KPSS Denklemler Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(x\) ve \(y\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(4x + 7y = 100\) olduğuna göre \(x + y\) toplamı en çok kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(4x + 7y = 100\)
- \(x, y\) pozitif tam sayı
Ne soruluyor?
\(x + y\) en çok kaçtır?
Çözüm
- \(4x = 100 - 7y\) → \(100 - 7y\), \(4\)'e bölünmeli; \(100\) \(4\)'e bölündüğünden \(7y\) de bölünmeli → \(y\), \(4\)'ün katı
→ Bölünebilme. - \(y = 4\) → \(x = 18\); \(y = 8\) → \(x = 11\); \(y = 12\) → \(x = 4\); \(y = 16\) → \(x \lt 0\) ✗
→ Pozitif çözümler. - Toplamlar: \(22\), \(19\), \(16\) → en çok \(22\)
→ Katsayısı küçük olan \(x\) büyüdükçe toplam artar.
Kontrol
\(4 \cdot 18 + 7 \cdot 4 = 72 + 28 = 100\) ✓
Sık yapılan hata
En küçük toplamı (\(16\)) almak ya da \(y\) için \(4\)'ün katı şartını görmeyip deneme yanılmada çözüm kaçırmak.
-
\(a\) bir tam sayı olmak üzere \(ax - 2 = 3x + a\) denkleminin kökü bir pozitif tam sayıdır. Buna göre \(a\)'nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(ax - 2 = 3x + a\)
- Kök pozitif tam sayı
- \(a\) tam sayı
Ne soruluyor?
\(a\) değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm
- \((a - 3)x = a + 2\) → \(x = \dfrac{a + 2}{a - 3}\) (\(a \neq 3\))
→ \(a = 3\) için \(0 = 5\) çelişkisi, çözüm yok. - \(x = \dfrac{(a - 3) + 5}{a - 3} = 1 + \dfrac{5}{a - 3}\)
→ Kesir parçalandı. - \(a - 3 \in \{\pm 1, \pm 5\}\): \(a - 3 = 1\) → \(x = 6\) ✓; \(a - 3 = 5\) → \(x = 2\) ✓; \(a - 3 = -1\) → \(x = -4\) ✗; \(a - 3 = -5\) → \(x = 0\) ✗
→ Kök pozitif olmalı. - \(a \in \{4, 8\}\) → toplam \(12\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(a = 4\): \(4x - 2 = 3x + 4\) → \(x = 6\) ✓; \(a = 8\): \(8x - 2 = 3x + 8\) → \(x = 2\) ✓
Sık yapılan hata
\(x = 0\) veren \(a = -2\)'yi de alıp \(10\) bulmak; \(0\) pozitif değildir.
-
Ahmet, Burak'a \(20\) TL verirse ikisinin parası eşit oluyor. Burak, Ahmet'e \(10\) TL verirse Ahmet'in parası Burak'ınkinin \(2\) katı oluyor. Ahmet'in parası kaç TL'dir?
Çözümü Göster
Verilenler
- Ahmet \(A\), Burak \(B\) TL
- \(A - 20 = B + 20\)
- \(A + 10 = 2(B - 10)\)
Ne soruluyor?
\(A\) kaçtır?
Çözüm
- Birinci durum: veren \(20\) azalır, alan \(20\) artar → \(A = B + 40\)
→ Fark \(40\) TL. - İkinci durum: \(A + 10 = 2B - 20\)
→ Parantez açıldı. - \(B + 40 + 10 = 2B - 20\) → \(B = 70\)
→ Yerine koyma. - \(A = 70 + 40 = 110\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(110 - 20 = 90 = 70 + 20\) ✓; \(110 + 10 = 120 = 2 \cdot (70 - 10)\) ✓
Sık yapılan hata
Birinci durumdaki farkı \(20\) sanmak (\(A = B + 20\)); para el değiştirince fark iki katı kadar değişir.
-
\(\dfrac{2}{x + y} + \dfrac{3}{x - y} = 2\) ve \(\dfrac{4}{x + y} - \dfrac{3}{x - y} = 1\) olduğuna göre \(x \cdot y\) çarpımı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{2}{x + y} + \dfrac{3}{x - y} = 2\)
- \(\dfrac{4}{x + y} - \dfrac{3}{x - y} = 1\)
Ne soruluyor?
\(x \cdot y\) kaçtır?
Çözüm
- \(u = \dfrac{1}{x + y}\), \(v = \dfrac{1}{x - y}\) dersek: \(2u + 3v = 2\), \(4u - 3v = 1\)
→ Sistem doğrusal hâle geldi. - Toplayalım: \(6u = 3\) → \(u = \dfrac{1}{2}\) → \(x + y = 2\)
→ \(v\)'ler götürür. - \(1 + 3v = 2\) → \(v = \dfrac{1}{3}\) → \(x - y = 3\)
→ Yerine koyma. - \(x = \dfrac{5}{2}\), \(y = -\dfrac{1}{2}\) → \(x \cdot y = -\dfrac{5}{4}\)
→ Toplam ve farktan.
Kontrol
\(\dfrac{2}{2} + \dfrac{3}{3} = 2\) ✓, \(\dfrac{4}{2} - \dfrac{3}{3} = 1\) ✓
Sık yapılan hata
\(u\) ve \(v\)'yi bulup \(x + y = \dfrac{1}{2}\) ve \(x - y = \dfrac{1}{3}\) almak; bunlar terslerin değeridir.
-
\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{20} = 8\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{20} = 8\)
Ne soruluyor?
\(x\) kaçtır?
Çözüm
- Paydalar \(1 \cdot 2\), \(2 \cdot 3\), \(3 \cdot 4\), \(4 \cdot 5\): \(\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}\)
→ Ardışık çarpım. - Katsayılar toplamı: \(\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\)
→ Ara terimler götürür. - \(\dfrac{4x}{5} = 8\) → \(x = 10\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(5 + \dfrac{10}{6} + \dfrac{10}{12} + \dfrac{1}{2} = 5 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{2} = 8\) ✓
Sık yapılan hata
Katsayılar toplamını \(1 - \dfrac{1}{4}\) sanıp \(x = \dfrac{32}{3}\) bulmak ya da son paydayı \(4 \cdot 5\) değil \(5 \cdot 6\) diye düşünmek.
-
\(50\) soruluk bir sınavda her doğru cevap \(2\) puan kazandırıyor, her yanlış cevap \(0{,}5\) puan kaybettiriyor, boş bırakılan sorular puanı etkilemiyor. Bu sınavda \(6\) soruyu boş bırakan Elif \(63\) puan aldığına göre kaç soruyu yanlış cevaplamıştır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(50\) soru, \(6\) boş → cevaplanan \(44\)
- Doğru \(+2\), yanlış \(-0{,}5\)
- Puan \(63\)
Ne soruluyor?
Yanlış sayısı kaçtır?
Çözüm
- Doğru \(d\), yanlış \(y\): \(d + y = 44\) ve \(2d - 0{,}5y = 63\)
→ İki bilinmeyenli sistem. - İkinci denklem \(2\) ile çarpılır: \(4d - y = 126\)
→ Ondalıktan kurtulma. - Toplama: \(5d = 170\) → \(d = 34\)
→ \(y\)'ler götürür. - \(y = 44 - 34 = 10\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(34 \cdot 2 - 10 \cdot 0{,}5 = 68 - 5 = 63\) ✓; \(34 + 10 + 6 = 50\) ✓
Sık yapılan hata
Boş soruları hesaba katmayıp \(d + y = 50\) yazmak ya da doğru sayısını (\(34\)) cevap sanmak.
-
\(a\) ve \(b\) reel sayılar olmak üzere
\(ax + 2y = 4\)
\(3x + by = 6\)
denklem sistemi veriliyor. Buna göre,
I. \(a = 3\) ve \(b = 2\) ise sistemin sonsuz çoklukta çözümü vardır.
II. \(a \cdot b = 6\) ve \(a \neq 2\) ise sistemin çözümü yoktur.
III. \(a \cdot b \neq 6\) ise sistemin tek bir çözümü vardır.
ifadelerinden hangileri doğrudur?Çözümü Göster
Verilenler
- \(ax + 2y = 4\)
- \(3x + by = 6\)
Ne soruluyor?
Hangi öncüller doğru?
Çözüm
- Tek çözüm ↔ \(\dfrac{a}{3} \neq \dfrac{2}{b}\) ↔ \(ab \neq 6\). Bu yüzden III doğru.
→ Doğrular kesişir. - \(ab = 6\) ise doğrular paraleldir; çakışmaları için ayrıca \(\dfrac{a}{3} = \dfrac{2}{b} = \dfrac{4}{6}\) → \(a = 2\), \(b = 3\) olmalı. \(a \neq 2\) iken çakışma yok, çözüm yok. II doğru.
→ Paralel ama farklı doğrular. - I: \(a = 3\), \(b = 2\) → \(3x + 2y = 4\) ve \(3x + 2y = 6\); aynı ifade hem \(4\) hem \(6\) olamaz → çözüm yok. I yanlış.
→ \(ab = 6\) ama \(a \neq 2\). - Doğru olanlar: II ve III
→ Sonuç.
Kontrol
\(a = 2\), \(b = 3\): \(2x + 2y = 4\) ve \(3x + 3y = 6\) → ikisi de \(x + y = 2\), sonsuz çözüm; II'deki \(a \neq 2\) şartı bu yüzden gerekli ✓
Sık yapılan hata
\(ab = 6\) görünce sabit terimlere bakmadan "sonsuz çözüm" demek ve I'i doğru saymak.
-
Bir kesrin payına \(2\) eklenirse kesrin değeri \(\dfrac{1}{2}\), paydasından \(3\) çıkarılırsa kesrin değeri \(\dfrac{1}{3}\) oluyor. Bu kesir kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- Kesir \(\dfrac{a}{b}\)
- \(\dfrac{a + 2}{b} = \dfrac{1}{2}\)
- \(\dfrac{a}{b - 3} = \dfrac{1}{3}\)
Ne soruluyor?
\(\dfrac{a}{b}\) kaçtır?
Çözüm
- Birinci koşul: \(2a + 4 = b\)
→ İçler dışlar. - İkinci koşul: \(3a = b - 3\) → \(b = 3a + 3\)
→ İçler dışlar. - \(2a + 4 = 3a + 3\) → \(a = 1\), \(b = 6\)
→ Eşitleme. - Kesir \(\dfrac{1}{6}\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(\dfrac{1 + 2}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) ✓, \(\dfrac{1}{6 - 3} = \dfrac{1}{3}\) ✓
Sık yapılan hata
Koşullardan birini paya, diğerini paydaya uygularken karıştırmak; ya da bulunan \(a\) ve \(b\) yerine \(a + 2\) ile \(b\)'yi yazıp \(\dfrac{3}{6}\) sanmak.
-
\(a\) ve \(b\) pozitif reel sayılar olmak üzere \(\dfrac{x - a}{b} + \dfrac{x - b}{a} = 2\) denkleminin kökü aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{x - a}{b} + \dfrac{x - b}{a} = 2\)
- \(a, b \gt 0\)
Ne soruluyor?
Denklemin kökü nedir?
Çözüm
- Her iki taraf \(ab\) ile çarpılır: \(a(x - a) + b(x - b) = 2ab\)
→ Paydalar kaldırıldı. - \(ax + bx = a^2 + 2ab + b^2\) → \((a + b)x = (a + b)^2\)
→ Sağ taraf tam kare. - \(a + b \gt 0\) olduğundan iki taraf \(a + b\)'ye bölünür: \(x = a + b\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(x = a + b\) yazılırsa: \(\dfrac{b}{b} + \dfrac{a}{a} = 1 + 1 = 2\) ✓
Sık yapılan hata
\(2ab\)'yi sağ tarafta unutup \((a + b)x = a^2 + b^2\) yazmak ve kökü sadeleştirememek.
-
\((m^2 - 4)x = m + 2\) denklemi veriliyor. Denklemin çözüm kümesini boş küme yapan \(m\) değeri \(p\), reel sayılar kümesi yapan \(m\) değeri \(r\) olduğuna göre \(p - r\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \((m^2 - 4)x = m + 2\)
Ne soruluyor?
\(p - r\) kaçtır?
Çözüm
- Katsayı sıfır olmazsa tek çözüm vardır; özel durumlar \(m^2 - 4 = 0\) → \(m = 2\) ya da \(m = -2\)
→ Katsayıyı sıfır yapan değerler. - \(m = 2\): \(0 \cdot x = 4\) → çözüm yok → \(p = 2\)
→ Boş küme. - \(m = -2\): \(0 \cdot x = 0\) → her \(x\) sağlar → \(r = -2\)
→ Reel sayılar kümesi. - \(p - r = 2 - (-2) = 4\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(m = 2\): \(0 = 4\) çelişki ✓; \(m = -2\): \(0 = 0\) her zaman doğru ✓
Sık yapılan hata
\(p\) ile \(r\)'yi karıştırıp \(-4\) bulmak ya da \(m = \pm 2\)'nin ikisini de boş küme sanmak.