Problemler Konu Anlatımı

Problemler neden bu kadar önemli?

KPSS Matematik testinde soruların önemli bir kısmı problem sorusudur. Sayı, yaş, işçi, hareket, yüzde, kesir, havuz, kâr-zarar, karışım, faiz ve grafik problemleri farklı konular gibi görünse de hepsi aynı beceriyi ölçer: Günlük dildeki bir durumu okuyup matematik diline çevirmek ve kurulan denklemi doğru çözmek.

Bu sayfa problemler bölümünün genel haritasıdır. Önce bütün türlerde işe yarayan çözüm stratejisini, sonra her problem türünün özünü ve temel formülünü göreceksin. En sonda farklı türlerden karma çözümlü örnekler var. Her türün ayrıntılı anlatımı kendi sayfasındadır.

Problem çözme stratejisi

Türkçe cümleyi denkleme çevirme

Cümlede önce söylenen işlem önce yapılır. "Bir sayının 3 katının 5 fazlası" \(3x + 5\), "bir sayının 5 fazlasının 3 katı" ise \(3(x + 5)\) demektir.

Bilinmeyen seçimi

Doğru bilinmeyen seçimi, denklemi yarı yarıya kolaylaştırır:

• Bir nicelik diğerlerine bağlıysa (A, B'nin 3 katı; C, B'den 5 fazla) bağlı olunan nicelik x seçilir: \(B = x\), \(A = 3x\), \(C = x + 5\).
• Kesirli ifadelerde bütüne paydaların EKOK'u kadar birim verilir: \(\frac{1}{3}\) ve \(\frac{1}{4}\) varsa bütün \(12k\) seçilir.
• Oran verildiğinde nicelikler k ile yazılır: oranı \(\frac{2}{5}\) olan sayılar \(2k\) ve \(5k\).
• Yüzde sorularında başlangıç değeri 100 seçmek hesabı kolaylaştırır.
• İlişki geçmişte verilmişse (5 yıl önce ... katıydı), bilinmeyen o zaman için seçilir.

Tablo kurma ve kontrol

Birden çok kişi ya da birden çok zaman varsa küçük bir tablo kur. Yaş sorularında satırlar kişiler, sütunlar geçmiş–bugün–gelecek; hareket sorularında satırlar araçlar, sütunlar hız–süre–yol; karışım sorularında satırlar kaplar, sütunlar miktar–oran–madde olur. Tablonun her hücresi aynı bilinmeyen cinsinden yazılınca denklem kendiliğinden ortaya çıkar.

Kontrol çoğu zaman 10 saniye sürer ama yanlış cevabı önler: Bulduğun sayıları sorudaki her koşula yerleştir. Kişi sayısı kesirli, yaş negatif, süre sıfırdan küçük çıktıysa bir yerde hata vardır.

Problem türleri ve temel formüller

Sayı problemleri

Bir sayının katı, fazlası, eksiği; ardışık sayılar; iki tür nesne (para, tekerlek, bilet); artan–eksik dağıtım; kuyruk ve sayfa soruları. Ardışık sayılarda terimler artış miktarıyla yazılır: \(x, \ x + 1, \ x + 2\) ya da çift/tek için \(x, \ x + 2, \ x + 4\).

\[1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}\]

\[\text{Terim sayısı} = \frac{\text{Son} - \text{İlk}}{\text{Artış}} + 1\]

Yaş problemleri

n yıl geçince herkes n yaş büyür; iki kişi arasındaki yaş farkı hiç değişmez. k kişilik bir grubun toplam yaşı n yılda \(k \cdot n\) artar.

\[A = m \cdot B \Rightarrow A - B = (m - 1) \cdot B\]

İşçi problemleri

Bir işi tek başına a günde bitiren işçi bir günde işin \(\frac{1}{a}\)'sını yapar. Birlikte çalışanların bir günlük işleri toplanır. Örneğin işi 6 ve 12 günde bitiren iki işçi birlikte \(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} = \frac{1}{4}\), yani 4 günde bitirir.

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}\]

\[\text{İş} = \text{Kapasite} \cdot \text{Süre}\]

İşçi sayısı, günlük çalışma saati ve gün sayısı değiştiğinde \(\frac{\text{işçi} \cdot \text{gün} \cdot \text{saat}}{\text{iş}}\) oranı sabit kalır.

Hareket problemleri

Temel bağıntı yol = hız \(\times\) zamandır. Birbirine doğru gelen araçların hızları toplanır, aynı yönde gidenlerin hızları çıkarılır. 300 km uzaklıktan 70 ve 80 km/sa hızla birbirine doğru çıkan araçlar \(300 \div 150 = 2\) saatte karşılaşır; aralarında 60 km olan, 80 ve 60 km/sa hızla aynı yönde giden araçlardan arkadaki öndekine \(60 \div 20 = 3\) saatte yetişir.

\[x = v \cdot t\]

\[t_{\text{karşılaşma}} = \frac{x}{v_1 + v_2}\]

\[t_{\text{yetişme}} = \frac{x}{v_1 - v_2}\]

\[\text{Ortalama hız} = \frac{\text{Toplam yol}}{\text{Toplam zaman}}\]

\[\text{Eşit yollarda: } \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}\]

Akıntıda giden teknenin hızı akıntı yönünde \(v + a\), akıntıya karşı \(v - a\)'dır. Bir trenin tüneli tamamen geçmesi için alacağı yol tren boyu + tünel boyudur: 200 m'lik tren 400 m'lik tüneli 20 m/sn hızla \(600 \div 20 = 30\) saniyede geçer. Gidişi 60, dönüşü 40 km/sa olan yolculukta ortalama hız 50 değil, \(\frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48\) km/sa'dir.

Yüzde problemleri

Yüzde, 100 üzerinden kesirdir: A'nın %p'si \(A \cdot \frac{p}{100}\)'dür. Artış ve azalışlarda çarpan kullanmak en hızlı yoldur: %20 artış \(\times 1{,}2\); %20 azalış \(\times 0{,}8\). 500 TL'ye %20 zam 600 TL, %20 indirim 400 TL eder.

\[\text{Yeni değer} = A \cdot \frac{100 \pm p}{100}\]

Kesir problemleri

Bütünün bir kesri harcanır, kalanın bir kesri harcanır... Bu sorularda bütüne paydaların EKOK'u kadar birim vermek ya da kalan kesirleri art arda çarpmak işi kolaylaştırır. "Kalanın \(\frac{2}{5}\)'i" denince bütünün değil, o anda kalan miktarın kesri alınır.

\[\text{İlk durumdan sonra kalan} = x \cdot \left(1 - \frac{a}{b}\right)\]

Havuz problemleri

Havuz problemleri işçi problemlerinin aynısıdır; musluklar işçi gibi düşünülür. Tek farkı, boşaltan musluğun işi eksi yönde yapmasıdır. Havuzu 4 ve 6 saatte dolduran iki musluk ile 12 saatte boşaltan bir musluk birlikte açılırsa \(\frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{1}{3}\), yani havuz 3 saatte dolar.

\[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} - \frac{1}{c} = \frac{1}{t}\]

Kâr–zarar problemleri

Aksi söylenmedikçe kâr ve zarar yüzdesi alış (maliyet) fiyatı üzerinden hesaplanır. Alış fiyatını 100 birim almak çoğu soruyu kolaylaştırır. Etiket fiyatı üzerinden yapılan indirim ise etiket fiyatına göre hesaplanır.

\[\text{Satış} = \text{Alış} \cdot \frac{100 + k}{100}\]

\[\text{Satış} = \text{Alış} \cdot \frac{100 - z}{100}\]

Karışım problemleri

Bir karışımdaki maddenin oranı, madde miktarının karışımın toplam miktarına bölümüdür: 60 kg tuzlu suda 12 kg tuz varsa tuz oranı \(\frac{12}{60} = \%20\)'dir. Karışımlar birleştirildiğinde madde miktarları toplanır; oranlar doğrudan toplanmaz. Su eklemek madde miktarını değiştirmez, yalnızca toplamı büyütür. Buharlaşmada ise yalnızca su azalır.

\[\text{Yeni oran} = \frac{m_1 \cdot p_1 + m_2 \cdot p_2}{m_1 + m_2}\]

Örneğin %20'lik 30 kg ile %45'lik 20 kg karıştırılırsa oran \(\frac{30 \cdot 20 + 20 \cdot 45}{50} = 30\), yani %30 olur.

Faiz problemleri

Basit faizde faiz yalnızca anaparaya işler. A anapara, n yıllık faiz oranı, t süre olmak üzere süre yıl, ay ya da gün olarak verilebilir. Gün cinsinden sorularda yılın kaç gün alındığına (360 ya da 365) dikkat et; soru bunu belirtir. 10000 TL yıllık %12 basit faizle 3 yılda \(\frac{10000 \cdot 12 \cdot 3}{100} = 3600\) TL faiz getirir.

\[F = \frac{A \cdot n \cdot t}{100} \ (t \text{ yıl})\]

\[F = \frac{A \cdot n \cdot t}{1200} \ (t \text{ ay})\]

Bileşik faizde her dönemin faizi anaparaya eklenir ve sonraki dönem bu yeni tutar üzerinden faiz işler. 2000 TL yıllık %10 bileşik faizle 1 yıl sonra 2200 TL, 2 yıl sonra \(2000 \cdot 1{,}1^2 = 2420\) TL olur.

\[\text{Son tutar} = A \cdot \left(1 + \frac{n}{100}\right)^t\]

Grafik problemleri

Sütun, çizgi ve daire grafikleri ile tablolardaki verileri okuyup yorumlama sorularıdır. Önce eksenlerin ve birimlerin ne olduğuna bak. Daire grafiğinde 360° bütünü gösterir; bir dilimin payı, açısının 360'a oranıdır. 2000 kişilik bir anketi gösteren daire grafiğinde 90°'lik dilim \(\frac{90}{360} \cdot 2000 = 500\) kişidir.

\[\text{Dilimin değeri} = \frac{\text{Dilim açısı}}{360} \cdot \text{Toplam}\]

Çözümlü örnekler

Örnek 1. Bir tiyatroda tam bilet 60 TL, öğrenci bileti 40 TL'dir. 25 kişilik bir grup bilet için toplam 1240 TL ödediğine göre grupta kaç öğrenci vardır?

Çözüm: Tür: Sayı problemi (iki tür nesne).
Tam bilet alan kişi sayısı t olsun; öğrenci sayısı \(25 - t\) olur.
\(60t + 40(25 - t) = 1240\)
\(60t + 1000 - 40t = 1240 \Rightarrow 20t = 240 \Rightarrow t = 12\)
Öğrenci sayısı: \(25 - 12 = 13\)

Pratik yol: Hepsi öğrenci olsaydı \(25 \cdot 40 = 1000\) TL ödenirdi. Fazla ödenen 240 TL, her tam biletin 20 TL farkından gelir: \(240 \div 20 = 12\) tam bilet.

Kontrol: \(12 \cdot 60 + 13 \cdot 40 = 720 + 520 = 1240\).
Cevap: 13

• Benzer soru: Tam ve öğrenci biletiyle gelen on iki kişi

Örnek 2. Bir anne 34, oğlu 6 yaşındadır. Kaç yıl sonra annenin yaşı oğlunun yaşının 3 katı olur?

Çözüm: Tür: Yaş problemi.
n yıl sonra anne \(34 + n\), oğlu \(6 + n\) yaşında olur.
\(34 + n = 3(6 + n) \Rightarrow 34 + n = 18 + 3n \Rightarrow 2n = 16 \Rightarrow n = 8\)

Fark yöntemiyle: Yaş farkı 28'dir ve değişmez. Anne oğlunun 3 katı olduğunda fark oğlun yaşının 2 katıdır; oğul \(28 \div 2 = 14\) yaşında olmalıdır. Bu \(14 - 6 = 8\) yıl sonradır.

Kontrol: 8 yıl sonra anne 42, oğlu 14 yaşında; \(42 = 3 \cdot 14\).
Cevap: 8

• Benzer soru: Annenin yaşının kızının üç katı olacağı yıl

Örnek 3. Bir öğrenci okuduğu kitabın ilk gün \(\frac{1}{4}\)'ünü, ikinci gün kalan sayfaların \(\frac{2}{5}\)'ini okuyor. Geriye 135 sayfa kaldığına göre kitap kaç sayfadır?

Çözüm: Tür: Kesir problemi.
Kitap x sayfa olsun.
İlk günden sonra kalan: \(x \cdot \frac{3}{4}\)
İkinci gün kalanın \(\frac{2}{5}\)'i okunduğu için kalanın \(\frac{3}{5}\)'i kalır:
\(x \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{5} = \frac{9x}{20} = 135 \Rightarrow x = 300\)

Kontrol: İlk gün 75 sayfa okunur, 225 kalır; ikinci gün \(225 \cdot \frac{2}{5} = 90\) sayfa okunur, \(225 - 90 = 135\) sayfa kalır.
Cevap: 300

• Benzer soru: İki gün okumadan sonra okunmamış sayfalar

Örnek 4. Fiyatı 400 TL olan bir ürüne önce %20 zam yapılmış, ardından yeni fiyat üzerinden %25 indirim yapılmıştır. Ürünün son fiyatı kaç TL'dir ve ilk fiyata göre yüzde kaç değişmiştir?

Çözüm: Tür: Yüzde problemi.
Çarpanlarla çalışalım: %20 zam \(\times 1{,}2\), %25 indirim \(\times 0{,}75\).
Son fiyat: \(400 \cdot 1{,}2 \cdot 0{,}75 = 400 \cdot 0{,}9 = 360\) TL

Toplam çarpan 0,9 olduğu için fiyat ilk fiyata göre %10 azalmıştır.

Kontrol: Zamdan sonra \(400 \cdot 1{,}2 = 480\) TL; %25 indirim \(480 \cdot 0{,}25 = 120\) TL; \(480 - 120 = 360\) TL.
Cevap: 360 TL; %10 azalmıştır

• Benzer soru: Önce artan sonra inen fiyatın indirim oranı

Örnek 5. Bir esnaf bir malı %25 kârla 450 TL'ye satmaktadır. Bu malı %10 zararla satsaydı kaç TL'ye satmış olurdu?

Çözüm: Tür: Kâr–zarar problemi.
Kâr yüzdesi alış fiyatı üzerinden hesaplanır. Alış fiyatı A olsun:
\(A \cdot \frac{125}{100} = 450 \Rightarrow A = 450 \cdot \frac{100}{125} = 360\) TL

%10 zararla satış fiyatı: \(360 \cdot \frac{90}{100} = 324\) TL

Kontrol: \(360 \cdot 1{,}25 = 450\) TL; \(360 - 324 = 36\) TL zarar, bu da 360'ın %10'udur.
Cevap: 324 TL

• Benzer soru: Kârlı satış fiyatından zararlı satış fiyatı

Örnek 6. Aylık geliri 30000 TL olan bir ailenin harcamalarını gösteren daire grafiğinde dilimlerin merkez açıları şöyledir: kira 108°, mutfak 90°, eğitim 54°, ulaşım 36°, diğer 72°. Bu ailenin kiraya ayırdığı para, ulaşıma ayırdığı paradan kaç TL fazladır?

Çözüm: Tür: Grafik problemi.
Önce açıların toplamını kontrol edelim: \(108 + 90 + 54 + 36 + 72 = 360\). Grafik bütün geliri gösteriyor.
Kira ile ulaşım dilimleri arasındaki açı farkı: \(108 - 36 = 72\)°
Bu farkın parası: \(\frac{72}{360} \cdot 30000 = \frac{1}{5} \cdot 30000 = 6000\) TL

Kontrol: Kira \(\frac{108}{360} \cdot 30000 = 9000\) TL, ulaşım \(\frac{36}{360} \cdot 30000 = 3000\) TL; \(9000 - 3000 = 6000\) TL.
Cevap: 6000 TL

• Benzer soru: Merkez açılarından iki gider kalemi farkı

Örnek 7. 24000 TL, yıllık %15 basit faiz oranıyla 8 aylığına bankaya yatırılıyor. Vade sonunda hesapta toplam kaç TL olur?

Çözüm: Tür: Faiz problemi.
Süre ay olarak verildiği için 1200'e bölünür:
\(F = \frac{A \cdot n \cdot t}{1200} = \frac{24000 \cdot 15 \cdot 8}{1200} = 2400\) TL
Toplam para: \(24000 + 2400 = 26400\) TL

Kontrol: Bir yıllık faiz \(24000 \cdot 0{,}15 = 3600\) TL; 8 ay yılın \(\frac{8}{12} = \frac{2}{3}\)'ü olduğundan faiz \(3600 \cdot \frac{2}{3} = 2400\) TL.
Cevap: 26400 TL

• Benzer soru: Birkaç aylık basit faiz hesabı

Örnek 8. Bir işi A işçisi tek başına 12 günde, B işçisi tek başına 24 günde bitirebilmektedir. İkisi birlikte 4 gün çalıştıktan sonra A işi bırakıyor. Kalan işi B tek başına kaç günde bitirir?

Çözüm: Tür: İşçi problemi.
Bir günde yapılan işler: A işin \(\frac{1}{12}\)'sini, B \(\frac{1}{24}\)'ünü yapar.
Birlikte bir günde: \(\frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{2 + 1}{24} = \frac{1}{8}\)
4 günde yapılan iş: \(4 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{2}\); kalan iş \(\frac{1}{2}\)
B kalan işi: \(\frac{1}{2} \div \frac{1}{24} = 12\) günde bitirir.

Kontrol: B 4 gün birlikte, 12 gün tek başına toplam 16 gün çalışır: \(\frac{16}{24} = \frac{2}{3}\). A 4 gün çalışır: \(\frac{4}{12} = \frac{1}{3}\). Toplam \(\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 1\) iş.
Cevap: 12

• Benzer soru: Ayrılan işçiden sonra kalan işin süresi

Örnek 9. Boş bir havuzu A musluğu 6 saatte, B musluğu 12 saatte doldurmaktadır. Havuzun dibindeki C musluğu ise dolu havuzu 8 saatte boşaltmaktadır. Üç musluk boş havuz için aynı anda açılırsa havuz kaç saatte dolar?

Çözüm: Tür: Havuz problemi.
Dolduran musluklar artı, boşaltan musluk eksi yazılır:
\(\frac{1}{6} + \frac{1}{12} - \frac{1}{8} = \frac{1}{t}\)
Paydaları 24'te eşitleyelim: \(\frac{4 + 2 - 3}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}\)
Havuz \(t = 8\) saatte dolar.

Kontrol: 8 saatte A \(\frac{8}{6}\), B \(\frac{8}{12}\) havuz doldurur, C \(\frac{8}{8} = 1\) havuz boşaltır: \(\frac{4}{3} + \frac{2}{3} - 1 = 1\) havuz.
Cevap: 8

• Benzer soru: İki dolum bir boşaltım musluğuyla dolma süresi

Örnek 10. Aralarında 420 km bulunan A ve B şehirlerinden iki araç aynı anda birbirine doğru yola çıkıyor. A'dan çıkan aracın hızı saatte 65 km, B'den çıkanınki saatte 75 km'dir. Araçlar karşılaştıklarında A şehrine kaç km uzaktadırlar?

Çözüm: Tür: Hareket problemi (karşılaşma).
Birbirine doğru giden araçların hızları toplanır: \(65 + 75 = 140\) km/sa
Karşılaşma süresi: \(t = \frac{420}{140} = 3\) saat
A'dan çıkan aracın 3 saatte aldığı yol: \(65 \cdot 3 = 195\) km

Kontrol: B'den çıkan araç \(75 \cdot 3 = 225\) km yol alır; \(195 + 225 = 420\) km.
Cevap: 195 km

• Benzer soru: Karşılaşma noktasının şehirlerden birine uzaklığı

Örnek 11. Bir sürücü 120 km'lik yolu saatte 60 km hızla gidip saatte 40 km hızla geri dönüyor. Bu gidiş–dönüşteki ortalama hızı saatte kaç km'dir?

Çözüm: Tür: Hareket problemi (ortalama hız).
Ortalama hız, hızların ortalaması değildir; toplam yolun toplam zamana bölümüdür.
Gidiş süresi: \(120 \div 60 = 2\) saat; dönüş süresi: \(120 \div 40 = 3\) saat
Ortalama hız: \(\frac{240}{2 + 3} = 48\) km/sa

Kısa yol: Eşit yollarda \(\frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2} = \frac{2 \cdot 60 \cdot 40}{100} = 48\) km/sa.
Cevap: 48

• Benzer soru: Gidişte ve dönüşte farklı hız, ortalama hız

Örnek 12. Tuz oranı %20 olan 30 kg tuzlu su ile tuz oranı %35 olan 20 kg tuzlu su karıştırılıyor. Elde edilen karışıma kaç kg saf su eklenirse karışımın tuz oranı %20 olur?

Çözüm: Tür: Karışım problemi.
Önce tuz miktarlarını bulalım (oranlar değil, miktarlar toplanır):

• Birinci kap: \(30 \cdot \frac{20}{100} = 6\) kg tuz
• İkinci kap: \(20 \cdot \frac{35}{100} = 7\) kg tuz

Karışım: 50 kg, içinde 13 kg tuz; oranı \(\frac{13}{50} = \%26\)

Saf su eklemek tuz miktarını değiştirmez. s kg su eklensin:
\(\frac{13}{50 + s} = \frac{20}{100} \Rightarrow 50 + s = 65 \Rightarrow s = 15\)

Kontrol: 65 kg karışımda 13 kg tuz vardır; \(\frac{13}{65} = \frac{1}{5} = \%20\).
Cevap: 15 kg

• Benzer soru: İki tuzlu su ve saf suyla istenen karışım

Sık yapılan hatalar

Konuyu pekiştir

• Problemler soruları (sitemizde tüm sorular)
• Sayı Problemleri soruları
• Yaş Problemleri soruları
• İşçi Problemleri soruları
• Hareket Problemleri soruları
• Yüzde Problemleri soruları
• Kesir Problemleri soruları
• Havuz Problemleri soruları
• Kâr–Zarar Problemleri soruları
• Karışım Problemleri soruları
• Faiz Problemleri soruları
• Grafik Problemleri soruları

Kendini dene: Problemler çözümlü testleri →