KPSS EBOB - EKOK Orta Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 20 dk
- Zorluk
- Orta
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
Uzunlukları \(72\) m, \(96\) m ve \(120\) m olan üç ayrı düz yolun her birine, yolun başına ve sonuna da dikilmek şartıyla eşit aralıklarla ağaç dikilecektir. Ağaçlar arasındaki uzaklık her yolda aynı olacağına göre en az kaç ağaç gerekir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Yollar: \(72\), \(96\), \(120\) m
- Aralık her yolda aynı
- Baş ve sona da ağaç
Ne soruluyor?
En az ağaç sayısı kaçtır?
Çözüm
- En az ağaç için aralık en büyük olmalı: EBOB\((72, 96, 120)\)
→ Aralık üç uzunluğu da bölmeli. - \(72 = 2^3 \cdot 3^2\), \(96 = 2^5 \cdot 3\), \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\) → EBOB \(= 24\) m
→ Küçük üsler. - Düz yolda ağaç sayısı \(=\) aralık sayısı \(+ 1\): \(3 + 1 = 4\), \(4 + 1 = 5\), \(5 + 1 = 6\)
→ Yolun iki ucu da dikiliyor. - Toplam: \(4 + 5 + 6 = 15\) ağaç
→ Sonuç.
Kontrol
Aralıklar: \(72 : 24 = 3\), \(96 : 24 = 4\), \(120 : 24 = 5\) → \(12\) aralık, üç yolda \(12 + 3 = 15\) ağaç ✓
Sık yapılan hata
Düz yolu kapalı çevre gibi düşünüp aralık sayısını ağaç sayısı sanmak (\(12\)) ya da \(+1\)'i yalnızca bir kez eklemek (\(13\)).
-
Bir kutudaki kalemler \(4\)'erli, \(6\)'şarlı ya da \(9\)'arlı paketlere ayrıldığında her seferinde son pakete \(1\) kalem eksik kalıyor. Kutudaki kalem sayısı \(100\)'den fazla olduğuna göre kutuda en az kaç kalem vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(4\)'erli, \(6\)'şarlı, \(9\)'arlı paketlerde son pakete \(1\) eksik
- Kalem sayısı \(\gt 100\)
Ne soruluyor?
En az kalem sayısı kaçtır?
Çözüm
- Son pakete \(1\) eksik → kaleme \(1\) eklenirse hepsi tam paket olur.
→ \(n + 1\), \(4\), \(6\) ve \(9\)'un ortak katı. - EKOK\((4, 6, 9) = 2^2 \cdot 3^2 = 36\) → \(n + 1 \in \{36, 72, 108, \dots\}\)
→ Ortak katlar. - \(n \in \{35, 71, 107, \dots\}\) → \(100\)'den büyük en küçük: \(107\)
→ Koşul.
Kontrol
\(107 = 4 \cdot 26 + 3 = 6 \cdot 17 + 5 = 9 \cdot 11 + 8\) ✓ (her seferinde \(1\) eksik)
Sık yapılan hata
\(1\) eksik yerine \(1\) fazla düşünüp \(109\) bulmak ya da \(100\) şartını unutup \(35\) demek.
-
\(x\) ve \(y\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(A = 2^3 \cdot 3^x \cdot 5\) ve \(B = 2^y \cdot 3^2 \cdot 7\) sayıları için EBOB\((A, B) = 12\) ve EKOK\((A, B) = 2520\)'dir. Buna göre \(x + y\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = 2^3 \cdot 3^x \cdot 5\)
- \(B = 2^y \cdot 3^2 \cdot 7\)
- EBOB \(= 12 = 2^2 \cdot 3\)
- EKOK \(= 2520 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7\)
Ne soruluyor?
\(x + y\) kaçtır?
Çözüm
- EBOB'da \(2\)'nin üssü \(2\): \(\min(3, y) = 2\) → \(y = 2\)
→ EBOB küçük üsleri alır. - EBOB'da \(3\)'ün üssü \(1\): \(\min(x, 2) = 1\) → \(x = 1\)
→ Aynı mantık. - Kontrol için EKOK: \(2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7 = 2520\) ✓
→ Büyük üsler tutuyor. - \(x + y = 1 + 2 = 3\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(A = 120\), \(B = 252\): EBOB \(= 12\), EKOK \(= \dfrac{120 \cdot 252}{12} = 2520\) ✓
Sık yapılan hata
EBOB'daki üsleri doğrudan \(x\) ve \(y\)'ye eşitlemeyip EKOK'taki büyük üsleri almak (\(x = 2\), \(y = 3\) → \(5\)).
-
Dairesel bir koşu yolunda üç sporcu bir turu sırasıyla \(40\), \(60\) ve \(72\) saniyede tamamlıyor. Üçü başlangıç noktasından aynı anda ve aynı yönde koşmaya başlıyor. Üçü başlangıç noktasında ilk kez yeniden bir araya geldiğinde en hızlı sporcu kaç tur koşmuş olur?
Çözümü Göster
Verilenler
- Tur süreleri: \(40\), \(60\), \(72\) saniye
- Aynı anda başlangıç
Ne soruluyor?
En hızlı sporcunun tur sayısı kaçtır?
Çözüm
- Üçü başlangıçta, geçen süre her tur süresinin katı olduğunda buluşur → EKOK\((40, 60, 72)\)
→ Ortak kat. - \(40 = 2^3 \cdot 5\), \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), \(72 = 2^3 \cdot 3^2\) → EKOK \(= 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 360\) sn
→ Büyük üsler. - En hızlı sporcu turu \(40\) saniyede atıyor → \(360 : 40 = 9\) tur
→ Sonuç.
Kontrol
Diğerleri: \(360 : 60 = 6\), \(360 : 72 = 5\) tur; hepsi tam sayı ✓
Sık yapılan hata
En hızlıyı en uzun süreli sporcu sanıp \(5\) demek ya da EKOK yerine EBOB (\(4\)) kullanmak.
-
Boyutları \(4{,}2\) m ve \(5{,}4\) m olan dikdörtgen biçimli bir zemin, kenar uzunluğu santimetre cinsinden tam sayı olan eş kare fayanslarla hiç kesilmeden kaplanacaktır. Fayansın tanesi \(15\) TL olduğuna göre bu iş için en az kaç TL'lik fayans gerekir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Zemin: \(4{,}2\) m \(= 420\) cm, \(5{,}4\) m \(= 540\) cm
- Fayans tanesi \(15\) TL
Ne soruluyor?
En az maliyet kaç TL?
Çözüm
- Maliyet en az ↔ fayans sayısı en az ↔ fayans kenarı en büyük: EBOB\((420, 540)\)
→ Birimler önce santimetreye çevrildi. - \(420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7\), \(540 = 2^2 \cdot 3^3 \cdot 5\) → EBOB \(= 60\) cm
→ Küçük üsler. - Fayans sayısı: \(\dfrac{420}{60} \cdot \dfrac{540}{60} = 7 \cdot 9 = 63\)
→ Kenarlar boyunca sayılar çarpılır. - Maliyet: \(63 \cdot 15 = 945\) TL
→ Sonuç.
Kontrol
\(63\) fayansın alanı \(63 \cdot 3600 = 226\,800\) cm² \(= 420 \cdot 540\) ✓
Sık yapılan hata
Metreyi santimetreye çevirmeden \(42\) ve \(54\) ile çalışıp EBOB'u \(6\) almak; ya da fayans sayısını (\(63\)) fiyatla çarpmayı unutmak.
-
\(a\) ve \(b\) aralarında asal iki pozitif tam sayıdır. EKOK\((a, b) = 60\) ve \(a \lt b\) olduğuna göre kaç farklı \((a, b)\) ikilisi vardır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a\) ve \(b\) aralarında asal
- EKOK \(= 60\)
- \(a \lt b\)
Ne soruluyor?
Kaç \((a, b)\) ikilisi vardır?
Çözüm
- Aralarında asal sayılarda EKOK \(= a \cdot b\) → \(a \cdot b = 60\)
→ EBOB \(= 1\). - \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\); ortak çarpan olmaması için her asal kuvvet (\(4\), \(3\), \(5\)) tümüyle tek bir sayıya gitmeli.
→ \(2\)'ler bölünemez. - \(a \lt b\) ikilileri: \((1, 60)\), \((3, 20)\), \((4, 15)\), \((5, 12)\)
→ \((2, 30)\) ve \((6, 10)\) ortak \(2\) içerir. - Toplam \(4\) ikili
→ Sonuç.
Kontrol
Örneğin \((4, 15)\): EBOB \(= 1\), EKOK \(= 60\) ✓
Sık yapılan hata
\(60\)'ı çarpım olarak veren bütün ikilileri saymak (\(6\)); \((2, 30)\) ve \((6, 10)\) aralarında asal değildir.
-
Ayşe kütüphaneye \(4\) günde bir, Zeynep ise \(6\) günde bir gidiyor. İkisi bir pazartesi günü kütüphanede karşılaştı. Bu pazartesiden sonra kütüphaneye ikinci kez birlikte gidecekleri gün haftanın hangi günüdür?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ayşe \(4\) günde bir, Zeynep \(6\) günde bir
- Birlikte oldukları gün: pazartesi
Ne soruluyor?
İkinci ortak ziyaret hangi gün?
Çözüm
- İkisi EKOK\((4, 6) = 12\) günde bir birlikte gider.
→ Ortak kat. - Birinci ortak ziyaret \(12\) gün sonra, ikincisi \(24\) gün sonra.
→ \(2 \cdot 12\). - \(24 = 7 \cdot 3 + 3\) → pazartesiden \(3\) gün sonrası
→ Tam haftalar atılır. - Pazartesi \(+ 3\) gün → Perşembe
→ Sonuç.
Kontrol
Pazartesi → \(12\) gün sonra Cumartesi (\(12 = 7 + 5\)) → \(12\) gün daha: Cumartesi \(+ 5\) gün \(=\) Perşembe ✓
Sık yapılan hata
İlk ortak ziyareti (\(12\) gün sonra, Cumartesi) cevap sanmak ya da EKOK yerine sayıların çarpımını (\(24\)) ilk buluşma sanmak.
-
Ardışık iki pozitif çift sayının en küçük ortak katı \(180\)'dir. Bu iki sayının toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Sayılar \(2k\) ve \(2k + 2\)
- EKOK \(= 180\)
Ne soruluyor?
Sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm
- Ardışık iki çift sayının EBOB'u \(2\)'dir.
→ \(2k\) ile \(2k + 2 = 2(k + 1)\); \(k\) ile \(k + 1\) aralarında asal. - EKOK \(= \dfrac{2k \cdot 2(k + 1)}{2} = 2k(k + 1) = 180\) → \(k(k + 1) = 90\)
→ Çarpım \(=\) EBOB \(\cdot\) EKOK. - \(9 \cdot 10 = 90\) → \(k = 9\) → sayılar \(18\) ve \(20\)
→ Ardışık çarpım. - Toplam: \(18 + 20 = 38\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(18 = 2 \cdot 3^2\), \(20 = 2^2 \cdot 5\) → EKOK \(= 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 180\) ✓
Sık yapılan hata
EKOK'u sayıların çarpımı sanıp \(2k(2k + 2) = 180\) yazmak; bu denklemin tam sayı çözümü çıkmaz.
-
Boyutları \(4\) cm, \(6\) cm ve \(10\) cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki tahta bloklar, hepsi aynı konumda olacak şekilde üst üste ve yan yana dizilerek içi dolu bir küp oluşturulacaktır. Oluşturulabilecek en küçük küp için kaç blok gerekir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Blok: \(4 \times 6 \times 10\) cm
- Hepsi aynı konumda, içi dolu küp
Ne soruluyor?
En küçük küp için blok sayısı kaçtır?
Çözüm
- Küpün kenarı her boyutun katı olmalı; en küçük küp için EKOK\((4, 6, 10)\)
→ Ortak kat. - \(4 = 2^2\), \(6 = 2 \cdot 3\), \(10 = 2 \cdot 5\) → EKOK \(= 60\) cm
→ Büyük üsler. - Her boyutta: \(60 : 4 = 15\), \(60 : 6 = 10\), \(60 : 10 = 6\) blok
→ Üç yön. - Toplam: \(15 \cdot 10 \cdot 6 = 900\) blok
→ Hacim üç boyutlu: çarpılır.
Kontrol
Hacimle: \(\dfrac{60^3}{4 \cdot 6 \cdot 10} = \dfrac{216\,000}{240} = 900\) ✓
Sık yapılan hata
Blok sayılarını toplamak (\(15 + 10 + 6 = 31\)) ya da küpün kenarını (\(60\)) cevap sanmak.
-
Bir duraktan A hattının otobüsleri saat 06.10'dan başlayarak \(25\) dakikada bir, B hattının otobüsleri ise saat 06.20'den başlayarak \(40\) dakikada bir kalkıyor. İki hattın otobüsleri bu duraktan ilk kez saat kaçta birlikte kalkar?
Çözümü Göster
Verilenler
- A: 06.10'dan itibaren \(25\) dakikada bir
- B: 06.20'den itibaren \(40\) dakikada bir
Ne soruluyor?
İlk ortak kalkış saati?
Çözüm
- Başlangıç saatleri farklı olduğu için EKOK'u doğrudan eklemek yanlış olur; kalkış saatlerini listeleyelim.
→ Ortak kalkış, iki listenin ilk ortak elemanıdır. - A: 06.10, 06.35, 07.00, 07.25, …
→ \(25\)'er dakika ekleniyor. - B: 06.20, 07.00, 07.40, …
→ \(40\)'ar dakika ekleniyor. - İlk ortak saat 07.00
→ Sonraki ortak kalkışlar EKOK\((25, 40) = 200\) dakikada bir tekrar eder.
Kontrol
07.00, A için 06.10'dan \(50 = 2 \cdot 25\) dakika sonra, B için 06.20'den \(40\) dakika sonra ✓
Sık yapılan hata
EKOK'u (\(200\) dk) ilk kalkış saatine ekleyip 09.30 demek; iki hat aynı anda başlamadığı için bu yöntem geçersizdir.