Paydaları ardışık çarpımlardan oluşan denklem
\(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{20} = 8\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{x}{6} + \dfrac{x}{12} + \dfrac{x}{20} = 8\)
Ne soruluyor?
\(x\) kaçtır?
Çözüm
- Paydalar \(1 \cdot 2\), \(2 \cdot 3\), \(3 \cdot 4\), \(4 \cdot 5\): \(\dfrac{1}{k(k + 1)} = \dfrac{1}{k} - \dfrac{1}{k + 1}\)
→ Ardışık çarpım. - Katsayılar toplamı: \(\left(1 - \dfrac{1}{2}\right) + \left(\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}\right) + \left(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}\right) + \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5}\right) = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5}\)
→ Ara terimler götürür. - \(\dfrac{4x}{5} = 8\) → \(x = 10\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(5 + \dfrac{10}{6} + \dfrac{10}{12} + \dfrac{1}{2} = 5 + \dfrac{5}{3} + \dfrac{5}{6} + \dfrac{1}{2} = 8\) ✓
Sık yapılan hata
Katsayılar toplamını \(1 - \dfrac{1}{4}\) sanıp \(x = \dfrac{32}{3}\) bulmak ya da son paydayı \(4 \cdot 5\) değil \(5 \cdot 6\) diye düşünmek.