KPSS Çarpanlara Ayırma Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 25 dk
- Zorluk
- Zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
Tanımlı olduğu \(x\) değerleri için \(\dfrac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4} \cdot \dfrac{x^{2} + 5x + 6}{x^{2} + x - 6}\) ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{x^{2} - 4x + 4}{x^{2} - 4} \cdot \dfrac{x^{2} + 5x + 6}{x^{2} + x - 6}\)
Ne soruluyor?
İfadenin eşiti.
Çözüm
- \(x^{2} - 4x + 4 = (x - 2)^{2}\), \(x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)\)
→ Tam kare ve iki kare farkı. - \(x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\), \(x^{2} + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\)
→ Üç terimliler ayrılır. - \(\dfrac{(x - 2)^{2}(x + 2)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)(x + 3)(x - 2)} = 1\)
→ Paydaki her çarpan paydada da var; sonuç \(1\).
Kontrol
\(x = 0\): \(\dfrac{4}{-4} \cdot \dfrac{6}{-6} = (-1)(-1) = 1\) ✓
Sık yapılan hata
\(x^{2} + x - 6\)'yı \((x - 3)(x + 2)\) diye ayırıp sadeleşmeyi bozmak ya da işaret hatasıyla \(-1\) bulmak.
-
\(\dfrac{2023 \cdot 2025 + 1}{2024}\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{2023 \cdot 2025 + 1}{2024}\)
Ne soruluyor?
İşlemin sonucu.
Çözüm
- \(2023 = 2024 - 1\), \(2025 = 2024 + 1\)
→ Sayılar ortadaki sayı cinsinden yazılır. - \((2024 - 1)(2024 + 1) = 2024^{2} - 1\)
→ İki kare farkı. - \(\dfrac{2024^{2} - 1 + 1}{2024} = \dfrac{2024^{2}}{2024} = 2024\)
→ Sonuç \(2024\).
Kontrol
\(2023 \cdot 2025 = 4096575\); \(4096576 = 2024^{2}\) ✓
Sık yapılan hata
\((2024 - 1)(2024 + 1)\)'i \(2024^{2} + 1\) sanıp sonucu tam sayı çıkmayan bir kesre götürmek.
-
\(x \gt 0\) ve \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 14\) olduğuna göre \(x + \dfrac{1}{x}\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x \gt 0\)
- \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 14\)
Ne soruluyor?
\(x + \dfrac{1}{x}\) değeri.
Çözüm
- \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = x^{2} + 2 + \dfrac{1}{x^{2}}\)
→ Toplamın karesi; ortadaki terim \(2 \cdot x \cdot \dfrac{1}{x} = 2\). - \(\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^{2} = 14 + 2 = 16\)
→ Verilen yerine yazılır. - \(x \gt 0\) olduğundan \(x + \dfrac{1}{x} \gt 0\): \(x + \dfrac{1}{x} = 4\)
→ Negatif kök \(-4\) elenir.
Kontrol
\(x = 2 + \sqrt{3}\) için \(\dfrac{1}{x} = 2 - \sqrt{3}\); toplam \(4\) ve \(x^{2} + \dfrac{1}{x^{2}} = 16 - 2 = 14\) ✓
Sık yapılan hata
Ortadaki terimi çıkarıp \(14 - 2 = 12\) → \(\sqrt{12}\) bulmak ya da \(\sqrt{14}\) demek.
-
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(ab + 2a + 3b = 19\) olduğuna göre \(a + b\) toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(ab + 2a + 3b = 19\)
- \(a, b\) pozitif tam sayı
Ne soruluyor?
\(a + b\) değeri.
Çözüm
- İki tarafa \(6\) ekleyelim: \(ab + 2a + 3b + 6 = 25\)
→ Gruplandırmayı tamamlamak için sabit eklenir. - \(a(b + 2) + 3(b + 2) = (a + 3)(b + 2) = 25\)
→ Ortak çarpan \(b + 2\). - \(a + 3 \ge 4\) ve \(b + 2 \ge 3\) olduğundan tek seçenek \(5 \cdot 5\): \(a = 2\), \(b = 3\)
→ \(25 = 1 \cdot 25 = 5 \cdot 5 = 25 \cdot 1\). - \(a + b = 2 + 3 = 5\)
→ Sonuç \(5\).
Kontrol
\(2 \cdot 3 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 6 + 4 + 9 = 19\) ✓
Sık yapılan hata
Eklenecek sabiti \(2 \cdot 3 = 6\) yerine \(5\) almak ya da \(a + 3 = 25\), \(b + 2 = 1\) gibi pozitifliği bozan çözümü kabul etmek.
-
\(\dfrac{27^{3} + 13^{3}}{27^{2} - 27 \cdot 13 + 13^{2}}\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(\dfrac{27^{3} + 13^{3}}{27^{2} - 27 \cdot 13 + 13^{2}}\)
Ne soruluyor?
İşlemin sonucu.
Çözüm
- \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)
→ Küpler toplamı özdeşliği. - \(a = 27\), \(b = 13\) için payda tam olarak \(a^{2} - ab + b^{2}\)
→ Payda, özdeşliğin ikinci çarpanıdır. - \(\dfrac{(27 + 13)(27^{2} - 27 \cdot 13 + 13^{2})}{27^{2} - 27 \cdot 13 + 13^{2}} = 27 + 13 = 40\)
→ Sadeleşme; sonuç \(40\).
Kontrol
Pay \(19683 + 2197 = 21880\), payda \(729 - 351 + 169 = 547\); \(547 \cdot 40 = 21880\) ✓
Sık yapılan hata
Paydayı \((27 - 13)^{2}\) sanıp sadeleşmeyi görememek ya da küpler toplamını \((a + b)^{3}\) ile karıştırmak.
-
\(x^{2} + ax - 8\) ve \(x^{2} - 6x + b\) ifadelerinin ortak çarpanı \(x - 4\) olduğuna göre \(a + b\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^{2} + ax - 8\) ve \(x^{2} - 6x + b\) ifadelerinin ortak çarpanı \(x - 4\)
Ne soruluyor?
\(a + b\) değeri.
Çözüm
- \(x^{2} + ax - 8 = (x - 4)(x + 2)\) olmalı (sabitlerin çarpımı \(-8\))
→ Diğer çarpan \(x + 2\). - \((x - 4)(x + 2) = x^{2} - 2x - 8\) → \(a = -2\)
→ Açılım. - \(x^{2} - 6x + b = (x - 4)(x - 2)\) olmalı (\(x\) katsayısı \(-6\)) → \(b = 8\)
→ Diğer çarpan \(x - 2\). - \(a + b = -2 + 8 = 6\)
→ Sonuç \(6\).
Kontrol
\(x = 4\): \(16 - 8 - 8 = 0\) ve \(16 - 24 + 8 = 0\) ✓
Sık yapılan hata
İkinci ifadenin diğer çarpanını \(x + 2\) alıp \(b = -8\) bulmak ve toplamı \(-10\) vermek.
-
Toplamları \(5\), kareleri toplamı \(13\) olan iki gerçek sayının küpleri toplamı kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a + b = 5\)
- \(a^{2} + b^{2} = 13\)
Ne soruluyor?
\(a^{3} + b^{3}\) değeri.
Çözüm
- \((a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\) → \(25 = 13 + 2ab\) → \(ab = 6\)
→ Çarpım bulunur. - \(a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})\)
→ Küpler toplamı özdeşliği. - \(5 \cdot (13 - 6) = 5 \cdot 7 = 35\)
→ Sonuç \(35\).
Kontrol
Sayılar \(2\) ve \(3\): \(8 + 27 = 35\) ✓
Sık yapılan hata
Küpler toplamını \((a + b)^{3} = 125\) sanmak ya da ortadaki \(-ab\) yerine \(+ab\) alıp \(5 \cdot 19 = 95\) bulmak.
-
\(x^{4} - 13x^{2} + 36\) ifadesi, \(x\)'in katsayısı \(1\) olan birinci dereceden dört çarpanın çarpımı biçiminde yazılabiliyor. Bu dört çarpanın toplamı aşağıdakilerden hangisidir?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^{4} - 13x^{2} + 36\)
Ne soruluyor?
Dört çarpanın toplamı.
Çözüm
- \(x^{2} = t\): \(t^{2} - 13t + 36 = (t - 4)(t - 9)\)
→ Çarpımı \(36\), toplamı \(-13\) olan sayılar \(-4\) ve \(-9\). - \((x^{2} - 4)(x^{2} - 9) = (x - 2)(x + 2)(x - 3)(x + 3)\)
→ İki kare farkı iki kez. - Toplam: \((x - 2) + (x + 2) + (x - 3) + (x + 3) = 4x\)
→ Sabitler birbirini götürür; sonuç \(4x\).
Kontrol
\(x = 1\): \(1 - 13 + 36 = 24\) ve \((-1)(3)(-2)(4) = 24\) ✓
Sık yapılan hata
\((x^{2} - 4)(x^{2} - 9)\)'da durup bu iki çarpanı toplamak (\(2x^{2} - 13\)) ya da yalnızca pozitif kökleri alıp \(4x - 10\) demek.
-
\(a\) ve \(b\) pozitif tam sayılar olmak üzere \(a^{2} - b^{2} = 32\) olduğuna göre \(a + b\) toplamının alabileceği en büyük değer kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a^{2} - b^{2} = 32\)
- \(a, b\) pozitif tam sayı
Ne soruluyor?
\(a + b\)'nin en büyük değeri.
Çözüm
- \((a - b)(a + b) = 32\); \(a - b\) ile \(a + b\) aynı teklikte olmalı
→ Toplamları \(2a\) çift olduğundan ikisi de çift ya da ikisi de tek. - \(32\)'nin çarpanları: \(1 \cdot 32\) (farklı teklik ✗), \(2 \cdot 16\) ✓, \(4 \cdot 8\) ✓
→ Uygun çiftler. - \(2 \cdot 16\): \(a = 9\), \(b = 7\), \(a + b = 16\); \(4 \cdot 8\): \(a = 6\), \(b = 2\), \(a + b = 8\)
→ Karşılaştırma. - En büyük değer \(16\)
→ Sonuç \(16\).
Kontrol
\(9^{2} - 7^{2} = 81 - 49 = 32\) ✓
Sık yapılan hata
\(1 \cdot 32\) çiftini de kabul edip \(a + b = 32\) demek; bu durumda \(a = 16{,}5\) olur, tam sayı değildir.
-
Son üç terimi tam kareye dönüştürülerek \(x^{2} - y^{2} + 6y - 9\) ifadesi çarpanlarına ayrılırsa aşağıdakilerden hangisi bulunur?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^{2} - y^{2} + 6y - 9\)
Ne soruluyor?
Çarpanlarına ayrılmış biçim.
Çözüm
- \(-y^{2} + 6y - 9 = -(y^{2} - 6y + 9) = -(y - 3)^{2}\)
→ Son üç terim eksi parantezine alınıp tam kare yapılır. - \(x^{2} - (y - 3)^{2}\)
→ İki kare farkı biçimi. - \([x - (y - 3)][x + (y - 3)] = (x - y + 3)(x + y - 3)\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(x = 2\), \(y = 1\): \(4 - 1 + 6 - 9 = 0\) ve \((2 - 1 + 3)(2 + 1 - 3) = 4 \cdot 0 = 0\); \(x = 0\), \(y = 5\): \(-25 + 30 - 9 = -4\) ve \((-2)(2) = -4\) ✓
Sık yapılan hata
Eksi parantezine alırken işaretleri değiştirmeyip \(-(y + 3)^{2}\) yazmak ya da \(x - (y - 3)\)'ü \(x - y - 3\) diye açmak.