KPSS EBOB - EKOK Çok Zor Test 1

Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.

Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.

1. 1 EKOK ile EBOB farkı verilen sıralı ikililer
   \(a \lt b\) olmak üzere \(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılardır. EKOK\((a, b) - \) EBOB\((a, b) = 35\) olduğuna göre kaç farklı \((a, b)\) ikilisi vardır?
   1. A \(5\)
   2. B \(6\)
   3. C \(7\)
   4. D \(8\)
   5. E \(9\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(a \lt b\)
   • EKOK \(-\) EBOB \(= 35\)

   Ne soruluyor?

   \((a, b)\) ikililerinin sayısı?

   Çözüm

   1. EBOB \(= d\), \(a = dx\), \(b = dy\), \(x \lt y\) ve \(x, y\) aralarında asal → EKOK \(= dxy\)
      → Standart yazım.
   2. \(dxy - d = 35\) → \(d(xy - 1) = 35\) → \(d \in \{1, 5, 7, 35\}\)
      → \(d\), \(35\)'in böleni.
   3. \(d = 1\): \(xy = 36\) → \((1,36), (4,9)\) → 2
      → \((2,18), (3,12)\) aralarında asal değil.
   4. \(d = 5\): \(xy = 8\) → \((1,8)\) → 1; \(d = 7\): \(xy = 6\) → \((1,6), (2,3)\) → 2; \(d = 35\): \(xy = 2\) → \((1,2)\) → 1
      → Her durumda aralarında asal ikililer.
   5. Toplam \(2 + 1 + 2 + 1 = 6\)
      → İkililer: \((1,36), (4,9), (5,40), (7,42), (14,21), (35,70)\).

   Kontrol

   \((14, 21)\): EBOB \(7\), EKOK \(42\), fark \(35\) ✓ \((35, 70)\): \(70 - 35 = 35\) ✓

   Sık yapılan hata

   \(x, y\) aralarında asal şartını atlayıp \((2,18)\) gibi ikilileri saymak ya da \(d = 35\) durumunu unutmak.

2. 2 Zillerden tam olarak ikisinin birlikte çalması
   Üç zilden biri \(18\), biri \(24\), diğeri \(30\) dakikada bir çalıyor. Üç zil saat 08.00'de birlikte çaldı. 08.00 ile 20.00 arasında (08.00 hariç, 20.00 dahil) zillerden tam olarak ikisinin birlikte çaldığı kaç an vardır?
   1. A \(14\)
   2. B \(16\)
   3. C \(18\)
   4. D \(20\)
   5. E \(22\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Aralıklar: \(18\), \(24\), \(30\) dk
   • Süre: \(12\) saat \(= 720\) dk

   Ne soruluyor?

   Tam olarak iki zilin birlikte çaldığı an sayısı?

   Çözüm

   1. EKOK\((18, 24) = 72\), EKOK\((18, 30) = 90\), EKOK\((24, 30) = 120\), EKOK\((18, 24, 30) = 360\)
      → İkili ve üçlü ortak katlar.
   2. \(720\) dk içinde: \(72\)'nin katı \(10\), \(90\)'ın katı \(8\), \(120\)'nin katı \(6\) an; üçünün birlikte çaldığı an (\(360\)'ın katı) \(2\).
      → \(720 \div 72 = 10\) vb.
   3. İki farklı ikilinin ortak anı üç zilin ortak anıdır (örneğin EKOK\((72, 90) = 360\)). Bu yüzden ikili sayımlar yalnızca üçlü anlarda çakışır.
      → Çakışma analizi.
   4. Tam olarak iki zil: \((10 - 2) + (8 - 2) + (6 - 2) = 8 + 6 + 4 = 18\)
      → Her ikili sayımdan üçlü anlar çıkarıldı.

   Kontrol

   \(72\)'nin katları: \(72, 144, 216, 288, 432, 504, 576, 648\) (8); \(90\)'ın: \(90, 180, 270, 450, 540, 630\) (6); \(120\)'nin: \(120, 240, 480, 600\) (4) → \(18\) ✓

   Sık yapılan hata

   Üçünün birlikte çaldığı anları çıkarmayı unutup \(10 + 8 + 6 = 24\) demek; ya da üçlü anları iki kez çıkarmak.

3. 3 Belirli bir sayıyla EBOB'u verilen sayıları sayma
   EBOB\((n, 360) = 12\) koşulunu sağlayan, \(100\)'den küçük kaç \(n\) doğal sayısı vardır?
   1. A \(2\)
   2. B \(3\)
   3. C \(4\)
   4. D \(6\)
   5. E \(8\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • EBOB\((n, 360) = 12\)
   • \(n \lt 100\)

   Ne soruluyor?

   Kaç \(n\) vardır?

   Çözüm

   1. \(n = 12k\) ve EBOB\((k, 30) = 1\) olmalı.
      → \(360 = 12 \cdot 30\); \(k\) ile \(30\) ortak çarpan taşırsa EBOB \(12\)'den büyük olur.
   2. \(12k \lt 100\) → \(k \le 8\)
      → Sınır.
   3. \(k \in \{1, \dots, 8\}\) içinde \(2\), \(3\) ve \(5\)'e bölünmeyenler: \(1\) ve \(7\)
      → \(30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\).
   4. \(n \in \{12, 84\}\) → \(2\) sayı
      → Sonuç.

   Kontrol

   EBOB\((84, 360)\): \(84 = 2^2 \cdot 3 \cdot 7\), \(360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5\) → \(2^2 \cdot 3 = 12\) ✓ \(n = 24\) ise EBOB \(24\) olur ✗

   Sık yapılan hata

   \(12\)'nin bütün katlarını sayıp \(8\) demek. \(24, 36, 48, 60, 72, 96\) sayılarının \(360\) ile EBOB'u \(12\)'den büyüktür.

4. 4 İki basamaklı sayılarda EBOB ve EKOK'tan toplam
   \(a\) ve \(b\) iki basamaklı doğal sayılardır. EBOB\((a, b) = 12\) ve EKOK\((a, b) = 180\) olduğuna göre \(a + b\) kaçtır?
   1. A \(84\)
   2. B \(96\)
   3. C \(108\)
   4. D \(180\)
   5. E \(192\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(a, b\) iki basamaklı
   • EBOB \(= 12\)
   • EKOK \(= 180\)

   Ne soruluyor?

   \(a + b\)?

   Çözüm

   1. \(a = 12x\), \(b = 12y\), \(x\) ile \(y\) aralarında asal → EKOK \(= 12xy = 180\) → \(xy = 15\)
      → Standart yazım.
   2. \((x, y) = (1, 15)\) → \(12\) ve \(180\): \(180\) üç basamaklı ✗
      → Koşul bozulur.
   3. \((x, y) = (3, 5)\) → \(36\) ve \(60\) ✓
      → İkisi de iki basamaklı.
   4. \(a + b = 96\)
      → Toplam.

   Kontrol

   EBOB\((36, 60) = 12\) ✓ EKOK \(= 180\) ✓

   Sık yapılan hata

   İlk ikiliyi \((12, 180)\) alıp \(192\) demek; iki basamaklı şartını kontrol etmemek.

5. 5 Üç kalan koşulunu sağlayan en küçük üç basamaklı sayı
   \(3\) ile bölündüğünde \(2\), \(4\) ile bölündüğünde \(3\), \(5\) ile bölündüğünde \(4\) kalanını veren en küçük üç basamaklı doğal sayının rakamları toplamı kaçtır?
   1. A \(5\)
   2. B \(9\)
   3. C \(11\)
   4. D \(12\)
   5. E \(14\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(n \equiv\) kalanlar \(2, 3, 4\)
   • Bölenler \(3, 4, 5\)

   Ne soruluyor?

   En küçük üç basamaklı \(n\)'nin rakamları toplamı?

   Çözüm

   1. Her bölmede bölen \(-\) kalan \(= 1\) → \(n + 1\), \(3\), \(4\), \(5\)'in ortak katı.
      → Sabit fark.
   2. EKOK\((3, 4, 5) = 60\) → \(n + 1 \in \{60, 120, 180, \dots\}\)
      → Aralarında asal sayılar.
   3. \(n \in \{59, 119, \dots\}\) → en küçük üç basamaklı: \(119\)
      → \(59\) iki basamaklı.
   4. Rakamlar toplamı \(1 + 1 + 9 = 11\)
      → Soru rakam toplamını istiyor.

   Kontrol

   \(119 = 3 \cdot 39 + 2 = 4 \cdot 29 + 3 = 5 \cdot 23 + 4\) ✓

   Sık yapılan hata

   İki basamaklı \(59\)'u almak (\(14\)) ya da sayının kendisini (\(119\)) cevap sanmak.

6. 6 Sayıldığında artan ve artmayan bilyeler
   Bir kutudaki bilyeler \(6\)'şar, \(8\)'er ve \(10\)'ar sayıldığında her seferinde \(2\) bilye artıyor; \(7\)'şer sayıldığında hiç bilye artmıyor. Kutuda en az kaç bilye vardır?
   1. A \(242\)
   2. B \(362\)
   3. C \(482\)
   4. D \(602\)
   5. E \(842\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(6\)'şar, \(8\)'er, \(10\)'ar → kalan \(2\)
   • \(7\)'şer → kalan \(0\)

   Ne soruluyor?

   En az bilye sayısı?

   Çözüm

   1. \(n - 2\), EKOK\((6, 8, 10) = 120\)'nin katı → \(n = 120k + 2\)
      → Kalanlar aynı.
   2. \(n\), \(7\)'ye bölünmeli: \(120k + 2\)'yi \(7\)'ye bölünene kadar deneyelim.
      → \(k = 0\) → \(2\) (7'ye bölünmez).
   3. \(k = 1\): \(122\) (kalan 3), \(k = 2\): \(242\) (4), \(k = 3\): \(362\) (5), \(k = 4\): \(482\) (6), \(k = 5\): \(602 = 7 \cdot 86\) ✓
      → Kalan her adımda \(1\) artıyor çünkü \(120 \equiv 1\).
   4. En az \(602\) bilye
      → Sonuç.

   Kontrol

   \(602 = 6 \cdot 100 + 2 = 8 \cdot 75 + 2 = 10 \cdot 60 + 2\) ✓ \(602 = 7 \cdot 86\) ✓

   Sık yapılan hata

   Yalnızca ilk üç koşulu kullanıp \(122\) demek ya da EKOK'u \(6 \cdot 8 \cdot 10 = 480\) alıp \(482\)'yi denemek.

7. 7 İki sayının ortak bölenlerinin toplamı
   \(90\) ve \(126\) sayılarının ortak bölenlerinin toplamı kaçtır?
   1. A \(24\)
   2. B \(36\)
   3. C \(39\)
   4. D \(45\)
   5. E \(57\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • \(90\) ve \(126\)

   Ne soruluyor?

   Ortak bölenlerin toplamı?

   Çözüm

   1. Ortak bölenler, EBOB'un bölenleridir.
      → Temel özellik.
   2. \(90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(126 = 2 \cdot 3^2 \cdot 7\) → EBOB \(= 18\)
      → Küçük üsler.
   3. \(18\)'in bölenleri: \(1, 2, 3, 6, 9, 18\) → toplam \(39\)
      → Toplama.

   Kontrol

   \(9\), \(90\)'ı da \(126\)'yı da böler ✓; \(18\)'in bölenleri dışında ortak bölen yok ✓

   Sık yapılan hata

   Ortak bölen sayısını (\(6\)) ya da EBOB'u (\(18\)) cevap sanmak.

8. 8 EBOB ve çarpımı verilen sayıların en küçük farkı
   İki doğal sayının EBOB'u \(8\), çarpımı \(1280\)'dir. Bu iki sayının farkı en az kaç olabilir?
   1. A \(8\)
   2. B \(16\)
   3. C \(24\)
   4. D \(64\)
   5. E \(152\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • EBOB \(= 8\)
   • \(a \cdot b = 1280\)

   Ne soruluyor?

   \(|a - b|\) en az kaçtır?

   Çözüm

   1. \(a = 8x\), \(b = 8y\), \(x, y\) aralarında asal → \(64xy = 1280\) → \(xy = 20\)
      → Yazım.
   2. Aralarında asal ikililer: \((1, 20)\), \((4, 5)\)
      → \((2, 10)\) ortak \(2\) içerir.
   3. Sayılar: \((8, 160)\) → fark \(152\); \((32, 40)\) → fark \(8\)
      → Farklar.
   4. En az fark \(8\)
      → Sonuç.

   Kontrol

   EBOB\((32, 40) = 8\) ✓ \(32 \cdot 40 = 1280\) ✓

   Sık yapılan hata

   \((2, 10)\) ikilisini alıp \((16, 80)\) sayılarıyla \(64\) demek; bu sayıların EBOB'u \(16\)'dır.

9. 9 Dikdörtgenler prizmasını eş küplere ayırma
   Ayrıt uzunlukları \(120\) cm, \(180\) cm ve \(150\) cm olan dikdörtgenler prizması biçimindeki bir tahta blok, hiç artmayacak şekilde birbirinin aynısı küplere ayrılacaktır. En az kaç küp elde edilir?
   1. A \(15\)
   2. B \(30\)
   3. C \(60\)
   4. D \(90\)
   5. E \(120\)
   Çözümü Göster

   Verilenler

   • Ayrıtlar \(120\), \(180\), \(150\) cm
   • Eş küpler, artık yok

   Ne soruluyor?

   En az küp sayısı?

   Çözüm

   1. Küpün ayrıtı üç uzunluğu da bölmeli; en az küp için en büyük → EBOB\((120, 180, 150)\)
      → Parçalama sorusu.
   2. \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\), \(180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5\), \(150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2\) → EBOB \(= 30\)
      → Küçük üsler.
   3. Her ayrıt boyunca: \(4\), \(6\), \(5\) küp
      → Bölmeler.
   4. Toplam \(4 \cdot 6 \cdot 5 = 120\) küp
      → Hacim üç boyutlu: çarpılır.

   Kontrol

   Hacim: \(120 \cdot 180 \cdot 150 = 3\,240\,000\); küp \(27\,000\); oran \(120\) ✓

   Sık yapılan hata

   Sayıları toplamak (\(4 + 6 + 5 = 15\)) ya da küpün ayrıtını (\(30\)) cevap sanmak.

10. 10 Üç hattın ikinci kez birlikte kalkış saati
    Bir otobüs firmasının A hattından \(40\), B hattından \(60\), C hattından \(75\) dakikada bir otobüs kalkıyor. Üç hattan otobüsler sabah 06.00'da birlikte kalktığına göre, bu üç hattan otobüslerin bir sonraki birlikte kalkışı saat kaçtadır?
    1. A 12.00
    2. B 14.00
    3. C 15.00
    4. D 16.00
    5. E 18.00
    Çözümü Göster

    Verilenler

    • Aralıklar: \(40\), \(60\), \(75\) dk
    • Birlikte kalkış 06.00

    Ne soruluyor?

    Sonraki birlikte kalkış?

    Çözüm

    1. \(40 = 2^3 \cdot 5\), \(60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\), \(75 = 3 \cdot 5^2\) → EKOK \(= 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 600\) dk
       → Büyük üsler.
    2. \(600\) dk \(= 10\) saat
       → Birim dönüşümü.
    3. 06.00 \(+ 10\) saat \(=\) 16.00
       → Saat.

    Kontrol

    \(600 \div 40 = 15\), \(600 \div 60 = 10\), \(600 \div 75 = 8\) ✓

    Sık yapılan hata

    EKOK yerine EBOB (\(5\) dk) almak ya da \(600\) dakikayı \(6\) saat sanıp 12.00 demek.

← Tüm testler