KPSS Denklemler Çok Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 30 dk
- Zorluk
- Çok zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(x + y = 7\) ve \(x^2 + y^2 = 29\) olduğuna göre \(x^3 + y^3\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x + y = 7\)
- \(x^2 + y^2 = 29\)
Ne soruluyor?
\(x^3 + y^3\) kaçtır?
Çözüm
- \((x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy\) → \(49 = 29 + 2xy\) → \(xy = 10\)
→ Tam kare açılımı. - \(x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y)\)
→ Küpler toplamı özdeşliği. - \(= 343 - 3 \cdot 10 \cdot 7 = 343 - 210 = 133\)
→ Yerine yazıldı.
Kontrol
\(x, y = 2, 5\): \(8 + 125 = 133\) ✓
Sık yapılan hata
\((x + y)^3\) değerini doğrudan cevap sanmak (\(343\)) ya da \(3xy(x + y)\) yerine \(3xy\) çıkarmak (\(313\)).
-
\(2x + 3y + 4z = 29\) ve \(3x + 4y + 5z = 38\) olduğuna göre \(x + y + z\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2x + 3y + 4z = 29\)
- \(3x + 4y + 5z = 38\)
Ne soruluyor?
\(x + y + z\) kaçtır?
Çözüm
- Üç bilinmeyen, iki denklem: tek tek çözülemez; ama istenen ifade bulunabilir.
→ Denklemleri birleştirmek gerekiyor. - İkinci denklemden birinciyi çıkaralım: \((3x - 2x) + (4y - 3y) + (5z - 4z) = 38 - 29\)
→ Her katsayı tam \(1\) azalıyor. - \(x + y + z = 9\)
→ Doğrudan sonuç.
Kontrol
Örnek çözüm: \(x = 1, y = 5, z = 3\) → \(2 + 15 + 12 = 29\) ✓ \(3 + 20 + 15 = 38\) ✓ \(1 + 5 + 3 = 9\) ✓
Sık yapılan hata
Denklemleri toplamak (\(5x + 7y + 9z = 67\)) işe yaramaz. Katsayıların farkının hep \(1\) olduğunu görmek sorunun anahtarıdır.
-
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(5a + 7b = 101\) denklemi sağlanıyor. Buna göre \(a + b\) toplamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a, b \in \mathbb{Z}^+\)
- \(5a + 7b = 101\)
Ne soruluyor?
\(a + b\)'nin alabileceği değerlerin toplamı?
Çözüm
- \(5a = 101 - 7b\) → \(101 - 7b\), \(5\)'in katı olmalı.
→ \(a\) tam sayı. - \(b = 3\): \(101 - 21 = 80\) → \(a = 16\) ✓
→ İlk uygun \(b\). - \(b\) \(5\) arttıkça \(a\) \(7\) azalır: \((a, b) = (16, 3), (9, 8), (2, 13)\)
→ \(b = 18\) için \(a \lt 0\). - \(a + b\): \(19, 17, 15\) → toplam \(51\)
→ İstenen toplam.
Kontrol
\(5 \cdot 9 + 7 \cdot 8 = 45 + 56 = 101\) ✓ \(5 \cdot 2 + 7 \cdot 13 = 10 + 91 = 101\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca ilk çözümü bulup \(19\) demek ya da çözümlerin sayısını (\(3\)) vermek.
-
\(x + y = 5\) ve \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6}\) olduğuna göre \(x^2 + y^2\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x + y = 5\)
- \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{5}{6}\)
Ne soruluyor?
\(x^2 + y^2\)?
Çözüm
- \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy}\) → \(\dfrac{5}{xy} = \dfrac{5}{6}\) → \(xy = 6\)
→ Payda eşitleme. - \(x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy = 25 - 12 = 13\)
→ Özdeşlik.
Kontrol
\(x, y = 2, 3\): \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6}\) ✓ \(4 + 9 = 13\) ✓
Sık yapılan hata
\((x + y)^2\)'yi (\(25\)) cevap sanmak ya da \(2xy\) yerine \(xy\) çıkarmak (\(19\)).
-
\(a + b = 11\), \(b + c = 15\) ve \(a + c = 14\) olduğuna göre \(a \cdot b \cdot c\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a + b = 11\)
- \(b + c = 15\)
- \(a + c = 14\)
Ne soruluyor?
\(abc\)?
Çözüm
- Üç denklemi toplayalım: \(2(a + b + c) = 40\) → \(a + b + c = 20\)
→ Her bilinmeyen iki kez geçiyor. - \(c = 20 - 11 = 9\), \(a = 20 - 15 = 5\), \(b = 20 - 14 = 6\)
→ Toplamdan her ikiliyi çıkar. - \(abc = 5 \cdot 6 \cdot 9 = 270\)
→ Çarpım.
Kontrol
\(5 + 6 = 11\) ✓ \(6 + 9 = 15\) ✓ \(5 + 9 = 14\) ✓
Sık yapılan hata
Denklemlerin toplamını (\(40\)) \(a + b + c\) sanmak; bu durumda sayılar yanlış çıkar.
-
\(\dfrac{x}{y} = \dfrac{3}{4}\) ve \(5x - 2y = 21\) olduğuna göre \(x + y\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x : y = 3 : 4\)
- \(5x - 2y = 21\)
Ne soruluyor?
\(x + y\)?
Çözüm
- \(x = 3k\), \(y = 4k\)
→ Oranı sabitle yazmak. - \(15k - 8k = 21\) → \(k = 3\)
→ Yerine koyma. - \(x = 9\), \(y = 12\) → \(x + y = 21\)
→ Toplam.
Kontrol
\(\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\) ✓ \(45 - 24 = 21\) ✓
Sık yapılan hata
\(x = 3\), \(y = 4\) alıp denklemi kontrol etmeden \(7\) demek.
-
Bir miktar para A, B ve C arasında paylaştırılıyor. A'nın payı, B'nin payının \(2\) katından \(10\) TL eksik; C'nin payı, A ile B'nin paylarının toplamının yarısıdır. Toplam para \(165\) TL olduğuna göre B'nin payı kaç TL'dir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(A = 2B - 10\)
- \(C = \dfrac{A + B}{2}\)
- \(A + B + C = 165\)
Ne soruluyor?
\(B\)?
Çözüm
- \(A + B = 3B - 10\)
→ Yerine koyma. - \(A + B + C = (A + B) + \dfrac{A + B}{2} = \dfrac{3}{2}(A + B)\)
→ C, toplamın yarısı. - \(\dfrac{3}{2}(3B - 10) = 165\) → \(3B - 10 = 110\) → \(B = 40\)
→ Çözüm.
Kontrol
\(A = 70\), \(B = 40\), \(C = 55\): \(70 + 40 + 55 = 165\) ✓
Sık yapılan hata
C'yi hesaba katmadan \(3B - 10 = 165\) yazıp \(B = 58{,}3\) gibi tam olmayan bir sonuca varmak.
-
\(\dfrac{x - 2}{3} - \dfrac{x + 1}{4} = 1\) olduğuna göre \(x\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{x - 2}{3} - \dfrac{x + 1}{4} = 1\)
Ne soruluyor?
\(x\)?
Çözüm
- Paydaları \(12\)'de eşitleyelim: \(4(x - 2) - 3(x + 1) = 12\)
→ Her terim \(12\) ile çarpıldı. - \(4x - 8 - 3x - 3 = 12\)
→ Eksi, parantezin iki terimine de dağıtıldı. - \(x - 11 = 12\) → \(x = 23\)
→ Çözüm.
Kontrol
\(\dfrac{21}{3} - \dfrac{24}{4} = 7 - 6 = 1\) ✓
Sık yapılan hata
Eksiyi yalnızca \(3x\)'e dağıtıp \(-3\) yerine \(+3\) yazmak: \(x - 5 = 12\) → \(17\).
-
\(x\) ve \(y\) pozitif tam sayılar, \(x \lt y\) ve \(xy + x + y = 34\) olduğuna göre \(y - x\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(xy + x + y = 34\)
- \(0 \lt x \lt y\)
Ne soruluyor?
\(y - x\)?
Çözüm
- İki tarafa \(1\) ekleyelim: \(xy + x + y + 1 = 35\) → \((x + 1)(y + 1) = 35\)
→ Ortak çarpan parantezi. - \(35 = 1 \cdot 35 = 5 \cdot 7\); \(x + 1 \ge 2\) olduğundan \(x + 1 = 5\), \(y + 1 = 7\)
→ \(x + 1 = 1\) → \(x = 0\) (pozitif değil). - \(x = 4\), \(y = 6\) → \(y - x = 2\)
→ Fark.
Kontrol
\(24 + 4 + 6 = 34\) ✓
Sık yapılan hata
\(1\) ekleme hilesini görmeden deneme yanılmaya girmek; ya da \((x + 1)(y + 1) = 35\)'ten \(5\) ile \(7\)'yi \(x\) ve \(y\) sanıp cevabı yine \(2\) bulmak (şans eseri doğru ama yöntem yanlış).
-
\(\begin{cases} 2x + ky = 7 \\ 4x + 6y = 5 \end{cases}\) denklem sisteminin çözüm kümesi boş küme olduğuna göre \(k\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(2x + ky = 7\)
- \(4x + 6y = 5\)
- Çözüm yok
Ne soruluyor?
\(k\)?
Çözüm
- İki doğrunun kesişmemesi için katsayılar orantılı, sabitler orantısız olmalı: \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{k}{6} \ne \dfrac{7}{5}\)
→ Paralel doğrular. - \(\dfrac{k}{6} = \dfrac{1}{2}\) → \(k = 3\)
→ Orantı. - \(\dfrac{1}{2} \ne \dfrac{7}{5}\) ✓ → sistem çelişkili
→ Sabitler orantısız.
Kontrol
\(k = 3\): birinci denklemin \(2\) katı \(4x + 6y = 14\), ikinci \(4x + 6y = 5\) → aynı ifade iki farklı sayıya eşit, çözüm yok ✓
Sık yapılan hata
Oranı ters kurup \(\dfrac{4}{2} = \dfrac{6}{k}\) → yine \(3\), doğru; ama \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{k}\) yazıp \(12\) bulmak sık yapılan hatadır.