Pozitif tam sayı çözümlerde toplamların toplamı
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(5a + 7b = 101\) denklemi sağlanıyor. Buna göre \(a + b\) toplamının alabileceği değerlerin toplamı kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a, b \in \mathbb{Z}^+\)
- \(5a + 7b = 101\)
Ne soruluyor?
\(a + b\)'nin alabileceği değerlerin toplamı?
Çözüm
- \(5a = 101 - 7b\) → \(101 - 7b\), \(5\)'in katı olmalı.
→ \(a\) tam sayı. - \(b = 3\): \(101 - 21 = 80\) → \(a = 16\) ✓
→ İlk uygun \(b\). - \(b\) \(5\) arttıkça \(a\) \(7\) azalır: \((a, b) = (16, 3), (9, 8), (2, 13)\)
→ \(b = 18\) için \(a \lt 0\). - \(a + b\): \(19, 17, 15\) → toplam \(51\)
→ İstenen toplam.
Kontrol
\(5 \cdot 9 + 7 \cdot 8 = 45 + 56 = 101\) ✓ \(5 \cdot 2 + 7 \cdot 13 = 10 + 91 = 101\) ✓
Sık yapılan hata
Yalnızca ilk çözümü bulup \(19\) demek ya da çözümlerin sayısını (\(3\)) vermek.