İkinci derece denklemden küpler farkı
Sıfırdan farklı bir \(x\) gerçek sayısı için \(x^2 - 3x - 1 = 0\) olduğuna göre \(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\) kaçtır?
Bir şıkka dokunarak cevabını işaretleyebilirsin.
Çözümü Göster
Verilenler
- \(x^2 - 3x - 1 = 0\)
- \(x \ne 0\)
Ne soruluyor?
\(x^3 - \dfrac{1}{x^3}\)?
Çözüm
- Denklemi \(x\)'e bölelim: \(x - 3 - \dfrac{1}{x} = 0\) → \(x - \dfrac{1}{x} = 3\)
→ Kökleri bulmaya gerek yok. - \(\left(x - \dfrac{1}{x}\right)^3 = x^3 - \dfrac{1}{x^3} - 3\left(x - \dfrac{1}{x}\right)\)
→ Küp açılımı; \(x \cdot \dfrac{1}{x} = 1\). - \(27 = x^3 - \dfrac{1}{x^3} - 9\) → \(36\)
→ Yerine koyma.
Kontrol
\(x = \dfrac{3 + \sqrt{13}}{2} \approx 3{,}303\): \(36{,}03 - 0{,}03 \approx 36\) ✓
Sık yapılan hata
Denklemi \(x\)'e bölerken işareti karıştırıp \(x - \dfrac{1}{x} = -3\) almak ya da küp açılımında \(3 \cdot 3\)'ü çıkarıp \(18\) bulmak.