KPSS Çarpanlara Ayırma Çok Zor Test 1
- Soru sayısı
- 10
- Süre
- 30 dk
- Zorluk
- Çok zor
Teste Başla Sonunda doğru, yanlış ve boş sayını, süreni ve çözümleri görürsün.
Aşağıda soruları çözümleriyle birlikte inceleyebilirsin. Kendini denemek istersen önce yukarıdan teste başla.
-
\(a - b = 3\) ve \(a \cdot b = 10\) olduğuna göre \(a^3 - b^3\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a - b = 3\)
- \(ab = 10\)
Ne soruluyor?
\(a^3 - b^3\)?
Çözüm
- \(a^3 - b^3 = (a - b)^3 + 3ab(a - b)\)
→ Özdeşlik. - \(= 27 + 90 = 117\)
→ Yerine koyma.
Kontrol
\(a = 5, b = 2\): \(125 - 8 = 117\) ✓
Sık yapılan hata
\((a - b)^3\)'ü (\(27\)) cevap sanmak ya da \(3ab(a - b)\)'yi çıkarmak (\(-63\)).
-
\(x + \dfrac{1}{x} = 4\) olduğuna göre \(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x + \dfrac{1}{x} = 4\)
Ne soruluyor?
\(x^4 + \dfrac{1}{x^4}\)?
Çözüm
- Kare: \(x^2 + \dfrac{1}{x^2} = 16 - 2 = 14\)
→ Orta terim \(2\). - Tekrar kare: \(x^4 + \dfrac{1}{x^4} = 196 - 2 = 194\)
→ Aynı yöntem.
Kontrol
\(x = 2 + \sqrt{3}\): \(x^4 \approx 193{,}99\), \(\dfrac{1}{x^4} \approx 0{,}005\) → \(194\) ✓
Sık yapılan hata
Her karede \(2\) çıkarmayı unutmak (\(256\)) ya da yalnızca birinde çıkarmak (\(196\)).
-
\(999^2 - 998^2 + 997^2 - 996^2 + \dots + 3^2 - 2^2 + 1^2\) işleminin sonucu kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- İşaretler dönüşümlü
Ne soruluyor?
Sonuç?
Çözüm
- Her çift: \((2k + 1)^2 - (2k)^2 = (2k + 1 - 2k)(2k + 1 + 2k) = 4k + 1 = (2k + 1) + 2k\)
→ Kareler farkı. - Yani toplam \(999 + 998 + 997 + \dots + 2 + 1\)
→ Her çift, iki sayının toplamına eşit. - \(\dfrac{999 \cdot 1000}{2} = 499\,500\)
→ Gauss toplamı.
Kontrol
Küçük örnek: \(3^2 - 2^2 + 1^2 = 6 = 1 + 2 + 3\) ✓
Sık yapılan hata
Sonuncu \(1^2\) terimini unutmak (\(499\,499\)) ya da farkların hepsini \(1\) sanmak.
-
\((x + 2)(x - 2)(x^2 + 4) + 16 = 81\) olduğuna göre \(x^2\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \((x + 2)(x - 2)(x^2 + 4) + 16 = 81\)
Ne soruluyor?
\(x^2\)?
Çözüm
- \((x + 2)(x - 2) = x^2 - 4\); \((x^2 - 4)(x^2 + 4) = x^4 - 16\)
→ İki kez kareler farkı. - \(x^4 - 16 + 16 = 81\) → \(x^4 = 81\) → \(x^2 = 9\)
→ Çözüm.
Kontrol
\(x = 3\): \(5 \cdot 1 \cdot 13 + 16 = 81\) ✓
Sık yapılan hata
\(x\)'i (\(3\)) cevap vermek ya da \(x^4 = 81\)'den \(x^2 = \pm 9\) diyerek negatif seçeneğe yönelmek.
-
\(a + b = 6\) ve \(a \cdot b = 4\) olduğuna göre \(a^2b + ab^2 + a^2 + b^2\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a + b = 6\)
- \(ab = 4\)
Ne soruluyor?
İfade?
Çözüm
- \(a^2b + ab^2 = ab(a + b) = 24\)
→ Ortak çarpan. - \(a^2 + b^2 = (a + b)^2 - 2ab = 36 - 8 = 28\)
→ Özdeşlik. - Toplam \(24 + 28 = 52\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(a, b = 3 \pm \sqrt{5}\) için sayısal kontrol \(52\) verir ✓
Sık yapılan hata
\(a^2 + b^2\)'yi \(36\) almak (\(60\)).
-
\(x^2 + y^2 - 4x + 6y + 13 = 0\) olduğuna göre \(x \cdot y\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0\)
Ne soruluyor?
\(xy\)?
Çözüm
- \((x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 4 + 9 - 13 = 0\)
→ Tam karelere tamamlama. - İki karenin toplamı \(0\) → ikisi de \(0\): \(x = 2\), \(y = -3\)
→ Kareler negatif olamaz. - \(xy = -6\)
→ Sonuç.
Kontrol
\(4 + 9 - 8 - 18 + 13 = 0\) ✓
Sık yapılan hata
\(y + 3 = 0\) yerine \(y = 3\) almak (\(6\)).
-
\((a + b)^2 = 49\) ve \((a - b)^2 = 9\) olduğuna göre \(a \cdot b\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \((a + b)^2 = 49\)
- \((a - b)^2 = 9\)
Ne soruluyor?
\(ab\)?
Çözüm
- \((a + b)^2 - (a - b)^2 = 4ab\)
→ Özdeşlik. - \(4ab = 40\) → \(ab = 10\)
→ Çözüm.
Kontrol
\(a = 5, b = 2\): \(49\) ve \(9\) ✓
Sık yapılan hata
Farkı \(2ab\) sanıp \(20\) demek.
-
Sıfırdan farklı bir \(x\) gerçek sayısı için \(x^2 - 3x - 1 = 0\) olduğuna göre \(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^2 - 3x - 1 = 0\)
- \(x \ne 0\)
Ne soruluyor?
\(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\)?
Çözüm
- Denklemi \(x\)'e bölelim: \(x - 3 - \dfrac{1}{x} = 0\) → \(x - \dfrac{1}{x} = 3\)
→ Kökleri bulmaya gerek yok. - \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 - \dfrac{1}{x^3} - 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right)\)
→ Küp açılımı; \(x \cdot \dfrac{1}{x} = 1\). - \(27 = x^3 - \dfrac{1}{x^3} - 9\) → \(36\)
→ Yerine koyma.
Kontrol
\(x = \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3{,}303\): \(36{,}03 - 0{,}03 \approx 36\) ✓
Sık yapılan hata
Denklemi \(x\)'e bölerken işareti karıştırıp \(x - \dfrac{1}{x} = -3\) almak ya da küp açılımında \(3 \cdot 3\)'ü çıkarıp \(18\) bulmak.
-
\(a^2 - b^2 = 21\) ve \(a + b = 7\) olduğuna göre \(a^2 + b^2\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(a^2 - b^2 = 21\)
- \(a + b = 7\)
Ne soruluyor?
\(a^2 + b^2\)?
Çözüm
- \((a - b)(a + b) = 21\) → \(a - b = 3\)
→ Kareler farkı. - \(a = 5\), \(b = 2\) → \(25 + 4 = 29\)
→ Çözüm.
Kontrol
\(25 - 4 = 21\) ✓
Sık yapılan hata
\(a^2 + b^2 = (a + b)^2 = 49\) sanmak.
-
\(x^2 - 5x + 6\) ifadesi \((x - a)(x - b)\) biçiminde çarpanlarına ayrılıyor. Buna göre \(a^2 + b^2\) kaçtır?
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^2 - 5x + 6 = (x - a)(x - b)\)
Ne soruluyor?
\(a^2 + b^2\)?
Çözüm
- \(a + b = 5\), \(ab = 6\)
→ Açılımla karşılaştırma. - \(a^2 + b^2 = 25 - 12 = 13\)
→ Özdeşlik (ya da \(a = 2, b = 3\)).
Kontrol
\((x - 2)(x - 3) = x^2 - 5x + 6\) ✓
Sık yapılan hata
\(a + b = -5\) alıp işaret karıştırmak — sonuç yine \(13\), ama \(ab = -6\) alırsanız \(37\) bulursunuz.