = 12\), EKOK \(= 144\)
→ EBOB bulundu. - \(a = 12x\), \(b = 12y\), \(x\) ile \(y\) aralarında asal ve \(xy = 12\) → \((1, 12)\) ya da \((3, 4)\)
→ \((2, 6)\) ortak \(2\) içerir. - Sayılar \(12\) ile \(144\) (toplam \(156\)) ya da \(36\) ile \(48\) (toplam \(84\)) → en çok \(156\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(12 \cdot 144 = 1728\) ✓, EBOB\((12, 144) = 12\), EKOK \(= 144 = 12 \cdot 12\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca \((36, 48)\) ikilisini bulup \(84\) demek ya da \((2, 6)\)'yı da alıp \(24 + 72 = 96\) bulmak (bu sayıların EBOB'u \(24\)'tür).
-
\(5\) ile bölündüğünde \(3\), \(7\) ile bölündüğünde \(5\) kalanını veren üç basamaklı en büyük doğal sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n\), \(5\)'e bölününce kalan \(3\)
- \(n\), \(7\)'ye bölününce kalan \(5\)
- \(n\) üç basamaklı, en büyük
Ne soruluyor?
\(n\) kaçtır?
Çözüm
- Her iki bölmede bölen \(-\) kalan \(= 2\) → \(n + 2\), hem \(5\)'e hem \(7\)'ye bölünür.
→ Kalanlar farklı ama eksikler aynı. - EKOK\((5, 7) = 35\) → \(n = 35k - 2\)
→ Ortak katın \(2\) eksiği. - \(35k - 2 \leq 999\) → \(35k \leq 1001\) → \(k \leq 28\)
→ Üç basamaklı sınırı. - \(k = 28\) → \(n = 980 - 2 = 978\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(978 = 5 \cdot 195 + 3\) ✓, \(978 = 7 \cdot 139 + 5\) ✓; bir sonraki \(978 + 35 = 1013\) dört basamaklı ✓
Sık yapılan hata
\(n - 2\) yazıp \(35k + 2\) biçiminde arayarak \(982\) bulmak ya da \(k = 28\) yerine bir önceki değeri (\(943\)) almak.
-
\(6\) ile bölündüğünde \(5\) kalanını, \(8\) ile bölündüğünde \(3\) kalanını veren kaç tane iki basamaklı doğal sayı vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(n \equiv 5\) (mod \(6\))
- \(n \equiv 3\) (mod \(8\))
- \(n\) iki basamaklı
Ne soruluyor?
Kaç tane \(n\) vardır?
Çözüm
- Burada bölen \(-\) kalan farkları eşit değil (\(1\) ve \(5\)); önce koşulu sağlayan en küçük sayıyı bulalım.
→ Sabit fark yöntemi işlemez. - \(8\)'e bölününce \(3\) kalanını verenler: \(3, 11, 19, 27, \dots\) → \(6\)'ya bölününce \(5\) kalanını veren ilk sayı \(11\)
→ \(3\)'ün kalanı \(3\), \(11\)'in kalanı \(5\). - Çözümler EKOK\((6, 8) = 24\)'te bir tekrar eder: \(n = 24k + 11\)
→ İki koşul birlikte \(24\) periyotlu. - İki basamaklı olanlar: \(11, 35, 59, 83\) → \(4\) tane
→ \(107\) üç basamaklı.
Kontrol
\(83 = 6 \cdot 13 + 5\) ✓, \(83 = 8 \cdot 10 + 3\) ✓
Sık yapılan hata
Periyodu \(6 \cdot 8 = 48\) alıp yalnızca \(11\) ve \(59\)'u saymak (\(2\)) ya da \(n = 24k + 11\) ifadesinde \(k = 0\) durumunu atlayıp \(11\)'i saymamak (\(3\)).
-
Kenar uzunlukları \(90\) m, \(120\) m ve \(150\) m olan üçgen biçimli bir tarlanın kenarlarına, her köşeye birer ağaç gelecek şekilde eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. İki ağaç arasındaki uzaklık \(20\) metreden az olacağına göre en az kaç ağaç dikilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Kenarlar: \(90\), \(120\), \(150\) m
- Köşelere ağaç var
- Aralık \(\lt 20\) m
Ne soruluyor?
En az ağaç sayısı kaçtır?
Çözüm
- Köşelere ağaç geldiği için aralık üç kenarı da tam bölmeli: EBOB\((90, 120, 150) = 30\)'un bir böleni.
→ Ortak bölen. - \(30\)'un bölenleri: \(1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30\); \(20\)'den küçük en büyüğü \(15\)
→ \(30\) koşulu sağlamıyor. - Kapalı çevrede ağaç sayısı \(=\) aralık sayısı: \(\dfrac{90 + 120 + 150}{15} = \dfrac{360}{15} = 24\)
→ Başlangıç ile bitiş aynı noktada.
Kontrol
Kenarlara \(6\), \(8\), \(10\) aralık düşer; toplam \(24\) aralık \(= 24\) ağaç ✓
Sık yapılan hata
Aralık şartını gözden kaçırıp EBOB ile \(12\) bulmak ya da kapalı çevreye \(1\) ağaç fazla ekleyip \(25\) demek.
-
\(\dfrac{3}{4}\), \(\dfrac{5}{6}\) ve \(\dfrac{9}{10}\) kesirlerinin her birine bölündüğünde sonucu tam sayı olan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Bölenler: \(\dfrac{3}{4}\), \(\dfrac{5}{6}\), \(\dfrac{9}{10}\)
- Sonuçlar tam sayı olmalı
Ne soruluyor?
En küçük pozitif tam sayı kaçtır?
Çözüm
- \(n : \dfrac{3}{4} = \dfrac{4n}{3}\) tam sayı → \(4\) ile \(3\) aralarında asal olduğundan \(3 \mid n\)
→ Bölmede kesir ters çevrilir. - \(\dfrac{6n}{5}\) tam sayı → \(5 \mid n\); \(\dfrac{10n}{9}\) tam sayı → \(9 \mid n\)
→ Aynı mantık. - \(n\), EKOK\((3, 5, 9) = 45\)'in katı → en küçük \(n = 45\)
→ Paydalar sonuca etki etmiyor.
Kontrol
\(45 : \dfrac{3}{4} = 60\), \(45 : \dfrac{5}{6} = 54\), \(45 : \dfrac{9}{10} = 50\) ✓
Sık yapılan hata
Paydaları da hesaba katıp EKOK\((3, 4, 5, 6, 9, 10) = 180\) bulmak ya da paylarda \(9\) yerine \(3\) alıp \(15\) demek.
-
Boyutları \(6\) cm, \(8\) cm ve \(12\) cm olan tuğlalar, hepsi aynı konumda olacak şekilde dizilerek içi dolu bir küp oluşturulacaktır. Küpün bir kenarı \(1\) metreden uzun olacağına göre en az kaç tuğla gerekir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Tuğla: \(6 \times 8 \times 12\) cm
- Küp kenarı \(\gt 100\) cm
Ne soruluyor?
En az tuğla sayısı kaçtır?
Çözüm
- Küpün kenarı \(6\), \(8\) ve \(12\)'nin ortak katı olmalı: EKOK \(= 24\) → kenar \(24\)'ün katı.
→ \(6 = 2 \cdot 3\), \(8 = 2^3\), \(12 = 2^2 \cdot 3\). - \(100\)'den büyük en küçük kat: \(24 \cdot 5 = 120\) cm
→ \(24 \cdot 4 = 96\) yetmez. - Her yönde: \(120 : 6 = 20\), \(120 : 8 = 15\), \(120 : 12 = 10\)
→ Üç boyut. - Tuğla sayısı: \(20 \cdot 15 \cdot 10 = 3000\)
→ Sonuç.
Kontrol
Hacimle: \(\dfrac{120^3}{6 \cdot 8 \cdot 12} = \dfrac{1\,728\,000}{576} = 3000\) ✓
Sık yapılan hata
Kenar şartını unutup en küçük küpü (\(24\) cm, \(24\) tuğla) almak ya da kenarı \(100\) cm sanıp \(100\)'ün \(24\)'e bölünmediğini gözden kaçırmak.
-
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olmak üzere EBOB\((a, b) = 9\), \(a + b = 90\) ve \(a \lt b\)'dir. Buna göre EKOK\((a, b)\)'nin alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- EBOB \(= 9\)
- \(a + b = 90\)
- \(a \lt b\)
Ne soruluyor?
EKOK değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm
- \(a = 9x\), \(b = 9y\), \(x\) ile \(y\) aralarında asal → \(x + y = 10\), \(x \lt y\)
→ EBOB dışarı alındı. - Adaylar: \((1, 9)\), \((2, 8)\), \((3, 7)\), \((4, 6)\); aralarında asal olanlar \((1, 9)\) ve \((3, 7)\)
→ \((2, 8)\) ve \((4, 6)\) ortak \(2\) içerir. - EKOK \(= 9xy\): \(9 \cdot 9 = 81\) ve \(9 \cdot 21 = 189\)
→ Sayılar \((9, 81)\) ve \((27, 63)\). - Toplam: \(81 + 189 = 270\)
→ Sonuç.
Kontrol
EBOB\((27, 63) = 9\), EKOK \(= \dfrac{27 \cdot 63}{9} = 189\) ✓; EBOB\((9, 81) = 9\), EKOK \(= 81\) ✓
Sık yapılan hata
\((2, 8)\) ve \((4, 6)\) ikililerini de kullanmak (\(18\) ile \(72\)'nin EBOB'u \(18\)'dir) ya da yalnızca bir ikiliyi bulup \(189\) demek.
-
Diş sayıları \(18\), \(24\) ve \(40\) olan üç dişli çark birbirine geçmiş olarak dönmektedir. Başlangıçta her çarkın üzerindeki işaretli diş aynı hizadadır. Çarkların üçü de ilk kez yeniden başlangıç konumuna geldiğinde üç çarkın yaptığı tur sayılarının toplamı kaç olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- Diş sayıları: \(18\), \(24\), \(40\)
- Birbirine geçmiş çarklarda her çarktan aynı sayıda diş geçer.
Ne soruluyor?
Tur sayılarının toplamı kaçtır?
Çözüm
- Bir çark, geçen diş sayısı kendi diş sayısının katı olunca başlangıç konumuna döner.
→ Tam tur. - Üçü birden için geçen diş sayısı EKOK\((18, 24, 40)\) olmalı: \(18 = 2 \cdot 3^2\), \(24 = 2^3 \cdot 3\), \(40 = 2^3 \cdot 5\) → EKOK \(= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360\)
→ Büyük üsler. - Turlar: \(360 : 18 = 20\), \(360 : 24 = 15\), \(360 : 40 = 9\)
→ Küçük çark daha çok döner. - Toplam: \(20 + 15 + 9 = 44\)
→ Sonuç.
Kontrol
Her çarktan \(360\) diş geçmiş ve \(360\) üç diş sayısına da bölünüyor ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca en büyük çarkın turunu (\(9\)) ya da en küçüğünün turunu (\(20\)) cevap sanmak.
-
\(150\) sayısı bir \(A\) pozitif tam sayısına bölündüğünde kalan \(6\), \(200\) sayısı aynı \(A\) sayısına bölündüğünde kalan \(8\) oluyor. Buna göre \(A\) kaç farklı değer alabilir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(150 = A \cdot k + 6\)
- \(200 = A \cdot m + 8\)
Ne soruluyor?
\(A\)'nın alabileceği değer sayısı?
Çözüm
- Kalanlar çıkarılırsa \(A\), \(144\)'ü ve \(192\)'yi tam böler → \(A\), EBOB\((144, 192)\)'nin böleni.
→ Ortak bölen. - \(144 = 2^4 \cdot 3^2\), \(192 = 2^6 \cdot 3\) → EBOB \(= 2^4 \cdot 3 = 48\)
→ Küçük üsler. - \(48\)'in bölenleri: \(1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48\)
→ \(10\) bölen. - Kalan bölenden küçük olmalı: \(A \gt 8\) → \(A \in \{12, 16, 24, 48\}\) → \(4\) değer
→ Kalan \(8\) olduğundan \(A = 8\) bile olamaz.
Kontrol
\(A = 12\): \(150 = 12 \cdot 12 + 6\) ✓, \(200 = 12 \cdot 16 + 8\) ✓
Sık yapılan hata
Kalanın bölenden küçük olması şartını unutup \(48\)'in bütün bölenlerini saymak (\(10\)) ya da yalnızca \(A \gt 6\) şartını uygulayıp \(8\)'i de saymak (\(5\)).
-
Ardışık üç pozitif tam sayının en küçük ortak katı \(660\)'tır. Bu üç sayının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayılar \(n\), \(n + 1\), \(n + 2\)
- EKOK \(= 660\)
Ne soruluyor?
Sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm
- \(660 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11\)
→ Asal çarpanlar. - Sayılardan biri \(11\)'in katı olmalı ve hiçbiri \(660\)'ı aşamaz; \(11\) civarını deneyelim: \(10, 11, 12\)
→ Ardışık sayılar yakın büyüklükte. - EKOK\((10, 11, 12)\): \(10 = 2 \cdot 5\), \(12 = 2^2 \cdot 3\) → \(2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 = 660\) ✓
→ Uyuyor. - Toplam: \(10 + 11 + 12 = 33\)
→ Sonuç.
Kontrol
Komşu üçlüler: \((9, 10, 11)\) → \(990\), \((11, 12, 13)\) → \(1716\); yalnızca \((10, 11, 12)\) tutuyor ✓
Sık yapılan hata
Ardışık sayıları aralarında asal sanıp EKOK'u çarpım kabul etmek; \(10 \cdot 11 \cdot 12 = 1320\) olduğu için \(10\) ile \(12\)'nin ortak \(2\) çarpanı hesaba katılmalıdır.